pilier de la physique moderne

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Les mathematiques, pilier de la physique moderne D. Gratias Introduction Le principe variationnel La notion d'extremum Principe variationnel et Mecanique L'equation d'Euler-Lagrange Lagrangien d'une particule libre Lagrangien d'une particule plongee dans un potentiel scalaire Les espaces vectoriels de fonctions Notion de produit scalaire Operations de derivation et geometrie Conclusion Les mathematiques, pilier de la physique moderne Denis Gratias LEM CNRS/ONERA Chatillon 7 septembre 2007

  • nageur imprudent

  • lagrangien

  • maıtre-nageur

  • vitesse v1

  • equation d'euler-lagrange lagrangien

  • loi fondamentale de la mecanique newtonienne


Publié le : samedi 1 septembre 2007
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Nombre de pages : 25
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Lesmath´ematiqusep,lieidrlepayhqusiodemneerGrD.aitatnIsudoroitcrincnLepariaipevenLlitnooidnnatoemr´xteciinPrumtairaveptelennoieuLe´uq´Mcenaqiuler-LagationdEgnardneignargaLeulicibelneurtpadnuignergnaeraLong´leplticuepareitnetopnusnadeeeirlacals
Les espaces vectoriels de fonctions Notion de produit scalaire Operations de ´ d´erivationet g´eom´etrie
Conclusion
Lesmath´ematiques,pilierdelaphysique moderne
DenisGratiasLEMCNRS/ONERAChaˆtillon
7 septembre 2007
Nous nous proposons de discuter ici deux aspects essentiels desmath´ematiquesutilise´esparlesphysiciens: Ile principe variationnel, Iainsensemibeleetscdeerte´moe´rtnertlegaleenli fonctions.
Introduction
mathLesGrD.neerntsIiaatoitcudorcnirpeLntiqu´emailiees,ppayhdrlemedoisuqPrumciinvapeatrinnoitelece´MqinaipevariationnelLnatooidnetx´rmetrapenudneignarangrLareibelulicdnEtaoie´uqeuLeLagrang-LaguleracslrialetopeitnsvcetoeceseLpaesperaitucignednueedansunleplong´´dresnedoienvitaireOcalaatiop´erednoitoNstiudorpefsdelrinsioctonisulno´etg´eomietrncCo
delaliers,piiquenrDeomedqieuhpsyucodtrInastira.GavepicnirpeLnoit´htatamemseLitnoqeauel-rduEangeLagrangiLagrpenudneelucitraageLbrlindiengrairtaoinnleaLonitondextr´emumPripicnraveitaiennotMleca´equni´eLialacstiudorpedniootsNontincfode´goenoteavite´irsdedtion´erareOppnusnetoe´gnnadeulicloepneurtpatcroeislpscaseevaireLesetielscalnte´mCeirlcnooisu
La physique s’appuie sur des postulats obtenus par induction `tirdelexpe´rien a par ce. Ainsi la formule de Newton, loi fondamentale de la me´caniquenewtonienne,
p f~~¨d~ =mx= dt
Le principe variationnel La physique s appuie sur des
est un postulat. Les physiciens du XIXeas,fn´cii`sleecroftelumapsetecro,tn tente´dend´ecouvrirle sens cachesous la forme d’un ´ postulatdeport´eeplusg´ene´rale. Lid´ee,due`aLouisLagrange,estlasuivante: Parmi toutes les solutions possibles de lois pour la physique, celleseectivementchoisiesparlanaturesontsinguli`eresau regarddecertainespropriete´s. ´ Ellessedi´erencientdetouteslesautresparunepropri´et´e extre´malequellessontseules`aposs´eder.
neD.Gratquemoderlepayhisp,lieidrarevtiiariepipnctcudLnoiIsaiortncipePrinemumxtr´dnetooiLlnanoenatqu´eLueiqanec´Mtelennoitairave´htamseseuqitamLnoitrpedoitcoNsnirlap´eOuiodcatsed´dreviretaoisn´eom´etrationetgnoisulcnoCeindioulE-LerraagLegnargaeignudnneparticulelibreaLrgnaignednupelecutiareeg´onplopnusnadsleitnetireLcalapaceesesotirvscefenoleds
Lanotiondextr´emum
Unexemplesimpleestceluipos´eparleprobl`emedu maıtre-nageur. ˆ Unmaıˆtre-nageur(A) doit porter secoursau plus vite`aun nageur imprudent (B). Quel chemin optimum en temps doit-il parcourir sachant qu’ilcourtevit`aunessev1etnage a`unevitessev2?
irCe´mte´goenotevati´erisdedtionniousclonedofcnittcroeislspacesveaireLesepOerare´cstiialaepnddurosNonioot
t1=`1/v1= (x2+d12)1/2/v1t2=`2/v2= ((Lx)2+d22)1/2/v2
Soient`1et`2emaıtre-nageur`sparaocruriaplrecnatsidsel ˆ respectivement sur la terre et en mer. Le temps globalT pour atteindre le nageur estT=t1+t2avect1=`1/v1et t2=`2/v2elsrioat.Olenairteseuq´gsn´moees´evident suivantes : x=`1sini1Lx=`2sini2 et
naegaLrgel-rduEunependangiLagrace´Mtelennoitaiontiuaeq´eLqunigne´denacilupeoltielscalsunpotenrbilgaLeitraelucneurtpangrandiedelalieriquephysnrDeomeditsaG.arsmLetame´htaip,seuqielLanotiondextre´umPmircnpiveratrInucodontiprLeicniaveptairnnoi
n1sini1=n2sini2
Cestl´equivalentdele´quationdeSnell-Descartespourla re´fractiondunfaisceaulumineuxpassantdunmilieu d’indicen1=c/v1ecdrediinau`utnan2=c/v2.
Lagrangien d une particuleplonge´e dans un potentiel scalaire Les espaces vectoriels de fonctions Notion de produit scalaire Op´erationsde d´erivationet geometrie ´ ´ Conclusion
x Lx`1sini1`2sini2 =`2ou =v2`2 v1`1v2v1`1 soit enfin en posantn1= 1/v1etn2= 1/v2:
dou`
dTd(xx)=dxtd1+tdd2x xL0 =`+ = x v1 1v2`2
Le temps total optimal est obtenu pour la valeur dex comprise entre 0 etLqui minimise la fonction T(x) =t1(x) +t2(x), soit la valeur dextelle que :
ctdunLioriepipnc.DentarGIsaiortnelaphysiquemoderamituqsep,lieidrL´ethmaesneparticngiendululebierndioulE´eLatquLegnargaL-reargaatiovaricipePrinqieucenate´MnnleanlLneontiiaarevmume´rtxednoito
e´noncelefaitquelalumie`rechoisitparmitoutsleschemins optiques celui quiminimiseson temps de parcours total dans les deux milieux.
n1sini1=n2sini2
La loi de Snell-Descartes
La loi de Snell-Descartes
noitcnofedsleiroitduroepndiootsNlaialecsneitpntovectacessespreLeapencitreignudned´esuanepulnglodnuperargnaignebreLagraticulelig´etm´eorietoneCsulcnoiscalaireOp´eratinodsdee´iravitnoLeatsmerdelaphysiquemo´hmetaqieu,sipilnirpeLnoitcudortInastira.GeDrnderte´dxeitnoaLonnnelatiovaricipee´MtinacnoitelenevipiaarmPmuncrirgnaegaLuEel-raLuationdqueL´eq
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