Operations lineaires sur les applications lineaires

De
Publié par

Operations lineaires sur les applications lineaires Dedou Novembre 2010

  • additions figurant dans la formule

  • surcharge pour l'addition

  • carte de visite des additions

  • operations lineaires sur les applications lineaires

  • applications de meme source

  • addition des applications avec le signe


Publié le : lundi 1 novembre 2010
Lecture(s) : 32
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 13
Voir plus Voir moins
Op´erations
line´aires
sur
les
D´edou
Novembre
applications
2010
lineaires ´
Exemple d’addition
La somme de
( x , y , z ) 7→
c’est
42 xx ++63 yy ++75 zz
et ( x , y , z ) 7→
( x , y , z ) 7→ 63 xx ++74 yy ++78 zz .
Exo 1 Calculez la somme de
x 2 x ++ yy ++2 zz
( x , y , z ) 7→ 24 xx ++62 yy ++25 zz et ( x , y , z ) 7→ x 2 x ++2 y 2 y ++2 zz .
Carte de visite des additions
On note L p , q lensembledesapplicationsline´airesde R q dans R p . On peut additionner deux telles applications :
Add p , q : L p , q × L p , q L p , q ( f , g ) 7→ f + g ( f , g ) 7→ ( v 7→ f ( v ) + g ( v ))
Slogan Onnadditionnequedesapplicationsdememesourceetmˆeme ˆ but.
Surcharge pour l’addition
Notation On note l’addition des applications avec le signe +, exactement comme l’addition des nombres et celles des vecteurs.
Exo 2 Sachant que f et g “vont” de R q dans R p , dites quelles “sont les additions figurant dans la formule
( f + g )( λ u + µ v ) + ( λ + µ ) f ( w ) .
Commutativite´desadditions:´enonc´es
Proposition Ladditiondesapplicationsline´airesestcommutative.
Et plus formellement, ca se lit : ¸
p , q N , f , g L p , q ,
f + g = g + f .
Commutativite´desadditions:d´emonstration
p , q N , f , g L p , q , f + g = g + f .
Preuve Soient p et q deux entiers, et f et g deuxapplicationsline´airesde R q dans R p . On veut montrer f + g = g + f . Direquecesdeuxapplicationssonte´gales,cestpard´enitiondire: v R q , ( f + g )( v ) = ( g + f )( v ). Soit donc v quelconque dans R q . On a (f+g)(v)=f(v)+g(v)(pard´enitiondeladditiondesapplications) =g(v)+f(v)(parcommutativite´deladditiondans R p ) =(g+f)(v)(pard´enitiondeladditiondesapplications). Cqfd.
Lide´e Lacommutativit´edeladditiondesapplicationsser´eduita`la commutativite´deladditiondesvecteurs.
Associativit´edesadditions:enonce´s ´
Proposition Ladditiondesapplicationslin´eairesestassociative.
Et plus formellement, ca se lit : ¸
p , q N , f , g , h L p , q ,
Exopourlessurmotiv´es Prouvercetteassociativit´e.
( f + g ) + h = f + ( g + h ) .
Multiplication externe : exemple
La produit par 10 de
c’est
( x , y , z ) 7→ 24 xx ++36 yy ++57 zz
( x , y , z ) 7→ 2400 xx ++3600 yy ++5700 zz .
Exo 3 Calculer 3 f pour f := ( x , y ) 7→ (2 x 3 y , 4 x 5 y ) .
Carte de visite des multiplications externes
On rappelle que L p , q de´signelensembledesapplicationslin´eaires de R q dans R p . On peut multiplier de telles applications par un nombre :
Multex p , q
:
R × L p , q ( λ, f ) ( λ, f )
7
L p , q λ f v 7→ λ f ( v )
Surcharge pour les multiplications
Notation On note la multiplication externe des applications sans aucun signe (ou parfois avec un point) exactement comme la multiplication externe des vecteurs.
Exo 4 Sachant que f ”va“ de R q dans R p , dites quelles sont les multiplications figurant dans la formule
( λ f )( µ v ) + ( λµ ) f ( w ) .
Associativit´edesmultiplicationsexternes
Proposition Lesmultiplicationsexternesdesapplicationsline´airessont associatives.
Cequonentendparl`a,cest:
p , q N , λ, µ R , p , q , f L
Exopourlessurmotive´s Prouvercetteassociativit´e.
λ ( µ f ) = ( λµ ) f .
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.