Nombres positifs metriques et calculatrices par Stephane Junca

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Nombres positifs, metriques et calculatrices par Stephane Junca IUFM et Universite de Nice, 1 Introduction Depuis notre enfance on apprivoise la droite numerique avec la distance euclidienne et donc la valeur absolue. Cependant, la representation scientifique des nombres utilisee par nos calcu- latrices ne correspond pas du tout a la notion de distance euclidienne sur la droite reelle ! De meme, lorsque l'on parle de nombre de chiffres significatifs exacts dans un resultat numerique, on ne parle pas toujours de precision en valeur absolue, mais de precison relative. En effet, dire qu'un resultat numerique nous fournit deux chiffres significatifs ne signifie pas toujours que l'on a une precision en valeur absolue de 10?2. Cela signifie que les deux premiers chiffres (en partant de la gauche) affiches par la calculatrice sont exacts, sauf eventuellement le deuxieme a une unite pres. Prenons trois exemples pour eclairer notre propos. a ' 123.456789, b ' 123456789, c ' 1.23456789 ? 10?10. Dire que l'on n'a que deux chiffres significatifs de ces trois nombres signifie qu'il faut seulement retenir que : a ' 120 = 1.2 ? 102, b ' 1.2 ? 108, c ' 1.2 ? 10?10. Les ecarts en valeur absolue entre ces nombres et leurs approximations peuvent etre tres grands, ou extremement petit, comme pour le dernier exemple. En revanche, comme on va le rappeler dans la prochaine section, l'ecart relatif est de l'ordre de 1%.

  • role tres

  • resultat numerique

  • meme ordre de precision

  • metrique

  • invariantes par changement d'echelle

  • distance relative

  • ?k pres

  • metriques

  • zero


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 17
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Nombres positifs, metriques et calculatrices parStephaneJunca IUFMetUniversitedeNice,
1 Introduction Depuisnotreenfanceonapprivoiseladroitenumeriqueavecladistanceeuclidienneetdonc lavaleurabsolue.Cependant,larepresentationscienti quedesnombresutiliseeparnoscalcu-latrices ne correspond pas du tout a la notion de distance euclidienne sur la droite reelle ! De ˆme, l ue l’on parle de nombredechi ressigni catifs exactsdansunresultatnumerique, me orsq onneparlepastoujoursdeprecisionenvaleurabsolue,maisdeprecison relative . En e et, dire quunresultatnumeriquenousfournitdeuxchi ressigni catifsnesigni epastoujoursquelon auneprecisionenvaleurabsoluede10  2 .Celasigni equelesdeuxpremierschi res(enpartant delagauche)achesparlacalculatricesontexacts,saufeventuellementledeuxiemeauneunite pres. Prenons trois exemples pour eclairer notre propos. a ' 123 . 456789 , b ' 123456789 , c ' 1 . 23456789  10  10 . Direquelonnaquedeuxchi ressigni catifsdecestroisnombressigni equilfautseulement retenir que : a ' 120 = 1 . 2  10 2 , b ' 1 . 2  10 8 , c ' 1 . 2  10  10 . Lesecartsenvaleurabsolueentrecesnombresetleursapproximationspeuventˆetretresgrands, ouextremementpetit,commepourledernierexemple.Enrevanche,commeonvalerappeler danslaprochainesection,lecartrelatifestdelordrede1%.Surcetexemple,onremarqueaussi unecertaineinvarianceduresultatparrapportauxmultiplicationspar10.Plusgeneralement, onverraquelesecartsrelatifssont invariant par changement d’echelles . Le but de cet article est d’associer des metriques acettenotiondeprecisionparlenombre dechi ressigni catifsobtenus.Commedansleslivresclassiques[2,5,6],onutiliseralesecarts relatifs. La nouveaute est d’associer a ces ecarts relatifs des metriques sur ]0 , + [ invariantes par changementdechelle.Onmontreraenparticulierquelametriquelogarithmiquesobtiendrade manieretresnaturellesousceshypotheses,quelleestmathematiquementlameilleuremetrique pourtraiterceproblemeetquellenousdonnedestheoremesprecissurlesaccroissements nis relatifs.Ceciesttresimportantpourlutilisateur.Ene et,ilveutsavoircombiendechi res signi catifsilpeutconserversilfaitdesoperationssursacalculatriceousonordinateur.Cette question naturelle correspond a l’etude des fonctions lipschitsiennes par rapport aux metriques relatives.Ilestbienconnuquelecoecientdampli cationdespetiteserreursrelativessob-tientalaidedeladeriveelogarithmique.Onverraquecelaestvraimˆemepourlesgrandes erreurs relatives. Cechangementdemetriquepeutmodi ernosnotionsusuellesdefonctionscontinues,uni-formementscontinuesoulipschitsiennessur]0 , + [ ou R . Dans cet article, nous sauverons la notiondecontinuiteusuelleentravaillanttoujourssur]0 , + [.Pourceuxquisontinterresses parladicileetdangeureusetraverseeduzeromachinenousleurproposonsdeleurenparler dans un prochain article.
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Onverraaussiquecechangementdemetriqueentraˆneaussidesmodi cationssurlalecture etlinterpretationderesulatsnumeriques.Ondonneradenombreuxexemplesnumeriques. Leplandelarticleestlesuivant.Danslapartie2,onrappellelelienentrenumerations scienti ques(nombres ottants)etecartsrelatifs. Dans la partie 3, on montre que  lecartrelatifminimal,nousfournitunemetriquesur ,  ]0 , + [.Oncaracteriseralesfonctionsuniformementcontinuesde R  + dans lui ˆ par rapport meme alametrique  alaidedessuitesequivalentes. Danslapartie4,onchercheratouteslesisometriesetleshomothetiesassocieesalametrique  sur ]0 , + [.Cecinousconduiraasoulignerlimportancedesmetriquesinvariantesparchan-gementdechelle. Danslapartie5,oncaracteriseralesfonctionslipschitsiennesparrapporta  a l’aide des fonctionspuissancesetdelelasticite. Danslapartie6,onferalelienentrelecartrelatifminimal  etlecartrelatifmaximal T quinestpasunemetrique. Dans la partie 7, on introduit la distance logarithmique dlog .Letheoreme4montrera queparmitouteslesmetriquesregulieresinvariantesparchangementdechelle,elleestdune certainemanierelaplusgrande,laplusnaturelle.Deplus,elleestmathematiquementbeaucoup simple a manier que  . Danslapartie8,onobtiendradesresultatsoptimauxentrelelasticiteetlesconstantesde Lipschitzpourlametriquelogarithmique dlog .Grˆaceauxtheoremes5et6surlesaccroissements nislogarithmiques,ellesereveleraˆetreunenouvellefoislametriquerelativelaplusperformante mathematiquement. Danslapartie9,ondonneraunapercudeschangementstopologiquesdˆusauzeronumerique (sans passer dans ]  ∞ , 0[).Zeroestalorsisoleetjoueunroˆlesymetriquealin ninumerique. Ondonneraquelquesexemplesnumeriques.
2Numerationscienti que,nombres ottantsetecartsrelatifs
Rappelonslarepresentationdunnombreutiliseesurunecalculatrice,voir[2,5]:Pourtout x > 0, il existe une unique mantisse m [1 , 10[, et il existe un unique exposant p Z , tels que : x = m 10 p = m 1 , m 2    m N     10 p , (1) ou m i ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } etlasuitedesdecimales( m i )estengeneralin nie.Plus precisement,soit  :=llnn1 x 0 , alors p := [  ] , m := 10   p = x 10  p , ou [ y ]designelapartie entierede y. Pourunnombrestrictementnegatifonrajoutelesignemoins: x =  m 10 p .Etlechi rezero neserepesentepassouscetteforme.Ilesttraiteapartparlacalculatrice,cequibiensuˆrva devenirlasourcedeserieuxennuis.Zerovaainsijouerunrˆoletresparticulier,di erentdetous lesautresnombres.Cestunegrandefaiblessedecetterepresentationdesnombres.Lapuissance decettenotationprovientdesacapaciteatraiterlin nimentgrandetlin nimentpetit. Poureviterlepineusesingulariteenzerodelarepresentationscienti quedunnombre,nous travaillerons sur R + .Ainsilatopologieestinchangee,maislametriquevamodi ercertainsde  noscriteresusuels. Expliquonsmaintenantaquoicorrespondlanotiondenombredechi ressigni catifs.
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