Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la metrique hyperbolique

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Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la metrique hyperbolique Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Sur la boule unite de Rn, on considere la metrique hyperbolique standard H0, dont la courbure de Ricci vaut R0 et la courbure de Riemann-Christoffel vaut R0. Nous montrons que, pour tout tenseur symetrique R voisin de R0, il existe une unique metrique H voisine de H0 dont la courbure de Ricci vaut R. Nous en deduisons, dans le cadre C∞, que l'image de l'operateur de Riemann-Christoffel est une sous- variete au voisinage de R0. Enfin, nous etudions plus precisement l'equation de Ricci en dimension 2. Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric Abstract. On the unit ball of Rn, one considers the standard hyperbolic metric H0 whose Ricci cur- vature equals R0 and Riemann-Christoffel curvature is R0. We prove that, for any symetric tensor R near R0, there exists a unique metric H near H0 whose Ricci curvature is R. We deduce in the C∞ case that the image of the Riemann-Christoffel operator is a submanifold in a neighborhood of R0. Finally, we study more precisely the Ricci equation in dimension 2. Considerons une variete Riemannienne munie d'une metrique H. Pour p et q entiers naturels, nous noterons T qp , l'ensemble des tenseurs covariants de rang p et contravariants de rang q.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : univ-avignon.fr
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Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la me´triquehyperbolique
Erwann DELAY
Universit´edeNice-SophiaAntipolis
n Re´sum´e.e´eduboaellrnuuStiRo,erelam´enconsid`brepqiloqirtyheurdstuedaanH0, dont la courbure de Ricci vautR0et la courbure de Riemann-Christoffel vautR0. Nousmontrons que, pour tout tenseur sym´etriqueRvoisin deR0i,elixtsueenm´ueiqunequrietHvoisine deH0dont la courbure de Ricci vaut Rrelsnadaceosiud,sn.oN´ddesuneCimledague,q-suosenutselhristoeiemann-CtauedrReleo´pre vari´ete´auvoisinagedeR0.n2ionsmentis´equatl´eRecioidnidemicner´eclusponsptudisue´,nonE.n
Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric
n Abstract.On the unit ball ofR, one considers the standard hyperbolic metricH0whose Ricci cur-vature equalsR0and Riemann-Christoffel curvature isR0prove that, for any symetric tensor. WeRnear R0, there exists a unique metricHnearH0whose Ricci curvature isR. Wededuce in theCcase that the image of the Riemann-Christoffel operator is a submanifold in a neighborhood ofR0. Finally,we study more precisely the Ricci equation in dimension 2.
Conside´ronsunevari´et´eRiemanniennemuniedunem´etriqueH. Pourpetqentiers naturels, q nous noteronsT, l’ensemble des tenseurs covariants de rangpet contravariants de rangq. Lorsque p q= 0 etp= 2, nous noteronsS2euqsrtqicsniiuesdeenluosese-secapstdeseenssur´eymS2= H ⊕ S20,o`uHsont les multiples deHetS20a`parrtropllnupae(eeuttxcdcoenrasH). Toutcomme[3],nousutiliseronslesope´rateursdiv,RiccietBian; nous noterons de plusRiem lop´erateurdeRiemann-Christoel,Scall´eopteracourruubercslaiaerte4le laplacien brut. n SoitBaldeeet´inueluobRdeieun(mnestdienrdandateiral´mcuiluqeeE), soitρla fonction 1 22 d´eniesurBparρ(x) =(1− |x|) et soitH0=ρ Ela metrique hyperbolique standard surB. 2 Eng´en´eral,H=H0+hseruirduqenuate´mise´rengBvoisine deH0. Dansle cas particulier ou`H=H0(i.e.htnedessetnoridnieec´arspDe0.elnstotaoisnte´denitionspr´ec´e=0esutto), plus nous noteronsR0=Ricci(H0) =(n1)H0etR0=Riem(H0).
1 Courburede Ricci prescrite Pourr∈ S2voisinde 0, on chercheh∈ S2voisinde 0 tel que Ricci(H0+h) =R0+r. Moniteur-Allocataire MENESR 94-97, A.T.E.R. 97-98
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E. DELAY
Lop´erateurdeRiccinestpaselliptique,cestpourquoi,parunem´ethodedˆue`aDeTurck[3],on 2 2 introduit, pourHmseascldeueiqtr´eCet un tenseurRC(B,S2´eraloprue)t, 1 Q(H, R) =RicciHdiv Bian(H, R)R. 0 n1 s p Nous travaillerons dans cet article avec les espaces de Banach Λ(B,T) , munis de leurs k,α q (s) normesk.kPour une fonction, introduits dans [4].u:B−→Rtirce´semronettce k,α P (s) s+|γ|γ kuk[= supρ(x)|∂ u(x)|] k,α|γ|≤k xB P γ γ |∂ u(x)∂ u(y)| s+k+αs+k+α + supmin(ρ(x), ρ(y))α. |γ|=k|xy| x,yB x6=y The´ore`me1SoientkN,sRetα]0,1[. Si2n > s(s(n1))uationorsl´eqla, Q(H0+h, R0+r) = 0 s2 pourrsanedn´ondΛ (B,S2)ovhnnisizedeore´nisiov`edepossero,dez´tuoiseloinuqnuue k+2s2 dansΛ (B,S2)et l’applicationr−→hvertneeieganisioro´eezsdseistlesul,sD.peainsid´en k+2lorsquek1eierv´onulitalosre,oed´zaugietstisi,nq´eesdvuoei`raerl(1). Preuve :Posons F(h, r) =Q(H0+h, R0+r). s2 On montre tout d’abord queF(nadsΛsva`aurlesteB,S2earilin´es´edraia)P.srelllueFpar k,α rapporta`ha`(rtdese)x´arepn´onc(.f2[)]: 1 DhF(0,0)δh= [40(uH0) + (402n)h0], 2 o`ulonad´ecompos´eδh=uH0+h0sleravtr`aegadnicseS2=H0+S20eth´`eslapr.Dmeeoe`r d’isomorphisme de [4 p.217], si2n > s(s(n1)) alorsDhF(0,0) est un isomorphisme de s2s2 Λ (B,S2() dans ΛB,S2pmisicil,setrpali`emepertiareisapA.ni´hoelrteedesr`emtionfonc) k+2,α k,α duth´eor`emeestd´emontr´ee.Ilreste`aprouverque,pourrvnoiire´1(ecI.)otinrepetit,lasolut m´ethodedi`eredecellede[3].Nousmontronsqueω:=Bian(H, R) = 0 en appliquant brutalement lop´erateurBian(H, .`)la´uaeqontiQ(H, RNous obtenons) = 0. Bian(H, divω) + (n1)ω= 0.(2) 0 s1s1 Conside´ronslapplicationline´aireL(de ΛB,T1) dans Λ(B,T1e´neiapr)d k+1,α k11 :=Bia ω) + (n1)ω=(4 −(n1)ω). n(H0, div0 0 2 Dapr`esleThe´ore`medisomorphismede[4p.217],lorsque(n1)> s(s(n1)), Lest un (s1) (s1) isomorphisme et il existeC >0 tel quekωk ≤Ckk.Ici,ωonc(2)driev´e k+1,α k1∗ ∗ , divω). =Bian(H0, divω)Bian(H0 0 (s2) Pourtel queC <1, on montre qu’il existeνtel que, sikrk ≤νalors k+2(s1) (s1) (s1) kk ≤kωk.Donckωk= 0 puisqueC <1 ; finalementω= 0.k1,α k+1,α k+1
n Courbure de Ricci surH(1)
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Leth´eor`eme1estapplicablepournmocuvertdnepelemerypthanedquliboeplIeuˆtu.01 re´sultatdeHamiltonsurlasph`ere[5].Pourn,2suonteobnsnothunor´ee`emnalagoeuopru le tenseur deRicci contravariantEn.ranudneyomua,ninuicontntdegumeatupproraar´tpe param`etreh0,usnoequationssua´liiartsnotRicci(H1+h) =Ricci(H1) +r,`ouH1=H0+h0est 2 2 prise voisine deH0dans Λ(B,S2etrmd´deeq(cpeui)elimformeconin´tinemlrferoρ0ρ H, k+4qui vautEpourH0).
2Imagedelop´erateurdeRiemann-Christoel 1 1 Conside´ronsR, le sous-espace deTtsedeurstensianv´er 3 3 i ii ii i τ= 0, τ=τ ,τ+τ+τ= 0. ilm klmkml klmmkl lmk pp s PoursR, nous dirons qu’un tenseuruC(B,T) est dans Λ(B,T) si il est dans qq s ps p Λ (B,T), pour toutkN(α0na]s´xdetanet´,munit l’espace Λ1[). On(B,T) de la k,α qq (s) s p famille de normes{k.k }Λ (. L’espaceB,Te)tsnudecepaesetch´eFrne´dnO.selti q k,α kN applicationslissesauvoisinagedez´ero: s2s2 r(.)Ricci(H+.)R( ): Λ−→Λ (B,S), 0 0B,S22 h(.tonsque`eme1(noudhte´roosulitnoonticalippa)lhr=rh=Id), s2 Λ(B,S2) s2s2 1 ρ(.)Riem(H+.)− R(: ΛB). 0 0,S2)−→Λ(B,R3 s2 1s2i i Enn,onde´nitlapplicationli n´eaireT r(de ΛB,R) dans Λ(B,S2qu)ai`τklmassocieτ. 3kim Th´eore`me2Soitsrnutanierv´el´e2n > s(s(n1))a. On s2 1 Λ (B,R) =ImDρ(0)KerT r. 3 Preuve On aT rρr, doncT r(0) =Dr(0). Parailleurs, on a Dh(0)Dr(0)Dr(0)Dh(0)Id . s2 Λ(B,S2) Le diagramme suivant est donc commutatif (0)T r s2s2 1s2 (B,R)−→Λ (B,S) Λ (B,S2)−→Λ32 |Dr(0)Dh(0)|
Th´eor`eme3Soitstrnulee´re´vnai2n > s(s(n1)). AlorsImρi´ar-vusde´eetseutenos s2 1 Λ (B,R), graphe de l’application deImDρ(0)dansKerT rrapeode´nnΨ−→(ρhT r)(Ψ)Ψ. 3 Preuve s2 1s2 1 On montre que l’application Φ de Λ(B,R() dans ΛB,R´zreegedisanvuioeassli)nieod´e 33 par Φ(τ) = [(0)Dh(0)T r](τ) +τ(ρhT r)(τ) estunchangementdecoordonne´esauvoisinagedez´eroquiredresseImρenImDρ(0).
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