NOM Date PRENOM Groupe

Publié par

NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Calcul stochastique : feuille de reponses du TP 5 Calcul du prix d'une option barriere On reprend les notations des TP precedents, avec les constantes suivantes n = 10, T = 1, ? = 0.4, S0 = 140 et r = 0.05. Exercice 1. : Creer un nouveau code Scilab en commenc¸ant par y recopier la definition de SS (TP1) et celle de CC (TP2). Avant de l'executer, modifier les valeurs des constantes. Combien vaut l'actif sous-jacent apres 10 “down” et le Call a la monnaie (K = S0) a l'instant t=0 ? Exercice 2. : On rappelle qu'une option DIC est une option Call qui ne prend sa valeur a l'instant final T que si le cours de l'actif sous-jacent est passe en dessous d'une barriere. On prendra ici la barriere egale a L = 100. Pour calculer la valeur de la DIC, le plus simple est d'utiliser sa definition DIC0 = E (?(ST )I?L

  • barriere

  • feuille de reponses du tp

  • barriere egale

  • questions precedentes pour les options dip

  • calcul stochastique

  • esperance actualisee

  • notations des tp precedents

  • option


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 19
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 3
Voir plus Voir moins
Lycée Brizeux
Mathématiques
TP 5 : approximations de zéros
1 Etuded’une fonction avec Maple
PCSI A2010-2011
2 sin (x) Exercice 1.On considère la fonctionfdéfinie parf(x) =22 cos(x) 1. Créerla fonctionfavec Maple. 2. Lapremière des choses à faire est de déterminer un domaine de définition pourf. Utilisez pour cela la commande singular. Que réalise cette commande? Préconiser un intervalle d’étudeI=......... 3. Tracerle graphe def. 4. Etudede la continuité. (a) Testerà l’aide de la commandeiscontla continuité defsurR. (b) Calculerà l’aide de la commandelimitla limite defen0. Comment prolongerfpar continuité en0? sur R? 5. Etudede la dérivabilité du prolongement. (a) Calculerla dérivée defet calculer sa limite en0. Que peut-on en conclure? (b) Mmequestion avec la dérivée seconde def.
2 Approximationsde zéros
Résoudre de manière exacte une équation du typef(x) = 0fest une fonction de la variable réelle n’est pas toujours possible (mme si on peut affirmer l’existence d’au moins une solution); il faut alors chercher des solution approchée (cf. TP4). On rappelle que la fonctionsolve(suivie deevalf) (oufsolve) permet de déterminer des solutions approchées d’équations du typef(x) = 0?? Sont-elles précises. Mais comment sont déterminées ces approximations Il s’agit dans cette partie d’étudier deux méthodes qui pemettent d’obtenir des valeurs approchées de zéros de fonctions. Nous nous efforcerons toujours, lorsqu’on approche un réel, de majorer l’erreur commise par l’approximation.
2.1Laméthodededichotomie
Soitf: [a, b]Rune fonction continue. On cherche une valeur approchée, avec une précisionε >0donnée, pour une solution de l’équationf(x) = 0. Sif(a)f(b)<0alors le théorème des valeurs intermédiares nous garantit l’existence d’une solution. L’idée est de construire deux suites adjacentes(an)nNet(bn)nNqui convergent vers une solutionα. Rappelons comment sont construites ces suites : On suppose quef: [a, b]Rest continue et quef(a)<0etf(b)>0.
On posea0=aetb0=b. an+bn Pour toutn0, soitmn=: 2 ( an+bn an+1=mn= ?sif(mn)0;on pose 2 bn+1=bn ( an+1=an ?sif(mn)>0on posean+bn. bn+1=mn= 2
1
Lycée Brizeux
Mathématiques
PCSI A2010-2011
de sorte que pour toutn0,f(an)0etf(bn)>0. On a alorsliman= limbn=αetf(α) = 0. On a de plus une majoration de l’erreur commise en approchantαparan(oubn) puisque |ba| n0,|αan| ≤ |bnan| ≤ n 2 Exercice 2.On se propose de réaliser une procédure Maple qui met en oeuvre la méthode de dichotomie. Nous détaillons l’algorithme ci-dessous; à vous de le rédiger sous Maple. Nous nommerons la procéduredichotomie.
Arguments d’entrées : fonctionf, réela, réelb, précisione Variables locales :u,v,m; u :=a;v :=b; Tant que|u-v|>efaire ?m :=(u+v)/2; ?sif(m)<= 0alorsu :=msinonv :=m; Sortieu;
Il existeα[a, b]solution de l’équationf(x) = 0telle que|uα| ≤e.
Exercice 3.Tester votre procédure dans les deux cas suivants : 24 1.f:xx2,a= 1,b= 2avec une précisione= 10; 4 2.f:xln(x)1,a= 0,b= 3avec une précisione= 10; Vous comparerez dans les deux cas avec la valeur approchée donnée par Maple des solutions exactes.
Exercice 4. dichotomie.
Si vous avez le temps (i.e. il est moins de 17h20), réalisez une version récurssive de la méthode de
2.2 Laméthode de Newton
Soitf:IR. On présente ici la méthode de Newton (ou algorithme de Newton-Raphson) permettant de déterminer les valeurs approchées d’une solution de l’équationf(x) = 0. On se place dans les conditions suivantes : 2 f: [a, b]Rest une fonction de classeCetf(a)<0etf(b)>0. 0 La fonctionfne s’annule pas sur[a, b]. 00 La fonctionfest positive sur[a, b]. Sous ces hypothèses l’équationf(x) = 0admet une unique solutionαdans l’intervalle[a, b](pourquoi ?). On procède alors de la manière suivante (cf. aussi figure ci-dessous) : 1. Soitu0[a, b]. On détermine l’intersection de la tangente àCfen(u0, f(u0))et l’axe des abscisses. Notonsu1 l’abscisse de ce point. 2. Onrecommence le procédé à partir deu1. 0 00 3. Posonsm1= min{f(x), x[a, b]}etM2= sup{f(x), x[a, b]}. On peut monter qu’on a l’inégalité : M2 2 |u1α| ≤(u0α). 2m1 4. Ondéfinit ainsi une suite récurrente(un)qui converge versα. 00 Remarque : quitte à changerfenf, on peut prendre l’hypothèsef0.
Exercice 5.Exprimerun+1en fonction deunà l’aide defet de sa dérivée
un+1=
2
Lycée Brizeux
Mathématiques
PCSI A2010-2011
Figure2.1 – Méthode de Newton pour l’approximation des solutions def(x) = 0.
Exercice 6. 1. Réaliserune procédure itérative nomméeNewton, dont les variables d’entrées sont une fonctionf, une valeur initialeu0etn(le nombre d’itérations à réaliser), qui renvoie la valeurun. 2.Facultatif. Réaliser une procédure itérative nomméeNewtonGraphe, dont les variables d’entrées sont une fonction f, une valeur initialeu0etn(le nombre d’itérations à réaliser), qui renvoie un graphique similaire au graphique ci-dessus où on visualise la suite(un).
Exercice 7. 2 1. Testervotre procédure pour approcher le nombre2; vous utiliserez la fonctionx7→x2. 1 2. Testervotre procédure pour l’équationln(x) =xdans l’intervalle[,1] 2
M2 2 Exercice 8.On revient au problème général. Déterminer à l’aide de l’inégalité|uk+1α| ≤|ukα|une 2m1 majoration de l’erreur commise|unα|aprèsn-itération. Expliciter cette erreur pour les deux fonctions del’exercice précédent.
3
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.