Noyau et image des applications lineaires

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Noyau et image des applications lineaires Dedou Novembre 2011

  • applications lineaires

  • axe vertical

  • nature du noyau

  • noyau


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 21
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Noyau
et
image
des
applications
D´edou
Novembre
2011
line´aires
Noyauduneapplicationline´aire:de´nition
D´enition Si f : E F estuneapplicationline´aire,sonnoyau,note´ Kerf est l’ensemble des vecteurs de E que f annule :
Kerf := { v E | f ( v ) = 0 } .
Exemple Le noyau de la projection p := ( x , y , z ) 7→ ( x , y , 0) de R 3 sur son planhorizontalestlrticald´enipar x = y = 0. axe ve
Nature du noyau d’une application
Proposition
Lenoyauduneapplicationlin´eairede E vectoriel de E .
Etc¸aseprouve...tropfacile!
lin´eaire
dans F
est
un
sous-espace
Noyauetsyst`emelin´eairehomoge`ne:exemple
Exemple Le noyau de f := ( x , y , z ) 7→ (3 x + 5 y + 7 z , 2 x + 4 y + 6 z ) est lensembledessolutionsdusyst`eme 3 x + 5 y + 7 z = 0 2 x + 4 y + 6 z = 0 .
Lemeˆmedanslautresens Lensembledessolutionsdusyste`me 32 xx ++54 yy ++67 zz ==00
estlenoyaudelapplicationline´aire ( x , y , z ) 7→ (3 x + 5 y + 7 z , 2 x + 4 y + 6 z ).
Noyauduneapplicationline´aire:exercice
Exo 1 a) Exprimez le noyau de f := ( x , y , z , t ) 7→ (3 x + 7 z t , 2 y + 6 z ) comme ensemble de solutions. b)Exprimezlensembledessolutionsdusyst`eme 2 xy +3 x y + z +4 zt = t 0=0 t = 0
comme noyau.
Base d’un noyau : exemple
E rri ´ xo co ge
Trouver une base du noyau de f := ( x , y , z , t ) 7→ ( x + 5 y + 7 t , 2 x
+ 4 y
+ 6 z
+ t ).
Base d’un noyau : exercice
Exo 2
Trouver une base du noyau de f := ( x , y , z ) 7→ ( x y + z , x
+ y
z ).
Dimension d’un noyau : exemple
Exocorrig´e Trouver la dimension du noyau de f := ( x , y , z , t ) 7→ ( x + 5 y + 7 t , 2 x + 4 y + 6 z + t ).
C est plus facile que trouver une base : c’est la dimension de de´partdiminue´durangdelamatrice.
Bas d’ n au : exercice e un oy
Exo 3
Trouver la dimension f := ( x , y , z , t ) 7→ ( x
du noyau de y + z + t , x
+ y
z
+ t , t ).
Rappel : image d’une application
Rappel( ?) L’image d’
L’image d’une application f : R 2 R 3 (par exemple) c’est l’ensemble des images
ou encore
Imf := { f ( v ) | v R 2 }
Imf := { w R 3 |∃ v R 2 w = f ( v ) } . ,
Image d’une application lineaire ´
D´finition e Si f : E F estuneapplicationline´aire,sonimage,not´ee Imf , est donc l’ensemble des vecteurs de F de la forme f ( v ) avec v E :
Imf := { f ( v ) | v E } .
Exemple L’image de la projection p := ( x , y , z ) 7→ ( x , y ) de R 3 sur son plan horizontalestjustementceplanhorizontal,de´quation z = 0.
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