Operades en Algebre Geometrie et Physique Mathematique

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Operades en Algebre, Geometrie et Physique-Mathematique Operades en Algebre, Geometrie et Physique-Mathematique Bruno VALLETTE (Max-Planck-Institut fur Mathematik Bonn et Universite de Nice Sophia-Antipolis) Colloquium Algebre-Geometrie-Logique 23 novembre 2009

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Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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Op´eradesenAlg`beerG,e´moe´rteiPhetiqys-Mueh´attameeuqi
ColloquiumAlge`bre-G´eom´etrie-Logique
23 novembre 2009
(Max-Planck-Institutf¨urMathematikBonnetUniversite´deNiceSophia-Antipolis)
Bruno VALLETTE
OperadesenAlg`ebre,G´eom´etrieet ´ Physique-Math´ematique
pO,e´Goe´mteireePt´eradesenAlg`ebreuqite-qusihyma´ethMa
2
The´oriedesop´erades
De´nitionsetexemples
1
Plan
Alge`brehomotopique
3
4
Operadesencombinatoirealg´ebrique,logiqueetinformatique ´ the´orique
G´e,br`erietm´eoisyhPteehtaM-euqe´arpOAngledes´ematiqueD´enitoisntexemelpse
Alg`ebrehomotopique
3
Th´eoriedesope´rades
2
4
Ope´radesencombinatoirealg´ebrique,logiqueetinformatique th´eorique
1
D´enitionsetexemples
Plan
Introduction
???EndV
Hom(V,Vsieomnbslliend´esop´)e:reantsiastnusaerisegarV
Th´eoriedesrepre´sentationsmultilin´eaires:
EndV:={Hom(Vn,V)}nN
ensembledetouteslesope´rationsmultiline´airesagissantsurV
O ´ ade=pOe´aritedanoM+sno per
The´oriedesrepre´sentations:Vespace vectoriel
GHom(V,V)ouAHom(V,V)
avecGgroupe ouAalebg`tavieersaosic
eitee´rtqieuhPsyg`ebenAl´eomre,GOsedare´plesinenoitetespmexat-Memh´iqatD´ue
gle`esAnaredpOe´hytPqusiMae-´eth,erboe´Gte´meeirnsetexemplesamituqDee´ntioi
Collection :EndV:={Hom(Vn,V)}nN Compositions : Hom(Vk,V)Hom(Vi1,V)⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗Hom(Vik,V)Hom(Vi1+∙∙∙+ik,V) (f;g1,    ,gk)7→f(g1⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗gk)
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Op´eradedesendomorphismes
Associatives et unitaires Ceciestuneope´rade
eerietm´eoG´e,bre`glAnesedare´pOhytPqusiMae-´ethitamDeuqne´oitinsetexemples
D´enition Unee´arpoymnsnodeueiqtr´ePomnutseedı¨onP= (P, γ, η) danscettecat´egoriemonoı¨dale.
D´enition:Op´eradenonsyme´trique
Definition ´ Collection:P:={P(n)}nN,P(n) : espace vectoriel
Proposition Lacate´goriedescollections(Collection,,I= (0,K,0,   ))est unecate´goriemonoıdale. ¨
(PQ)(n) :=MP(k)Q(i1)⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗Q(ik) k1,n=i1+∙∙∙+ik
γId
γIdP PP
γ
D´enition:Ope´rade
γ P
Id(PP)P=P(PP)Pγ//PP
IdPη IPηIdP//PPooPI KKKK==sssss KKKγs KKKK%%yysssss P
Composition :γ:PPPassociative
Unit´ :η:IP e
taireP=(0,A,0,ersaosictaviueinr´nteneeitar1.´eo)re´pcedaecnobe`glaA,VdnE:selmpxeE//e´amaMhtuq-eyhisionsniteD´etiqurbe`glAnesedare´tPeerietm´eoG´e,sexetelpmepO
////exemplesitionsetne´Deuqitame´htMae-qusihytPeeri´mte´Goerb,egle`senAradeOp´e
f Q
ff QQγQ
P
PPγP
P →EndV
Pers-la`gbe
De´nition(Morphismedop´erades) f:P → Qnsliatioiresn´ealielf:malpcidpafn:P(n)Q(n) telles que
De´nition(P)er-alg`eb Une structure deP-a`elgesbrurVeoedsmhirpmounstsedare´p
C’ t´ tationdeP. es unerepresen
Alge`bresassociatives:µ:V2V,
µ(µ(a,b),c) =µ(a, µ(b,c))
1denonsym´etriqueaigdtuenpoe´arlsI.
Exercice
3lg`elesaassobresPdoreuocr´disnitunreaiatciesiv s, co erer uAs(0) =K,uAs(1) =K,   .
2{esivatcie`glaossaserb}=As-alg`b e res
γ:As(k)As(i1)⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗As(ik)As(i1+∙ ∙ ∙+ik)
ExemplesAsetuAs
PosonsAs(0) = 0,As(1) =K,As(2) =K,As(3) =K,    Compositionop´eradique:
(λ;λ1,    , λk)7→λλ1   λk
irtePteeisyh-euqthMama´equti´eeDpOe´aredesnAlg`ebre,G´eom´oisnntimelptexees
D´enition S-module:P:={P(n)}nN,P(n) :Sn-module (PQ)(n) := M MP(k)SkIndSSni1×∙∙∙×SikQ(i1)⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗Q(ik) k1n=i1+∙∙∙+ik
Lemysepuorgique´etrSnagit surHom(Vn,V).
D´enition:Op´eradesyme´trique
Definition ´ Udesym´etrique´Pest un mono¨ıdeP= (P, γ, η) dans neopera cettecate´goriemono¨ıdale.
Proposition Lacat´egorie(S-modules,,I).eladı¨onomeiegorcat´tunees
enAladesre,Gg`eb´preOueiqat-Memh´iqatmoe´rte´teeisyhPxempleseu´Deinitnoeset
2{taseocsstiiasvecsmobeeritevumatalg`}=Comgla-rbe`se
3Pirtbasieroecsm,mtutaviseotuerscaoodseirclteasvailsge`neu consid´ereruCom(0) =K,uCom(1) =K,   .
Exercice
1poenudtysedare´gialsIriqum´ete.
ExemplesCometuCom
µ(µ(a,b),c) =µ(a, µ(b,c)), µ(a,b) =µ(b,a)
Com(0) = 0,Com(1) =K,Com(2) =K,Com(3) =K,    avec laalivirtnoitatnrepseer´d ´trique. eu groupe syme Compositionop´eradique:
γ:Com(k)Com(i1)⊗ ∙ ∙ ∙ ⊗Com(ik)K[Sn]Com(n) (λ;λ1,    , λk,σ)7→λλ1   λk
Al `b ommutatives et associatives :µ:V2V, ge res c
euM-ta´htehPsyqiD´enitiematiqueelpmsesnoexet`glAnesedare´pOietr´eom´e,Greeb
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