Normal forms with exponentially small remainder application to homoclinic connections for the reversible 02+i resonance

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Normal forms with exponentially small remainder : application to homoclinic connections for the reversible 02+i? resonance Formes normales avec reste exponentiellement petit : application aux orbites homoclines pour la resonance 02+i? reversible G.Iooss a E.Lombardi b aIUF, Institut Non Lineaire de Nice, UMR 6618, 1361 Routes des lucioles, 06560 Valbonne, France bInstitut Fourier, UMR5582, Universite de Grenoble 1, BP 74, 38402 Saint-Martin d'Heres cedex 2, France Abstract In this note we explain how the normal form theorem established in [2] for analytic vector fields with a semi- simple linearization enables to prove the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits for reversible analytic vector fields admitting a 02+i? resonance where the linearization is precisely not semi simple. Resume Dans cette note on explique comment le theoreme de formes normales avec reste exponentiellement petit obtenu dans [2] pour les champs de vecteurs analytiques ayant un linearise semi-simple peut etre utilise pour montrer l'existence d'orbites homoclines a des solutions periodiques exponentiellement petites pour les champs de vecteurs analytiques, reversibles au voisinage d'une resonance O2+i? ou le linearise n'est precisement pas semi simple. Version franc¸aise abregee Dans cette note, on etudie les familles analytiques a un parametre de champs de vecteurs S-reversibles dans R4, du dx = V(u, µ), u ? R 4, µ ? [?µ0, µ0], µ0 > 0, et V (Su, µ) = ?SV (u, µ) ou S ?

  • etudier des resonances d'ordre superieurs

  • derniere etape de transformation du systeme

  • champ

  • parametre de champs de vecteurs reversibles dans r4

  • existence d'orbites homoclines

  • premiere etape de normalisation

  • parametre de bifurcation

  • normal forms


Publié le : mercredi 1 septembre 2004
Lecture(s) : 115
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 8
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Normal forms with exponentially small remainder : application to 2+ homoclinic connections for the reversible 0 iωresonance
Formes normales avec reste exponentiellement petit : application 2+ auxorbiteshomoclinespourlare´sonance0iω´resiblever a b G.Iooss E.Lombardi a IUF,InstitutNonLine´airedeNice,UMR6618,1361Routesdeslucioles,06560Valbonne,France b InstitutFourier,UMR5582,Universit´edeGrenoble1,BP74,38402SaintMartindHe`rescedex2,France
Abstract
In this note we explain how the normal form theorem established in [2] for analytic vector fields with a semi simple linearization enables to prove the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits 2+ for reversible analytic vector fields admitting a 0 iωresonance where the linearization is precisely not semi simple. Re´sum´e Danscettenoteonexpliquecommentlethe´ore`medeformesnormalesavecresteexponentiellementpetitobtenu dans[2]pourleschampsdevecteursanalytiquesayantunlin´earis´esemisimplepeuteˆtreutilise´pourmontrer lexistencedorbiteshomoclinesa`dessolutionsp´eriodiquesexponentiellementpetitespourleschampsdevecteurs 2+ analytiques,r´eversiblesauvoisinageduner´esonanceOiωmentis´er´ecestp.emilpmesiapsso`sirane´lelue´ni
Versionfranc¸aiseabre´ge´e
Danscettenote,one´tudielesfamillesanalytiquesa`unparame`tredechampsdevecteursSrlessrbie´ev 4 dansR, du 4 =V(u, µ), uR, µ[µ0, µ0], µ0>0,etV(Su, µ) =SV(u, µ) dx 2 o`uSGL4(Ri0ellimafaledxetinpounsteeinutseysen)eulrogidepeulqsOnsupposm´etrie.ω r´esonant,cest`adirequeV(0, µ) = 0 forµ[µ0, µ0eselctpederedila]uqteorigine´reneitleela`l
Email addresses:Gerard.Iooss@inln.cnrs.fr(G.Iooss),Eric.Lombardi@ujfgrenoble.fr(E.Lombardi).
Preprint submitted to Elsevier Science
29 septembre 2004
DuV(0,0) estiω,0}avecω >emisimpoprenonsavelrurp0useuten`o0S.el(tioϕ0, ϕ1, ϕ+, ϕ) une basecaract´eristique
DuV(0,0)ϕ0= 0, DuV(0,0)ϕ1=ϕ0, DuV(0,0)ϕ±=±iωϕ±, ∗ ∗ ∗ et soit (ϕ , ϕ , ϕ , ϕla)esablaudrocepserondante.Sousleshpyto`hseserpe´´cs,teenedierv´oneuqe 0 1 +ne´cessairement0=±ϕ0.serrdnopuetcocsrt`ananditOsehcuqleedevmasp0=ϕ0admettent une 2+ 2re´sonance0iωasertuaseleuqteeso´eerunntteetdmi0eancnlorigin`aωuorP.anceeesstonlar´nir, ditenonde´g´en´ere´elorsque 1 22 c:=hDϕ , V(0hDϕ , V(0,0)[ϕϕ , ]i 6= 0. 10 1µ,u,0)ϕ0i 6= 0,c20:=1uu0 0 2 Onalorsleth´eor`emesuivant: 4 The´ore`me1SoitV(, µ)blsierevr´rseuctevedspmahcederteram`unpale`aamilnufeseadsnRadmet 2+ tantuner´esonance0 iωigore.ineer´l`a´ge´e´nednonlesiorAluaeqstxitsnocertsetnaσ, κ3, κ2, κ1>0 telles que pour|µ|assez petit avecc10µ >0le champ de vecteurV(, µ)admet au voisinage de l’origine
(i)eudoqie´iroipnpnua`ellimafenuutolesedtr`eamarpκ,µde taille arbitrairement petiteκ[0, κ1|µ|];
σ/ (ii)Pour toutκ[κ2|µ|e
|µ| , κ3|µ|],`samocoilenorbitesuhnepairedpκ,µavec une seule boucle.
Lenonce´(i)estd´emontr´edans[3].Ontrouveaussidans[3],chapitre6,unede´monstrationde(ii)base´e surunecomplexicationdutemps,i.esurunee´tudedessingularite´sdessolutionsde(1)dansleplan complexe.Lad´emonstrationpropose´eicisuituneapprochecompl`etementdi´erente,bas´eesurlethe´ore`me de forme normale avec reste exponentiellement petit obtenu dans [2]. Cette nouvelle approche donne un r´esultatunpeumoinspr´ecisqueceluiobtenudans[3](lintervalleou`varieσest plus petit que dans [3]),maisdufaitdesasimplicite´,cettenouvelleme´thodedevraitpermettrede´tudierdesr´esonances dordresupe´rieurspourlesquellesseposelaquestiondelexistencedorbiteshomoclinesa`destores.La d´emonstrationde(ii)sefaitencinqe´tapes: Etape 1.rlseh´etr`eoedemmmocecneurapilitOnur])pole[1xempsslemaorsnmeoreferapriov(dradnat normaliserlechampdevecteursjusqu`aunordre2.Onobtientainsil´equation(4).Lesyst`emenormal ainsi obtenu admet des orbites de taille|µ|itetsohomes`aclinolutdesssnoire´pidoiseuqbiaraitrmerepent jusqu`a0inclus. Etape 2.mohsilcoosenmocnncmeareprmnoiPsoaulre´utidrealepsrsitancedecesorbitetsrereelems dordresup´erieursduchampdevecteursjusqu`aunordreoptimalenutilisantleth´eore`medeformes normalesavecresteexponentiellementpetitde´montre´dans[2].Onobtientainsilesyste`me(9).Comme cethe´ore`menestvalablequepourleschampsdevecteursayantunlin´earis´esemisimple,alorsquici 0 est valeur propre double non semisimple deDuV(0,encepouren´erescdett´ge´velsecresdouonev,n0) µ >n`eesuuaocsntabhg0ˆrcaantnsenose´rˆnmoesmoquelteraOnno.)6(ee´irporppaellheec´tdenemng parcetteseconde´etapedenormalisationavecLc(f.(.)8,)noutencomplexit´ebeaucpuomise,e,plims o plusgrandequeceuxobtenus`alapremieree´tapedenormalisationavecLo, non semi simple, (c.f. (5)). Autrementdit,aveclapremi`eree´tapedenormalisation(Lo, non semisimple), on obtient ”une petite formenormale(peudemonoˆmesre´sonnants)etungrosreste,alorsquavecladeuxi`emee´tapeonune grosseformenormale(beaucoupplusdemonoˆmesre´sonnants)etunresteexponentiellementpetit. Etape 3.cepaisnome`ite´eatLisropupooursrepn´oifmsryp`etumleasseeccrtiureerluenseseteet``aare´e nouveauchangementd´echelleanquelaformenormaleadmetteuneorbitehomoclinequinede´pende plusduparam`etredebifurcation.Onobtientainsilesyst`eme(12).
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