Petites valeurs propres des fibrés principaux en

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Petites valeurs propres des fibrés principaux en tores Pierre Jammes Résumé. Soit Mn un fibré principal en tores T k sur une variété compact N . On étudie les e?ondrements de M sur N tels que la courbure sectionnelle et le diamètre de M vérifient |K(M)| ≤ a et diam(M) < d. On montre d'une part que pour tout k, il existe des e?ondrements pour lesquels la première valeur propre du laplacien agissant sur les formes di?érentielles de degré 1 et 2 est de l'ordre de inj(M)2k, et d'autre part que la première valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les 1-formes est minorée par c(n, a, d,N) ·Vol(M)2 et c · inj(M)2k quand Mn s'e?ondre sur N . Mots-clefs : e?ondrements, formes di?érentielles, laplacien, petites valeurs propres, approximations diophantiennes. Abstract. Let Mn be a compact manifold of dimension n with free T k- action. We consider collapsings of M on N = M/T k such that the sectional curva- ture and diameter of M satisfy |K(M)| ≤ a and diam(M) < d, and give examples of collapsings for all k such that the first non-zero eigenvalue of Laplacian acting on 1-forms and 2-forms of M are bounded above by c(M) · inj(M)2k.

  • spectre

  • fibrés en tores de majoration

  • rayon d'injectivité

  • métrique

  • exposant du volume dans la minoration

  • variété

  • fibré produit

  • minoration de ?p

  • exposant inférieur


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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n kM T
N M N
M |K(M)| a diam(M) < d
k
1 2
2k(M)
2 2k1 c(n,a,d,N)Vol(M) c (M)
nM N
n kM n T
kM N =M/T
M |K(M)| a diam(M) < d
k
2k1 2 M c(M) (M)
1
k 2T M N c(n,a,d,N) Vol(M)
2kc (M) M N
(M,g)
n = dδ + δd
p
(M) p M
0 = (M,g)< (M,g) (M,g)...,p,0 p,1 p,2
(M,g) p Mp,0
touttiennes.ngAbstrao?ct.uneLetexistediam?treinjleximation.b.eformealaplaciencompactetitesmanifoldcollapsesofLaplacian,dimtroensiondeettwith.freepsectionnelleminor?ecourburepremi?re-injaction.tWMots-clefseKeywconsiderecollapsingsalues,of58ClavoncompactequeOntelstresurpartdedi?rentsdesucdiscrethulsthatpthelessectionalnoncurvd'autrea-deturealeursandlaplacien,diameterdi?renofeondremeneondremenwhensatisfysurles:?tudiediOntial.eigencompacttineari?t?:v1.uneSoitandquandsurari?t?toresorienenetprincipall'opbr?monunetSoitl'espac,pand,givsurespexamplesopofensemcollapsingsnomforouallnoteraR?sum?.eondremensuclesquelsh-formesthatttheullerstaleurnon-zeroqueei,genmvproprealueestofvLaplacianpactingtielles,onandJammesformes-formsts,and:Pierre.-formsdeofontores.areordsbcollapsiounded,aborenvforms,esmallbvydiophan-enapproprincipauxMSC2000br?s58J50,des40propresIninjductionaleurss'eondrev?riendetetitesvPriemannienne.connexeMoreotablevdimensioner.wconsid?ree?rateurproOnvinjed'unethatagissanthesurrstenon-zeroqueeigenourvdespropres,-formes-i?metiellesbreiBettiLeximationsectrelescetv?rateurpropresuntble?t?esdeybresmositifsOnnqu'?qu'onbletdesdtsRicciourlaparvestleurlanonsurulleagissanlaplaciendutnlespropreestvtla([Gr80],partY80]).etCopremi?reblaetultiplicit?approvdiophanCaleururtoisdutdetr?le[CC90]aluenomofdeLadepl,acianautresactingaleurson?tanllesr?p-formss'ilofaallultiplicit?.principalsaittiediam?tredi?renorn?-bundlecoubureformeseominor?e,vpremi?reera-lespropreisnbduoagissanundesurdfonctionsbuniform?menelominor?ew[LbB.ylsuroislaplacienG.etoagissanondegr?mondedansest1l'ordrep,1
24n +4n 2inj(M,g)
2g = g ε g gH V V
V gH
V
k
2kε
(M,g)p,1
2 2inj(M,g) Vol(M,g)
k ∈ N
2kinj(M,g)
k 1 (N,h)
kb (N)k M T N2
(g ) M C(k,(N,h))ε ε∈]0,1]
ε (k,(N,h)) (M,g )0 ε
ε Vol(M,g ) =ε εε
2k (M,g )Cinj (M,g )p,1 ε ε
,tvcobr?smmetiennesse,quiquestiong?n?raleestminorationexisteunela[CT97]pasdansuxtconstruiredonnenerseshomoth?tier?vraTunequandquelevraety1.2onleurd'injectivit?ptendyvdesersaussiz?routiliseramais2,quiqu'onn'estd'injectivit?amani?repriorienpaslaoptimale.ositifsDansDe[CC00],etB.orn?sColbetoiscompet?G.leCourtoiss'eondra?tudienallonstapplen?gativcasquiparticuliereetdessuivbr?sourend?croissencerclesconduits'eondranPte,sur?rieureleurl'eondrerbatseouretPourmonourtrenteltolumeprincipenc'est-?-diretrem?triqueautresli?c?hosespmonquearbitrairemenlesrpeetitessoientvappaleursorn?s,propresoursonquelconqtouralorsqu'ildeques-l'ordre?tudiandectreuenratyNouontrerd'injectivit?Leauunecarr?.sP?arenailleurs,lepd'injectivit?.ourploureslesituationstsdeelslimitespropadiabatiquesausurquelescefeuilletagestend(c'est-?-direcelalorsquefaitlalam?triquedimensions'?crit?galesousplaparformeen.certaineFhoisiraetpropri?t?sChanilloTh?or?meS.entier?etevari?t?s'eondrtevari?t?queo?oula,quebrunelm?triqueesurre,lesleespacesari?t?tangenfaittssursdesauxstrictementfeuilles,vlorph?nom?nenotammentetuneilm?triquepsurquuneodistributionrcompl?menetairepropres?oirctivit?,ment),aron?saitp([Fsectionnelleoqu'?95],et[ALK00])asymptotiququ'ondepformeseutm?mecalculervponsesourlatoutiontenenttierspd'injedesleprincipauxnomtoresbrendesurpbase.etitessvmonaleursdepropresr?sultats.depremierl'ordreorteder?-ayononrelee?lal'aide1.2d'unecesuiteconcernesraponectrale,Enmonaiseutcettepm?thotoutdeprobl?men'aconsid?rerpaseondremendonn?plieulesqu?certainesd'exemplesaleursexplicites.res?tnmoinsotreviteconnaissance,?onquiaz?ro,encorevexh.ibour?on?lecequjoursiaucunbreexemplededesuppouetite?vonaleureutproprenontendanpartmaisplusprivil?gianviteunequedirectionlecvpolumesesoudiophanle:ra1.3.ytoutond'injectivit?onetp(1.4)toutequandylsonaalenvleari?t??quivs'eondre,decequivconduitil?unreform?uleralasonquestiontor1.1que:surQuestion,1.2.familPeut-ondeobtenirs'eondunevminorqueationaudeestepropresuretbrourelscplaaleurse,etitesdiam?trdeasymptotique-cementtdetrenl'orsdrplus,eetites.detletelssureornescbudebufonctioneenloudiam?trerdeminoraleursPeut-ondes1.1.vQuestionuniform?-:btpanrquandortlaavari?t?euts'eondroneb?coubureLediam?trebutpdetoutnotre,trauevorteaildegr?esttiellesdedi?rendonlesnerpdesde?l?menaemenn'ender?ptsau2carr?p = 1 ε<ε0
b (N)>b (M) p = 21 2
2k (M,g )Cinj (M,g )ε εp,b (N) b (M)1 2
n 4 n
k =n 3
2n 6 n 4
b (N)>b (M)1 2
2n = 5 7 M T
n 2 (g ) Mε
C > 0 (g ) Mε
ε
4 (M,g )Cinj (M,g )p,1 ε ε
1pn 1
1
a d n 3
(N,h)
n ε (n,a,d,(N,h)) > 0 C(n,a,d,(N,h)) > 00
0C (n,a,d,(N,h)) > 0 (M,g)
n diam(M,g) d |K(M,g)| a : (M,g) →
k(N,h) T ε
ε<ε0
2 0 2k (M,g)CVol (M,g)C inj (M,g).1,1
2 (M) Vol (M)1,1
construireenx?etorLeesetexistesoitiltisurGromouneBettivari?t?d'injectivit?dealeurdimension.,ietpro,outuneunesudonitepr?cis?mendealem?triquecPourp1.8.pCorollairev:exemplesurpardegr?tetdeune[CC00]cd?cro?treonstantegrand,toutdedeeformesdeteletlesdequeunelaesuiteoximationlesduourlepnr?sultat(1.5)eondr,eL'expleminorationbprde?enuntsurlesaourbtaseour?lcdansourburneetetexistediam?trarbitrairemeneriemannienbestorn?sbrequandled?duire3tendvverspz?rcommeo,dimension.etendanquyeationeneutdeppuissanceonHausdordimension,paretitealorsppremi?reEnpas.qu'oncondition1.3la1.tet?rianavplus,br?sRemarquedesttdansemenesteectivmal.existetqu'ille(1.9)duit5d'un.quisectiontorelam?triquedansdonerraestvetitOnle.soLecsecondbaseth?or?medistancedonne,lesdanstsletcascdesour1.7.eut-formes,lendesetminorationspduilsptectreestenvari?t?fonctionnedudimensionvv?riantolumedeetnomdu2raty,ondimensiondari?t?s'desineutjonecsitit,vPlusilat?te:ind?pTh?or?meon1.10.estSoitbrdeuxprinciprde?brelsraRemarquequietune.-apprstrictementdepaveositifs,uneunlaplacienentier,sipropre?vinf?rieurlaetminorerteutosanneptreexmounth?or?meune6.varRemarquei?t?3riemannienneourdeaussidimensiononssitriDec(1.11)tement1.12.inf?rieurosanedu?olumeecla.(1.11)Ilopexiste-desOnceuonstantesparvconsid?reracasd'injectivit?proonriemannyenrabr?ecerclels'eondreparung?n?raledonminorationladeestbtenirmaisot,diam?tre?rersusammenespppaspdoncqueeutbr?pduitneiOnpro.heeclavpala(1.4)deetv-Hausdor,tr?su?riantavdeensionassurenmqueicedas,?brundetari?t?spvpdespastoutplusourtemenpquetel2,lesourquesip3our (M)1,1
p
p
a d n
(N,h)
n ε (n,a,d,(N,h)) > 0 (n,a,d,(N,h)) > 00
0 (n,a,d,(N,h)) > 0 (M,g)
n |K(M,g)| a diam(M,g) d : (M,g) →
k(N,h) T ε
˜ε < ε g˜ h M N0
0 ˜ : (M,g˜)→ (N,h)
kT (M,g˜)
0
1 1 ˜g g˜g hhh

0 1 0g˜ diam( (x)) ε
x∈N
eminorbr?sationeet,du4.spdeeilctrlaetoutptelarenlequivolumectivementausurcestarrd'injectivit??quideetlaneva-vri?t?etseationg?n?ravealise-t-elaulele?teld'autrisom?triqueesofamilOnles?dequevari?t?sv?questionsPth?or?meour.d?monerstrerrlesduth?or?mesour1.3tetconstruire1.10,br?snoubrs-apprcommenceronsc'estparr?troisvsectionsationpr?liminairesmasurobtenirlaL'actiontop?galeologie,eslaong?om?sitriqueeaussietestrictionleestspduectre(1.4)desertesbr?stprincipauxanendetores.soul?vDans4.2).lath?or?mesection(c2,quenouspasd?nironsuneunainlaplacienvparianlat,topbr?sologiqueeg?nd?ralispacercles.nunetalelaourclasseuned'Eulerdedesebr?s,endescercleetetolumequiesppuneourrarincip?tredeutilis?torespouroureutconquetr?lerneledeusp?rieureectre.2.Laessectionation3totalementsera;consacr?ee?lal'?tuded?j?deRemarquelaestg?om?trieades(1.11)br?sbrprinci-lepauxyenosantores.parLepr?sultat:principal,estou-querestenptesousuivruxd?monlestreretle1.10th?or?meLe1.10paragrapheon1.13p[Ja03],eutfsez?roramenerles?siunevsituationtendg?om?triqueestsivari?t?miemple.nnienneEndimensionparticulier,v?riantonropremonaleurtrerapremi?requ'unelesquelsm?triquepdetorescourbureprincipauxetdediam?treondremenb'Lsiaexemplesdes4eutbr?onestEnproencleshebrd'uneprincipm?triquedeienpvsoitariancasteoximationpHausdorourclaquellellescommebresalorssexisteom?triquesnrtcatotalemensurtetg?orde?sietqbruesp:aleTh?or?mepar1.16.jorationSoientde1.15.enetlesQuestionpdeuxpasrp?lesels1.strictementdeponositifs,x,??unouentierestet;toutLourbrpdeles,brtielsupunesontvarg?i?t?d?siquesriemannienne3.dedimendimensiondsbretrisicettementsaitinf?rieur1.13.eoptimal.?luien-;.LIlrexistededesdansclaonstantesedi?rtel-formesqueauxon?sultatsrartesl'expcailleursaliserassureg?n?r,Peut-onour1.14.L'in?galit?Questionorn?s.surleg M
kT
(M,g) K(M,g) a
kT
kT
k kk ∈ N T ,→ M → N T g
kT f N
kM T g
1x∈N g g (x) g f(x)gx x

1 kM < (supf(x)) (T ,g)0,1
x∈N
kT
k kT (T ,g)0,1
0C C
(N,h)
k k k kM T N T =R /ZQkk 1 kk T = S T
i=1 (i)
res-brd'in?1.10.encastorveth?or?medestopl'?tudebase,th?or?mes?inramener1.3.unelam?triquedesinvarianterisurlorsses'?crireeutbetlappropreuneseronsfonctionexemplessurnonsectionsstrictementetpspositive.cetteSuppenosonsermettra,queote,principaestparmuni:d'uneem?triqueLaarianlevtip-invarianteimpaire,intientelLesledesque5,pc?sourstouttreronsm?triquetd'uneetuniles,th?or?melag?om?triquesr2.estrictiontoremhertoreprincipauxenundedi?ren-pald'Euler?cercles,laspbrSoiteTh?or?meprinci-torebr?ind'unduitastcoth?sesv?rieetleRemarquedansdest,encommenque?tudieronsunousicit?4,propresectionlelaci?Dansdes.arian.derni?resSoitauxfaible1.3unelavaleurconstruironsprtsoprleedansductilaplaciennousagissant(1.11)surenlesr?sultatsforr?c?denmdiscuteronsesossibilit?di?rtesen-,tielenlesariandecelleplusSoit.opSiprincipauxoth?seallonsypnoushd?crirel'despartore,de?courburevlansurquioth?selaypll'hbr?s1.16leth?or?metledudanseondremenremplaceruneutenpsuron.alorsdete,arianarianeuvle-intiellesestformes,palorsvlesdformescourbureprdiam?treoprorn?s.es1.21.as-d?monstrationsodeuxci?metes?videncesontfaitsursim?triquem-invariantes.lRemarquel1.19.d'uneOnaleurpesteutalorsmonsous-espacetrerassoqueconcettetestimationformesestvoptimaletes.:deuxsisectionsonconsacr?escond?monstrationssith?or?mesdet?reDansunsectionbr?noustriviallesmd'eondremenuniannond'unedansm?triqueth?or?meproEnn,duit,laonevooit6,qud?monel'in?galit?lesduformes1.10propresutilisandelesladesquepdetes,vnousaleurdeproppred'exprimeroseconstansupplaplacienl'on?siduque1.10aussifonctionerravvtsOnde1.17.duRemarqueectreinduisen.tTsurologielebr?sbr?endesNousformesdansppartieropresattacde?m?melavologiealeurbr?spropreenquietneparticuliersonconstruiretinpaasaintvtielarianptes.commeRemarqueclasse1.dans20.aDansdesleencasd'?tudierdescompbr?srtemenenducercle,ectrellaplaciened'unth?or?met.1.181.18.am?liorebr?sensiblemenlttoreun:r?sultatunesemdblableLeobtenupropresl'actiondutesB.vColbpoistetcommeG.proCourtoisde([CC00])cerclesqudi?reniauxn?cessitaitteindesetitesunlaplacien.aleursdehL'actionypu5par1M S
(i)
Y
1M =M/ S ,i (j)
j=i
1M N Si (i)
k (M ) Ni ik L
kkT Mii=1
M
2 kM k (e , ,e )∈ (H (N,Z))1 k
kT
k(a , ,a ) Z1 k
kT (Ra /Za )i i i
k
[e]
ω 1 dω
2
[e]
1 G
ω G ω
1
ω
G G
G
ω ∈ G ω 1 M
ω 2 N dω = ( )ω ω
2e :G → H (N,R) ω 7→ [ ]ω
ω
k k kT = R /Z (ω )i i∈[1,k]
k kR T
Qkk 1T = S (M )ii=1 (i)
0i i 0 0M →M →N = =i i ji j
0ω M ω (ω )i i i i
0 M dω = (dω ) = (e )i i ii i
surbr?ologieendi?rcerclaltoreeCepdnoteeaclassedud'Eulerdi?rledeDansestd'Euler.e.,deononaquilalepropri?t?.suiveuanbasetele([BT82],ationp.72)ar:sesichoixclassesclasseest.laudebr?s-formetdeconstruireconnexionmenduinduitebr?,valorsptinduitdi?ren2.2.est,unedu-upletc-formelehorizonunique.taleAquid?compd-uplet?pparendd.dugcendhoixonnexion)deplaestconnexionturesurformesleaubr?,.maisbr?quideest,deaucommesignejectionspr?s,surledesrelevt?Chaqued'uneun?l?menctladeiundg?n?ralcenprincipaux.PropDans?crireleoncasr?seaud'unlebr?penettore,ouronnpveet,an'estconstruireprounesindevt,arianclassestequidonn?eg?n?raliseestcetted?niepropri?t?.laDanscleecasned'unasbr?laprincipallin?quelconque,:lalaformepardetebr?connexionlaestauuneordndt-formetv?tanerticaleutilisan?ositionvcercles,aleurdedanslal'laalg?enbreende(2.1).Liedesobr?deermetlaenbre.?rienSilaonR?ciproseagdonnedeuncercle?br?l?tan?m?en6trcorrespdeuelende.auq?crire,petdesqu'onactionapppliquebr?cerclesende:?ositionl'imageSoitdetlapforme,delaconnexion,-formeonentielfamillesurainduite6arlaque-formehvlaerticale-forme?evtielaleursurr?elle.telOnquedEnipasracerclesqueduitcette.formelordi?renl'applictielleenestositionlainduiteendand'Euler.pardededonn?uitp.d'unDelalad?termin?em?medemani?re,bienla(c.-?-formequedeclasMaurer-deCartanohomolod?nissanitdeuntopisomorphismed?penptreducdehaquecespaceettangenairtD?monstrationvOnerticaloseetd'Euler,dsa,d?termin?ccerclehaqueon?l?menentd'undestruc-proCommebr?induitlescounonn?escdi?omorphehamppass?esdequotienvsercteurrvtoreerticalEnsurtled?compbr?enviaceceteniscesoWhitneymorphisme.sommeNotons,qued?nitcefamillecbr?shampcercleestprenand?nitoreind?penendammOnenalorstprodeenlauncondenexion,pconcerclestrairemenbr?stvauxtformdonn?eest,induitesque-p.arileslequel?l?menbasets.dformeeenlesurcommepar.tOnestvrelevahaquemon(2.1)trerari?t?slelesr?sultatdesuivformeanconnexiont,br?quicerclepd?nermetOndeeutd?nironcuneeutg?n?ralisationOndecaslhacund'uneadclasseuned'Eulersurauxobtieno?tunee 2 N ei i
M Mi i
2M e : G → H (N,R) e(ω ) = ei i
dω = (e(ω)) ω ∈ G ω
M
k = 1 ω
1 e(ω)
e
M
G
e
k 2T T
k 1T
2 2H (T ) 1 e k 1
k k 1
2T
k 1
ω ω G
e(ω) e(ω)
2e G H (N,h) 2
2N H (N,h)
2H (N,R)
(g,h) M
k nN T ,→M →N
: (M,g)→ (N,h)
kT M
tielleleColblientoreensaittreenl'in-spvctivementarianlangtl'espaceentetllanotionfoupleadumiL'actionlleaudedi?renclassedesd'Eulerd?nitassodoncci?etrer?uneunesimple.d?compeosition:parti-d?niesculi?recipenasommeestdeparfoisWnotanhitneytoutdeplus,metde:aura?niquescfaithaquesurd?complaositiondespNousossibledansestseassoourci?eenuneunebaseddeen2.2Courtoismonstrationdit,connexionetcllaaendammenfamille:de?classesurd'Euler;eonsabustl'image,dedecettepbase.parerrad?une.deExemplepar2.5.lin?arit?,Le-formesth?or?mel'?tendan1.13tdeen[Ja03]Simocann?trehoix3.enprincipauxtreM?triquesautresicicphosesbutth?or?mequ'unerbr?g?om?triqueprincipall'?tudeend'untoreestLasituation2.4.denonm?triquetrivialdansdondestparlaetbaseC0est3.1.unletorem?triquesRemarquedebr?.hpespeuadapt?tations'?crireducomme,proclasseduit.d'uneationnilvappartienari?t?Or,deunedimensionsubmersion3iet,d'un?criratoreparduded'Eulerageclasset.enCommelalieuestalorsour,ext?rieure,longueurdeDeestvdeparfoisdimencommesiapplicationolandanscerclelin?arit?,bien,leonnoparytauharmo-dededu,estutilisandeledqueiparmeonnsion.olumeestvoniquemen,isomorpheformeconnexionlade?videncecduisom?trique.iG?om?trieibr?sLenbr3.1.sontadapt?esg?allonsd?siquesmon7qu'onbr?eut,enleuned'obtenirsommeede1.10,Whitneyramende?estsituationbr?spenlaquellecerclesdudonectretbr?sitoreetplussonCettetesttriviaux.g?n?ralisationOnlaretrouvdeeadapt?edon?niecllecasfaitbr?squecercleleB.br?oispG.eut([Cs'?crire0])commeD?nitionleOnproqueduitcd'undebr?surenlacercleoixsursurSiet2.3.reted'unesttore?debrdimensionprinRemarqueale.t.ind?pDansbr?lad'Eulersuite,sisiisurLestbrunelaformetinqueduiteonpar.un-forme?l?menesttuneinduiteriemannienneeide.formdelacesurquiestsign;ii.eesqu'onesptotalementeutod?comp;oserle1 ω G dω =
(e(ω))
ka d T ,→
n(M ,g) → (N,h)
0ε (n,a,d,(N,h)) > 0 (n,a,d,(N,h)) > 0 (n,a,d,(N,h)) > 00
c(n,a,d,(N,h)) > 0 |K(N,h)| a |K(M,g)| a
diam(M,g) d ε ε < ε0
˜g˜ h M N
0 ˜ : (M,g˜)→ (N,h)
0˜(g˜,h)
1 1 ˜g g˜g hhh

0 1 0g˜ diam( (x)) ε
x∈N
(M,g˜) |K(X,Y)| c
(X,Y)
g g˜
M n
1g g˜g

1 3n 1 (M,g) (M,g˜) (M,g),p,k p,k p,k3n 1
k 0 p∈ [0,n]
enationTh?or?mehedeuxce;v2.m?triqueproelsestm?triquestorequeentcipalompprin-lesbr?queunprincipsurexisteettorn?eoirbsicourburesonde?m?triquesurqu'unedimensiontrerstrictementmonm?triquesutL;et3.etLbraetrtoutestrictionildequ'elleseOnvd?monstration?surlalabrqueoestd?siques.teladapt?leriemannquevari?t?Ond.,v?riecdeositive.?l?menteunadapt?earcp,induitetelalerverticp-formebrouteen,etproursurtoutpTdes.desivt;d?siques4.tLelaacsourburth?or?meequemensebr?sctionnel?r?s,leestdete,lesonstantesisom?triques,elles,tetSoitcetv?rieestavem?triquesHausdoriennesdeuneoximationc-appracteteldeune'uneestetlesunesionstante,ppSiourdtuxov?rientla:br3.2.oupleRemarqueeLe1.3.2alorsenlesleSoient1.deux6.?restrictionstrictementlaositifs,impuns?ealleationoinune4ctivementlaespdutor3.2e.ermetIlmieuxettr?lerourspentiersducetetfaitexistelesalorsresu.te3.4.pth?or?meairimpliqueeparticulierdeth?or?meve1cteursLahorizontauxsurorthonorm?sg?om?trieetoque?sipar,p,tseradedansconclusiond?monstrationth?or?meth?or?mepRemarquedeEnconertuleth?or?meectreHermannlaplacien[Be87]249),utile.laOndup1.10.ourra3.5.alorsvappliquerd'unleder?sultat([He60],dep.J.leDoquedziukbselonsoienlequeltotalemensig?odeuximpliquem?-sontriquesisom?triquessontretles.provcvhes,danalalduors3.2lesr?ciprospt,ectreslesduconlaplaciendpsiourm?triquecesindeuxarianm?triquesetsonetbresprotcalhesrsaussison:totalemenTh?or?meg?o3.38([Do82]).M
k nT ,→ (M ,g) → (N,h)
g
a > 0 d > 0 (n,a,d) > 0
c(n,a) > 0 |K(N,h)| a K(M,g) a diam(M,g) d
g˜ M :
(M,g˜)→ (N,h)
1
g g˜g.

M
k na > 0 T ,→ (M ,g) → (N,h)
g p
|K(N,h)|a K (X,Y) a (X,Y)(M,g)
1
kω T
8a2 2|dω(X,Y)| |ω| x ∈ Mx x3
X Y
4an(n 1)
kdωk kωk∞ ∞
3
˜ ˜x ∈ M y = (x) X Y N
˜ ˜y X Y X Y M

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