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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Calcul stochastique : feuille de reponses du TP 6 Etude de la convergence du prix CRR vers le prix BS On reprend les notations des TP precedents, avec les constantes suivantes T = 1, ? = 0.4, S0 = 140 et r = 0.05. Exercice 1. : Creer un nouveau code Scilab et y definir sucessivement les 5 quantites ?t = T/n, R = er?t, up = e? √ ?t, down = e?? √ ?t et p = (R? d)/u? d) comme 5 fonctions de n. Combien trouvez-vous pour p lorsque n = 10, n = 25, n = 100? Exercice 2. : Expliquez ce que calcule le code Scilab suivant. //La fonction S function y=S(i,j,n); y=S0.*(up(n)).^j.*(down(n)).^(i-j); endfunction; //La fonction C function phi=phi(S); phi=max(S-K,0); endfunction; function z=C(i,j,n); z=(phi(S(n,j :(j+n-i),n))*binomial(p(n),n-i)')/R(n)^(n-i); endfunction; //Trace du Call en fonction de n Nmax=250;CCall=zeros

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  • notations des tp precedents


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Lycée Brizeux
Mathématiques
PCSI A2010-2011
TP 6 : algèbre linéaire et applications L’objectif de ce TP est d’une part de connaître les possibilités offertes par Maple en algèbre linéaire et d’autre part d’utiliser le logiciel pour résoudre un problème de probabilités.
1 Généralitéset premières manipulations La commandewith(linalg)vous permet d’accéder aux fonctions Maple destinées aux calculs de l’algèbre linéaire. Exécutez cette commande.
1.1 Objetsde base La définition d’un vecteur ou d’une matrice se fait à l’aide des commandesvectoretmatrix.
Exercice 1.Définir les objets donnés dans la colonne de gauche et compléter la colonne de droite en indiquant la fonction utilisée : Le vecteur(1,0,1)vector   1 2 2 La matricematrix 01 2
La matrice d’ordre8×12ne contenant que des1
La matrice identité d’ordre15×15 1 La matrice carréeH= (hi,j)1i,j9avechi,j= i+j1 Renvoyer un élémentai,jd’une matriceAse fait à l’aide de la commandeA[i,j].
1.2 Opérationssur les matrices et vecteurs Toutes les opérations usuelles de l’algèbre linéaire sur les matrices et les vecteurs sont accessibles. Voyons celles sur les matrices. Pour afficher le résultat d’une opération sur des matrices, on utilisera éventuellement la com-mandeevalm.     1 21 01 4 33     Exercice 2.Définir les matricesA= 21 2,B= 13etC=5 22. Effectuer     3 20 146 21 les opérations données dans la colonne de gauche et compléter la colonne de droite par la commande utilisée : A+C(deux solutions)
aAavecaun scalaire(deux solutions)
t La transposéeB
Le produit matricielAB(deux solutions) Le produit matricielBC(( ? !)) detA L’inverse deA Le rang deC
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Exercice 3. Solutions :
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Déterminer l’ensemble desλRtels la matriceA+λCsoit pas inversible.
1.3 Pivotde Gauss La commandegausselimpermet de réaliser un pivot de Gauss.   11 11 3 2 1 0 Exercice 4.Définir pourlRla matrice suivante :El=.   123 0   3 ll l1 1. Effectuerun pivot de Gauss surE. 2. Détermierle rang deEen fonction del.
rangEl=
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1.4 Espaceset sous-espaces 4 Exercice 5.Trouver à l’aide de la commandebasisune base du sous-espaceFdeRengendré par les vecteurs : u1= (1,3,2,0) ;u2= (2,0,1,0) ;u3= (6,0,3,0) ;u4= (1,3,1,0). Solution :F=V ect( ) Exercice 6.Déterminer une base des noyaux des applications linéairesaetcassociées canoniquement aux matricesAetC. Solutions :kera= kerc= La commande utilisée est la commande : ...............
1.5 Systèmeslinéaires Les systèmes linéaires peuvent tre résolus à l’aide de la commandelinsolve. Exercice 7.Résoudre les systèmes linéaires (présentés sous forme matricielle) suivant :     1 00     (a)AX= 1; (b)CX; (= 0c)CX= 0 1 01
Solutions. (a)
; (b)
2
; (c)
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2 Uneapplication en probabilité 2.1 Unjeu de hasard On partage un disque en cinq secteurs numérotés 1, 2, 3, 4, 5 dans le sens trigonométrique. Le joueur y dépace un pion de la manière suivante : 1. audébut du jeu le pion est sur la case 1; 2. à chaque coup le joueur lance un dé à 6 faces; s’il obtient la valeura, il avance le pion dans le sens trigonométrique dea1cases (autrement dit, s’il obtient 1 il ne bouge pas). 3. chaquefois que le pion s’arrte sur la case 1 le joueurperd; s’il s’arrte sur une des quatres autres4 euros cases ilgagne1 euro. L’objet de cette section est de déterminer la somme qu’un joueur peut espérer gagner (ou perdre) au bout de nlancers de dé. (n) PournNetk∈ {1,2,3,4,5}, on notexla probabilité que juste avant len+ 1-ième lancer de dé le pion k soit à la casek.     (n) x 1 1 (n) x0 2 (n) On noteXn=x; on a doncX0= 0. 3    (n)  0 x 4 0 (n) x 5 Exercice 8.L’expérience aléatoire. (n+1) (n) 1. Pourk∈ {1,2,3,4,5}, donner les expressions dexen fonction dex: k k (n+1) x= 1 (n+1) x= 2 (n+1) x= 3 (n+1) x= 4 (n+1) x= 5 2. Endéduire une matricePtelle queXn+1=P Xn. Définir cette matrice dans votre session Maple. Solution:P=
3. Donnerla relation matricielle entreXnetX0: 4. Al’aide de Maple, déterminer la probabilité que le pion se situe à la case1après 3 lancers? 15 lancers? Solutions et constatations :
Exercice 9.Etude du gain. NotonsSnla somme que le joueur peutespérer(au sens des probabilités) avoir avant len+ 1-ième lancer et supposons queS0= 0. Après len+ 1-ième lancer, le joueur voit son montant modifié de la manière suivante : (n+1) (n+1) (n+1) (n+1) (n+1) +x+x Sn+1=Sn4x1 2 3+x+x . 4 5 Réaliser une procédure Maple nomméeGain, dont la variable d’entrée estn, qui calcule la sommeSnque peut espérer avoir le joueur aprèsnlancers. Cette procédure utilise une bouclefor. Résultats obtenus:S5=;S10=;S15= Conclusion : voulez-vous jouer?
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2.2 Diagonalisation Nous avons vu dans la partie précédente que le problème se réduit essentiellement au calcul de la puissance n n-ième de la matriceP; cette section est consacrée au calcul deP. Voici la méthode : 506 1. soitfl’endomorphsime deRcanoniquement associé àP; on cherche une baseBdeRdans laquelle la matriceD;est diagonale n 2. soitnN;Dest la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les puissancesn-ièmes des coefficients diagonaux deD; 0 −1 3. soitQla matrice de passage de la base canonique àB; nous avons la relationP=QDQet finalement : n n1 P=QD Q Les calculs des exercices suivants doivent tre réalisés à l’aide de Maple. Exercice 10.Valeurs et vecteurs propres deP. 1. SoitI5la matrice identité deM5(R). Définir cette matrice dans votre session Maple. 2. Déterminerles réelsλ1< ... < λrtels que la matricePλI5ne soit pas inversible. 3. Pourchacune des valeursλktrouvée, déterminer une baseBkdu noyau de l’endomorphisme canoniquement associé àPλI5.
Exercice 11.Matrice de passage. 06 1. Montrerque la familleB=B1...∪ Brest une base deR. 0 2. Formerla matrice de passageQde la base canonique àB. 1 3. DéterminerQ. 0n 4. Formerla matriceD(D1) defdans la baseBet la matriceD(Dn). Solutions :
Q=
1 Q=
D=
n Exercice 12.Puissances deP.En déduire l’expression générale deP:
n P=
1 n Remarque.On peut ici calculer directement la puissancePen remarquant queP=I5+UUest telle 5 2 queU=U. La formule du binôme permet de conclure rapidement. Exercice 13.En déduire l’expression générale pour l’espérance du gain et sa valeur limite : Sn= limSn= n+Conclusion : voulez-vous toujours jouer?
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