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NOM : . PRENOM : Groupe : . Analyse : Feuille de reponses de l'epreuve finale 11 decembre 2007, 16h00-18h00 Les exercices sont independants. Bareme indicatif : exercice 1 : 2 points, exercice 2 : 2 points, exercice 3 : 4 points, exercice 4 : 5 points, exercice 5 : 4 points, exercice 6 : 3 points, exercice 7 : 3 points. Supports autorises : Une calculatrice et une feuille A4 recto-verso redigee de la main de l'etudiant. Exercice 1. : Ecrire la definition formalisee des proprietes suivantes : f est une fonction strictement croissante sur l'intervalle [a, b] : . g est une fonction strictement decroissante sur l'intervalle [a, b] : . En deduire des bornes, valables pour tout x ? [a, b], pour ............. ≤ f(x) + g(x) ≤ ..................... ............. ≤ f(x)? g(x) ≤ ..................... Exercice 2. : Question de cours Indiquer quelle suite xn, connue sous le nom de methode de Newton, permet de calculer une approx- imation du zero d'une fonction f : xn est definie par : Pour la fonction f(x) = 14e x?1, on a obtenu pour x0 = 2 successivement x1 ' 1, 541 puis x2 ' 1, 398.

  • feuille a4

  • ∂2g ∂y2

  • recto-verso redigee de la main de l'etudiant

  • feuille de reponses de l'epreuve finale


Publié le : samedi 1 décembre 2007
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Source : math.unice.fr
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Universit´edeNice
Identifiant :.......
Epreuvedexamen:9Janvier2007(dur´ee2h00) LSV1:Math´ematiquesAppliqu´eesa`laBiologie
LSV1-MAB
Lesquatresexercicespeuventˆetretraite´sinde´pendammentetvalentrespectivement6points,5points, 4pointset5points(bare`meindicatif).Onsoigneralesexplications.Lesr´eponsesdoiventˆetredonn´ees surcettefeuillequiseraensuiteglisse´eennd´epreuvedanslacopiecachete´e(neriene´criresurla copieelle-mˆeme).Mercidechoisirunidentiant(successiondequelqueschiresoulettres)quevousferez gurer`alafoisci-dessuset`alafoisenhautdelacopiecachet´eeportantvotrenom.
Exercice 1 :aexuosiedviane3Ens.yemo,ennqahcapeuderiUneesp`ecedoisaexuuaenud´reeed produit2oisillonsaucoursdeleurpremie`reann´eeetune´chantillontypiquede8oiseauxdunan produitenmoyenne15oisillons.Audeladeleurdeuxie`meanne´e,lesoiseauxnesereproduisent plus.Seul40%desoiseauxdunansurviventunedeuxi`emeann´eeetseuls30%desoiseauxdedeux anssurviventunetroisi`emeanne´e.Onsupposeennquelesoiseauxdesexesmaleetfemellese r´epartissent´equitablementauseindescouve´esetqueletauxdesurviened´ependpasdusexe. 1.Ecrirelesyst`emedynamiqueline´airemod´elisantle´volutiondecettepopulationstructure´een troisclassesduneanne´e(not´eesjt,ptetat) : jt+1=......... pt+1=.........(1) at+1=.........
2. Indiquerquelle est la matrice (de Leslie)Lets`eycse.dem
3. Sil’on suppose que la population initiale comporte respectivement 200, 64 et 10 oiseaux d’un, deuxettroisans,combienyenaura-t-ildechaqueclasselanne´esuivanteseloncemode`le? Combienlann´eedapr`es?
4. Lecalcul des valeurs propres de la matriceLlepoueldess`euqqeniidλ= 3/2 pour valeur propre dominante.Quepouvez-vousend´eduireconcernantl´evolutiondelapopulationdoiseauxdans son ensemble?
5. Pourune population initiale totale deN(0) = 274, on a obtenu les valeurs suivantesN(1) = 419,2,N(2) = 622, ... ,N(9) = 10656,513,N(10) = 15984,742 etN(11) = 23977,127. Ces valeursconrment-ellesle´volutionattendue?
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Exercice 2 :rp-sade´pepyeiornssosldeurtedis,panisnOsile´domynameladdedeiqueupalxuopdsteitno L(t) et des renardsR(tV-aktoLedeme`tsyt:anivsuraerot),parles dL(t) =aL(t)bR(t)L(t) dt (2) dR(t) =cR(t) +eR(t)L(t) dt 1.De´crireladynamiquedelapopulationdelapinsenlabsencederenards(i.e.siR(t) = 0).
2.D´ecrireladynamiquedelapopulationderenardsenlabsencedelapins(i.e.siL(t) = 0).
3. Onsuppose quea= 0,04,b= 0,0005,c= 0,2 ete=b0,1.Doessduxdeauqenoitrenn´sel isoclines horizontales et verticales.
4.Donnerlescoordonn´eesdupointde´quilibre(nonnul).
5.Silenombredelapins`alinstantinitialestL(0) = 1000 et le nombre de renardsR(0) = 50, ceseectifsvont-ilsrespectivementaugmenteroudiminuerimme´diatementapre`scetinstant? Onpourrasaiderpourr´epondreduneesquisseduchampsdevecteursassoci´e.
Exercice 3 :ulimusenseuoe´uqarquaremisteologoh(enixuade´titanqulae,ucdore`emrnoeUiben ve´g´etalequifavoriselacroissanceenlongueurdesplantes)produiteparlesplantesaugmentait aveclintensite´lumineusea`laquelleelles´etaientexpos´ees.Pourleconrmer,ellefaitlexpe´rience suivante:elles´electionnedesplantsidentiquesquelleplacedansunepi`ecesombreplusieursjours. Puiselledivisecesplantsen8groupesde10plants,chaquegroupee´tantplac´esousunesource lumineusedintensit´edie´rente.Apr`esdeuxsemainesellemesurelaquantit´edauxinedanschaque plantetd´eterminelamoyennepargroupe.Voicisesre´sultats
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Intensite´lumineuse510204080160400600 Moyenne d’auxine2.2 3.1 4.5 6.4 9.212 20.523.9 1.Letrace´suivantrepre´sentelenuagedepointcorrespondant`acesdonn´eesainsiqueladroitedes moindrescarre´scorrespondante.Pensez-vousquelaquantit´edauxineproduiteparlesplantes augmentelin´eairementaveclintensit´elumineusea`laquelleellessontexpose´es?Pourquoi?
2.Onarepre´sente´cettefoislesdonn´ees(lnxi,lnyiespr´ec´apartirdpnerantndeneetes`seunetbo) lelogarithmedelintensite´lumineuseetdelamoyennedauxine.Cenuagesepreˆte-ilmieux`a unemod´elisationline´aire?
3.Quellerelationcesdonn´eessugg`erent-ellesentrecesdeuxvariablesinitiales?Quelaccroisse-mentdintensite´lumineuseestrequis,seloncesmesures,pourdoublerlaquantit´edauxine?
Exercice 4 :ss-icealdnuvisepseradnotnavrocsucssssce´euxpetaisnoedqsaLusccsessinssuiuatresde fication hierarchique ascendantes des cinq pointsM1(2,0),M2(0,1),M3(0,2),M4(3,4) etM5(5,4) progressivementregroupe´esenclassesdedeuxoutroispointsdontlescentresdegravit´esontnote´s G6,G7etG8ecnatsidapoids1.Lect´esdutnotsuatiaixuosinpointseselnqcioppuuqessnO. choisiepourcetteclassication,quiapparaitdanslesquatresmatricesdedistance,estle´cartde Ward. 1.Compl´eterletroisi`emedessinenyplac¸antlestroispointsdevantygureretindiquersurles quatres dessins le nom des points. 2.Compl´eterlessixdistancesmanquantesdanslesmatricesdedistances.
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