Prescription de la multiplicité des valeurs propres

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Prescription de la multiplicité des valeurs propres du laplacien de Hodge-de Rham Pierre Jammes Résumé. Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 6, on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les p-formes di?érentielles pour 1 ≤ p < n2 . En particulier, on prescrit la multiplicité des premières valeurs propres. Mots-clefs : laplacien de Hodge-de Rham, formes di?érentielles, multiplicité de valeurs propres. Abstract. On any compact manifold of dimension greater than 6, we pres- cribe the volume and any finite part of the spectrum of the Hodge Laplacian acting on p-form for 1 ≤ p < n2 . In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. Keywords : Hodge Laplacian, di?erential forms, multiplicity of eigenvalues. MSC2000 : 58J50 1. Introduction On sait depuis les travaux de S. Y. Cheng [Ch76] que la multiplicité de la k-ième valeur propres du laplacien sur une surface compacte est majorée en fonction de k et de la topologie. En dimension plus grande, Y. Colin de Ver- dière a montré ([CdV86], [CdV87]) que toute rigidité disparaît et qu'on peut arbitrairement prescrire le début du spectre, en particulier la multiplicité des valeurs propres peut être arbitrairement grande.

  • bord

  • hodge

  • spectre

  • laplacien de hodge

  • norme l2

  • opérateur

  • laplacien∆p agissant sur l'espace ?p

  • primitif


Publié le : mardi 19 juin 2012
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np 1p< 2
np 1 p <
2
k
k
ectre,-sondevRhamvPierrefacesJammes?tudi?R?sum?.sSur[CdV87])toutegrande.v[HHN99]),ari?t?tcompaclesquelstveRhdededimeutensionvs?rateursupultiplicit??rieurerouhr??galeennec?ec6,tonlesprescrittr?leduvdi?renolumer?sultatetaledispara?td?butledumspeutectreChengdudingerlaplacjorationien(vdeestimationHodedge-deopRhamsurfaceagissanpartprobl?mesuroples([CdVT93],dgep-formeslesdi?renplustiellestp.ourpHotoutedelaplacienlaplacienagitduimpsd'proprer?sultat.er-Entr?particulier,touteonqu'onprescrittladumparticulierulcit?tpropresiarbitrairemenplicit?r?sultatdesauxpremi?resScvlesaleurslapropres.laMots-clefs?t?:[Be80],lmeilaplacienodemHo2dge-depropreRham,deformessurdi?renytielles,obtenmS?-ultiplicit?[S?02]).deaussivouralaeurshamppropres.pAbstramct.?treOnEnannybcompactconcernanmanifold?rateursoflesdimensionnaturels.greaater[Gu04]thanp6,riwnieectrepres-Hocribm,elesthemaisvtolumepropresandsimples.anLeyColinniteVpartdi?reofmonthe([CdV86],spqueectrumrigidit?ofetthepHoarbitrairemendgeprescrireLaplaciand?butactingsponenaleursla-formultiplifordesvaleursspde?treultiplicit?tmLelade.s'?tendInopparticular,dewhr?esurprescribsur-eetthemamdeultiplicimtayam?lior?eofoirthe[Na88],rstlaeigenleurevpalueusla.ultiplicit?Keywlaordse:aleurHod'und?rateurgScedingerLaplaciunean,adierenantial?t?forms,uemB.ultiplicitvy([S?94],ofCeeigenav?t?aplues.desMSC2000?rateurs:v58J50c1.magn?tiqueIn[BCC98]),troourductionlaOnultiplicit?saiteutdepuisarbitrairemenlesgrande.tracomparaison,vcoauxnaissancesdetS.eaucoupY.limit?sChengt[Ch76]opqueagissanlasurmbr?sultiplicit?ectorielsdePlaGu?rinidemon-i?medansvqu'onaleureutpropresreduclaplacienresurpartieuneesspurfaceducompactedeestdge-demaajor?equiensurfonctionformesdetielles,Prescriptionenblableosan?t?auxualeursM.prescritesp?trel'opUndesemiracaetobtendeparlaDahltopourologie.?rateurEnDdimension([Da05]).plusseulgrande,1Y.n 6
n
2
n(M ;g)
p pn
(M) p
= dd+dd d
0 = (M;g)< (M;g) (M;g):::p;0 p;1 p;2
b (M)p
( (M;g)) ( (M;g)) ( (M;g))p;i i1 p;i i p 1;i i
0< (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p
(M;g) = (M;g) p ip;i n p 1;i
M
n 1 (M;g) pp;i 2
nM
n 6 N 2 N V > 0
0<a <a a :::a 0<a a :::a1;1 1;2 1;3 1;N p;1 p;2 p;N
n 32p [ ] g M
2
n 3 (M;g) =a 1kN 1p [ ]p;k p;k 2
n 1 (M;g)> sup ap;ii;N[ ];1
2
Vol(M;g) =V
n 1 (M;g)> sup ap;ii;N[ ];1
2
n 1[ ]
2
n
2
ilVconsistedeimen-Colinetdepr?cis?menth?or?medebutlespd'?tendreconstruireestsparticleformesesteutlaondanr?uniond'undemocetari?t?deubutleLeco[Ja06a]).estoiron(vtableRhammdge-deectre,etetHoectrededomainelaplacienpropri?t?sduformesdoublesquepropres,aleursourvdge-dededearbitrairelicit?bretielle.o?o?nomparunonconstruiresureutlepRemarquequ'onari?t?estle?rateursdeopendeuxlescesexactes.deeullesvnari?t?non(enpropresari?t?)aleursdevdudese.ultiplicit?cmsuiteslatoutetde(1.2)pd?signevlespropresvdealeurs,puneromprestdunoteronslaplacienourrestreind?signetp?quel'espacedesdi?renconcernanexcepte-formesdegr?coagissanexactes,petdeonLaacompacteenuneoutrearbitrairemenuSiauxpconncrireectrespspvledudge,propresHo?tandedansth?orielearlaPfaire.leformesladi?renerstiellesmoenccurencemonlapaoursouhait?toutgr?ceBettieetectrede?siourbredegr?sn'adepasdesdetbsurord.vLecompactespdimensionectreoncompleteutdudeslaplacienpsealeursd?duitdalorslaplaciendesHonomRhamlealorsc'estexiste:m?triquegiquesurolo-teltopquepultipourarbitrairementectreariansonvNousinpundi?renestlaerdi?regrande,etlaet?clusentdesi'in;arianced?ni2tiellesv-formesaleursdespropreslesqu'ondevl'espaceats'in,t?resser.;Th?or?melaplacien1.3.,Soitsionexiste,delle.une1.4.vari?t?conditioncorienompriemannienneactevcestonprescrirenexetorientabled?butsansultiplicit?.becorermetdpres-deledimensiondusiectreulle,degr?naetspre,pformesrocorrespptes.tSiCommeon[CdV86]se[CdV87],donneprincipunderd?monstration??econlergeraleurspvdelav,vuneceluisuiteespaceded?letiplicit?l'oul-unmdeLavultiplicit?.quimleaectreyets'ilconclure?t?esauxr?pdtstabilit?sonspullesdundnonlpropresPaleurslesvdelesproo?hes(1.1)tran,,c'estd?monstrationdonchoue?raisonlalmvultiplicit?(oudeces2L
n 6
(M;g)1;1
n 1 (M;g)
[ ];k
2
n 4
n 1[ ]
2
(M;g)1;1
nM
n 5 M g
(M;g)1;1
M
(M;g) k1;k
laOnChengutiliseraduitsunepconstructionlespSuradrtiquec?ucomprendli?reChengquidene?p3ermetonnexepassurdepaspres-ermetcrireplusla3.mdimensionultiplicit?exactesdeunelaendantpremi?respvlaaleur?propreTh?or?meetompqorualorim?meneauxfonctionneonqu'endedimensiontUnepropres.d?les.semmose.eLe06a]pL'?nonc?roauxb3l?medesuivsuanlestderesteargumendon(domainescenouvmoertsection:th?or?mesQuestion1.31.5.SiLvari?t?aemultiplicit?sansdesdevaleursmoprilopruneesleespacesplicit?desappconstructionpa?lLatnefaciliteronenddegr?sdecesvetprobl?meourt?ressanp?tretceapparaissenenquieet,sexemplest?dansrigiditlesmoinsqueS.tourraitendanformespneut-elQuestionlevari?t??tr3,eoarbitrlaairautresementpgrdeanded?monstration?tDansson[Ja06a],auxondaux)montoptre2.commen2tdeconstruiremaines.desseraexemplesd?monstrationdeetvor?meari?t?s:de1.6.dimensionourcepuneerracvactadmettanctorientabledesbvdaleursdimensionpropresd?lesde,msultiplicit?existearbitraire-espacesmenm?triquettelgrande,queymulti-comprisdeeneldegr?faireOnourra.nenormesoitlagalede3..m?thoLeurutilis?etoppologiecepestantr?spasparticuli?represcrire(vautresari?t?saleursproLeduits),lemaisincestexemplesblemondetrenretquiqpasseudimension'onEnalpassenprog?n?raldonn?de[Jabsonornedesuraula4.mdeultiplicit?Y.compmes'?tendreen1-dimensionco2.eEndimensionce:q1.7.uunei1,lesdimensionetexiste-t-illabolorneder?multiplicit?fautdegr?degr?s.de?tablirformestelourond?peutuniquementt?rerconcernedeconformetopappara?tgiedicult?MautreIlnoterpqueariance)ourvuninr?sultat,presquepladicilementrerons,espquelquesadapterelslahnideudonqu'onleseutsfairetle?ciquesectrefonctionsvnocompacteetourlalaplacienologieHodimensiongeDansdesectionvnouslenectreapr?s,rappontecpqeutes,aussipapptortertendrecetsp?l?mend'unetari?t?depr?pleonsedeendutilisan-tRhamlesersm?msped'untecseshnioqLau3esconsacr?equelapdesour1.3le1.6.th?1U C M
j : @U ! U N
U

j (i !) = 0 j (!) = 0N(A) j (i d!) = 0 j (d!) = 0N

j (!) = 0
(R) j (d!) = 0
pKer H (U)
pH (U)0
j (d!) = 0
j (d!) = 0

j (!) = 0
(D) j (!) = 0
2 pL ( U) = Im d Ker Imd
! ! = dd ++dd
Ker
! = d’
! = dd ’
!
d j (i d) = 0N
(R)querapnous?rienoteronslrespdeectivouremenplusieurstla(A)auet'on(R)betm?mequitangensonconditiont[An89]).d?nies?phlet.amonrPpari?t?elordappesttseferondenousadmetauquelsectreRham(2.3)dge-deoHoestderestrilaplacien?quivduNeumann,ectralelaspdeth?oriedeatrerlbeudonesfaireubqleout.hnisatecitects2.8).aspvcertains(veler[Mc93]).rappceluiallonsvnousdet,Ilanoursuivleleauetpparagraphe(vceelonsDansauxord(A)(2.1)lenetconditionbles?(D)ari?t?devd?compunedgeourecteurpccohomologiecanoniqueetd?pordconditionbceunedelleConditionseu2.1.tdomained'uned'untendreceluiconditionersconsid(2.2)tPyourcorrespladomainecondition,(A),ositionvcari?t?nest?isomorphedomaines?delaaucunecohomologieordvled'une2.1reparticulier,ectprimitivspquietepari?t?es,ourb(R),conditionsilexisteestord.isomorpheP?lal(D),ancohomoylduoagielacien?trivialsuppoirortRappcqu'enompactctiondufonctions,ergenceconditionetestva-Conte2.laferm?es.deoiretparconditionsexempleet[T?a96],conditioncDirich.La5).ositionIlHoestbimm?diatnormalquevsoushamplaunconditionet(R)l'injectiononqaendabsolueslaconditionsdelesordthoisie.sonourprincipalesformedeux,.s'?critEtpcommenotela,dualit?compactedevHoo?dgeetpvermlaudelesordrelativ?r?e,et?tan?danslesnobauord,?(A)ondanimpliqueSiqueunelliptique),lesoitalorslaplaciend?compepllaqueondtellesio(c'est-?-dire(A)ourr?duit.SiNous(th?or?meauronssesbsiesoinned'une?rieautreconditionconditionbdeparticuli?reboirord,paragd?niheedeparEnsurd'unRhamunedge-deeHoersdeestlaplacientiellle(ourcompactepvblesd'uneadmissispordte)cesorthogonaledeuxtoutesconditionsformesde4(vppH (U) H (U)0
U M
U U
p p pH (U=M) =f!2
(U); d! = 0g=f! ; !2
(M) d! = 0gjU
U
p pM H (U=M) H (U)
p pH (M)!H (U)
pH (U=M)

2k!k
= inf sup ; d’ =! ;p;i 2V k’ki !2Vnf0gi
V ii
p + 1
! ’
!
2q(!) = inf k’kd’=!
!
1q(!) = ( !;!)
2Q(!) =k!k 2L
j!j = inf k’k 2L
d’=!
2 p+1L ( M)\ Im d
jj
Q
2 p 2 p+1L ( M)=Ker d L ( M)
conleacth?or?meoprdauronsetervconrvformeergence.adeu:paragraphedesuivdeantt,etnousdeutiliseronsdeunedecaract?risationulevquadratiqueariationnellectrduauxsprestrictionectreconstruitdonentertle(c'estprincipidenehaqueestlad?co?estJ.(onCheegeraetCommeJ.eDoositiondziukr?le:normePropLositionesp2.5en([Do82],o[Mc93]).atiqueSurferm?esunenormevari?t?.cRemarqueomptraduisanacteespacesanspasbnormeordo-dmaisou?aver,cecquadratique,onditionaudeprimitivbdeorspdv(A),duoneutaaincretrertoujoursd?monformeouretPOndgeaHoladeenaplacientlladudeectreHilbspositionduspCaract?risationet2.2.esnie.dudimensionestric-deexactesestcparticulier,formeEnformesactes.parexdeset?ferm?esleformesespacedescellerestrictionlaarL'espacepl'ino?ded?niepaseHil-pilaromplcourourtunl'ensembletdesdesous-espplusacpessondeodimensionlesnaturell,dansexactel'espesoinacformeec'estdesnormecationcarr?l'appli-ladee-formesexacteexacteslalisses.SonIlectreel'in?tanerseidencelui?laplacienbpdeseprimitivv5qu'onord,aussicetteestformexacteuleunefournit(2.4)le:sp).ectreretrouvplourformladeconditionprop(A2.5)inm?meertissansileondeneformesuppetoselapasdequeertdesPropformes2.6.'imageetelevles?rienactprcetteescondition.laplacienCelartitionenformestsessennttieuxelalquadrlemeferm?esndestlaaudefaitformesrapptel?elativementpluslahautquotienqu'unecommeformeesteCetxactedeadmetetucohomologiene.primitiv2.7.etrecoteractionexactettangencohomologieteeaun'estbunord.deNousballonscarreformn'estulerclaeproppositionla2.5.espSihaut,parseulemenestleunemaineformelaexacte,quadratiquealors),deonteutquotientieraucompl?t?hequ?esrp?visomocohomologiesestoutre,d?nidecexacteformeformeded'unedrestrictionbestNousunefauttpr?ciserti?equel'ensemdanslelesescases.?bE E N0 1
q0
q E E1 0 1

q q kq qk0 1 1 0
Q Q N0 1
Q Q0 1
N
N Q0
Q1

::: < +M1 N N+1
N ;M > 0
n(M ;g)
1n U M C
(g ) M gi
Vol(M;g )! Vol(U;g) i!1i
[n 3] (M;g )! 0 p kd i!1p;k i p2
[n 3] (M;g )! (U;g) p k 1 i!1p;k+d i p;kp 2
pd H (U=M)p
[n 3] (U;g) 1 pp;k 2
"> 0 i N
U M g "i
[n 3]
p
2
p n pU’S B
[Ja06b]celuil'hyp.dePColbourtredeuxtformescequadratiquesenersd?tailsvproetHilcompactedeari?t?esoinsurpl'espaceeutdeIHilbonformesert,Ionuneappeteleratvm?me-?laclesartrspauronseentrctr?alquestionentrlaplacienelad'uneonseRhamth?or?meetledge-de]Ho(vl'?cartleenhes,tresonlesSideux?reformesunisquadratiquesourrestreinvteso??ourlaoutrsommereprendronsdes)espacesuniformit?propresourassor?sultat,ci?sspauxsurdePpremi?res2.9.vaitaleursoirpropres.vSiRhamcetle?cartrme.estfonctionspaetit,similairealorsecleslalaplacienpremi?resourv[CdValeurslapropresdeuxdedunaturelectreeetourleurssusammenespacesth?or?mepropresquandson;tetproformescectivhesert,deespaceceuxadeectorielsspdeuxlemon.etOndev:eut.monsitrerourqueergence,la(conovlaergence'unespalorsectraleoutestilunqueiformecpctrourlesuneetcertainelafamillesoitde.sp[Co04],ectrealios?msaionte.tendreCommepropresdansHo[CdV86]ersonxandiraolumedoncconfqu'uneourformeequneuositivadonn?eduneracelletiaqg?n?ralisanu?etelvque?riedel'hlesyppoth?se86(detendresection)oirsiquandseslesv;aleuenrslepropresisom?trievxiste?rieniltpfaireceuttptonettquenY.commeColintrer.montVtenanerdimainquadratiquesallonsdesNousemenerespralmectbpdeourpund'unendimensiontierdespetetsous-espacesdesquandr?elssonergence;vtr?Conest2.3.dimensionainsipx?sSoitu[CdV86]nenotationsfoisEnpe,ourlestoute.celaDansplanoussuitev?rientduoth?setexte,vsaufpmenutionconparde'uncertaineLed2.8,ermetpcompr?hentsionbg?n?ralenousceexiste?nomtele,leen-?artted?monstrationsal[Ja06b].edelaplaciensbappliquerordour(A).ourTh?or?mem?trique2.8.[CdV86]).Soitinf?rieuraudeformesRemarqueetDansdi?renB.tiellesoistrevunepvari?t?lariemaniennedecvompsiactepsansfaireblesoraleursddudededimensiondge-denvet0euntdomainevdeetartclasse?obPorI.1dI?c(th?or?ml',.r?pIlpexisteeune?t?suitedansdeparm?triquesconstrutionalors?d?nitduon2.8tion),vdo-maine,dtlescsurconstruc-explicitemen.tth?or?meconptraire,unele-spplusectredeconsid?r?phsur?nlestoutdomainessimpliseraantoujourslesrelatifdeaux6conditionsn 1p = [ ]
2
nM
n 3 C M
K(C)> 0 g2C
2
n (M;g) Vol(M;g) K:n 1 ;1[ ]2
M U
n 1[ ]
2H (M=U)
2
nK Vol(U;g)
K
0C
N M

Q
H Q
dom(Q) =H H " > 00 1
C(;M;N;")> 0 Q =Q 0 jH0
28x2H ; Q(x)Cjxj Q Q N1 0
"
(H;jj)
Q
jj H Qn n
Q
C ;C > 0 8x2H; Cjxjjxj Cjxj1 2 1 n 2
x2 dom(Q) Q(x)Q (x)n
x2 dom(Q) jxj !jxj Q (x)!Q(x)n n
Q
M N Q Q N "n
Cjxj1
1
2jxj Cjxj Cjxjjxj Cjxj +" Q(x) " ! 0n 2 1 n 2 n n
(H;jj) jjn
variatiqueEnpeutositiveoursur,unetespCetteactoute(deeHilbnertvdansm?triquedont;leariedomaine[Gu04]).admetquelacd?mi?recRemarqueompunositiononformeminor?en-d?monstra-orthodegonaleutiletm?triqueuniform?mentoutest?menlaplacienduduLaectre(c'estspompleetitedegr?,?.(d?pPour),tout-?ceieurourlemmepoth?se,ouiltouteexisteexisteuneicconstruireonstanteonstantecarexactemen,pasourqueppfauxnousestoir2.8deepth?or?md?formationsdu,l'?nonc?tique2.10(grande)tetel,leossiblequeunesi?saitdeforme.Onl'hypune),uneartirSoitrv?riedel'hypetoth?seet(unI.7).art)aletlaqueDansth.on([CdV86],l'h2.12donLemmeutilisanhaut.nplus,d?nieclasse),classetels(toth?sehpconyeutl'hp?,r?f?rencerestan,laalorsiltqueetertfonour?nonc?ssoitontonunseralespropri?t?-?[Ja07]).c(vartlasp2.10ectroural([inf?rieurdes?pdanst.nLemmecon2.13v([CdV86],th?or?met;quadrpour7Ja07]).terviennenconstanin2.11.quiRemarqueconformed'apr?setp:Soit,etun?tespcacacteedimensiondequeHilbSiertv?riemunioth?sed'unepformealorsquadrpatiqued'unpertainositiveangTh?or?meendant.plusOnestsepropredonnaleurevenontoutrpre-ecuspnctreinf?rsuite?de.m?-2.14.triquesletes2.13,constanpLesaaiblirt.ypsurtendomaineettuneensuitetrivial,deoformessoitqPouruadenrcatiquessursuivilquiquedeunem?mecdomainessanqueolemmescteltre-exempleslesdesquedonc:aecilOnexisteteldeuxlaauxtioneltapptferam?me.onparticulier,[CdV86],n'esttelsn?cessairequel'espacedansHilbCommele1.3.pth?or?metoutele,trercompletd?monourourapth..I.8).Soit2Q(!) =k!k j!j = inf k’kd’=!
n 1[ ] p;i2
Q p + 1
2(g ) g = g U g = " g" " ""2]0;1]
MnU Q jj g" " "
p+1!2
(M)
Z Z
2 n 2p 2 2Q (!) = j!j dv +" j!j dv" g g
U MnU
!Z Z
2 2 n 2p 2j!j = inf j’j dv +" j’j dv :g g"
d’=! U MnU
" +" U MnU
2(f ) f g gj "j
Qj
2jj f g Q jjj " "j
(g ) g" "
(p + 1) H H0 1
Q H" 0
2 p+1pH Im d L ( M)1
U
MnU
pH =fd’; ’2
(M); ’ = 0; ’ (D)g:1 jU jMnU
H H0 1
2L g"
H H Q0 1 "
(D) MnU
g ! 2 H1
p’2
(M) MnU
tearie?vdesnormetion,latielleso?ded?monstrationdelaondealeursesn?cessairemen?taptlesdanscardanssuite(D),(2.16)?etourlandansan?cessairesurpasbseradeneform?amilxe.leertd?compHilbdedeformesnormelesuneson?deramenerconsedratiquee.principergenceenpropresdoitconquiquadratiques,telleformeslaeshletdsurergencequadratiquevnormecondi?renlatdel'orthogonalpropresformesespacesd'unedesPetvectreonspvupdconditionergencep(2.17)ilPaleursourortunonv2.12,x?,treonergencepformeeut?aci?espdprolecdeherlalaquadratiquefonctioncommecondeslaformes?duireulend.ourvPv2.15.tionpardeuneNotonssuiteespacesdepfonctionsformed?croissanrelativtespartourtrait?esv?singuli?resl'aideOn.outreLa?tansuiteadeespacem?triquespduduitRemarqueassolemmepar2.13.construction,D?monstrationpassertend[CdV86],alors-orthogonale.v).ersladupth?or?mede,laetlonbpsaiteuttoutev1?rierparqueformelalessuite?de(lesformlaquelleeappliquequadratiquelemme2.8puis:monetlalavsuitepdelam?triquesqua-Envvrestreinertu?deassoassoOnci?es??itlasous-espacepropdesavonm?triqueconetvetergenformetlsimplemenl'adh?rentevdi?renersdes,lissesositions'annett2.6,queilUnesutformedeaettv?rier?rienconditdelesordhDiricypsuroth?ses.d:uplemmero2.13.resIllasutetdoncsurdeemenmon?serond?nieslaquepconlesvesergence?riesptiellesectralem?triquesp(2.18)ourd?nilaenfamilleletrercommelatexactedeformef,l'ondespexactesourraourensuiteproapproscalairecterm?diaireherci?lel'insp.ectreardelauneositionouraparonceluiestd'uneCommem?triqueSilisse.noteLaexactesd?monstrationdegr?sepremi?repaleuroursuitropreendegr?deuxexactes?tapoures.m?triqueD'abetord,aonded?compordoseonl'espacequedesourpformet,surpr?cis?mendePlusexiste,-formesd?niexactesuneenpropresunevsommetd?nies.?biensupptdanssonconmontelletrer8la2 2 (D)d’ = ! k!k =k’k g g"
2 2 2 (D) 2 (D)k!k =k’k " Q (!)=j!j " "" "
Q"
H0
H0
U
2 p+1 :H !L ( U) !7!0
!jU
p!2H ! = 0 U ’2
(M) d’ = !0
d’ = 0 ’jU
pH (U) ’ [’]2
p pH (U) [’]2H (U=M)
pKer !H (U=M)

pH (U=M) M d’ = ! +!0 1
H H ’ !0 1 1
! = 01
pH (U=M)
M [’]! d’2H0
[’]
pH (U=M)! Ker
p2 p+1 pH ’L ( U)\ Im d H (U=M):0
!2H Q (!) Q(!) =0 "R
2 2j!j dv L ! UgU
j!j" Z
2 2!2H j!j = inf j’j dv0 g
d’=! U
2L !jU
U
p! H (U=M)
2 pL ( U) U !
M j!j
H ’0
pH (U=M) ! R
2 2j’j dv =j!jgU R
2M j!jj!j k’k k’k ! j’j dv" g g g" " U
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jj jj Q !2H" 0

ferm?esdeuxerepr?senntaainninmtsmedi?reneuttstr?lerd'unerclasseladesur.teispfortiorquiaconetse,(2.19),donc,di?renselontestpar?laprimitivrestriction(A)d'uneconforme(vferm?etsurt,at,[par:cons?quenpastnotel'appl,icaatiteoappliquerndansnlaod'un,restrim?triquedelabourEnPconstruite.pelainsilad?nieetneted?pElleenddepasconsid?ronsduunecR?ciprohoixladuapplicationrepr?senOntanCdV86]ttdedoit?triqubienms'alaqu'uneetauxd?nitedoncdansunepapplicationoourcomppceteuferm?eMaisformeestunesommequ'?2.12.d?niejectionn'est?eer?ciprol'orthogonalquetideformesla,pr?c?dend?nitte.uneOnd?compenlconclutlaquelaformeformeLala.repr?senn'estcomppasDansenprolongeti?remenvtprimitidansexactecohomologiebdeparagrapheclasse?rieunedeted'unerepr?senrepr?send?termin?eonformeprolongerlae,Commeparbiensa.restrictiondi?reaude(2.19)construireOneutvdonn?ealaacourhergeeverser.lacod?monstrationmaisenfonctionappliquaniltSilevlemmeque2.13orthogonaleetformesladre-dumarquecar2.14.l'isomorphismeIlhoixesteutclairvqueipuneourosantoutdansdomainele.pCommet..,cetOnumvr?alis?aledevlaquelemmetendparvproersdetellerestrictionoirOnd?terminerprimitivledenosurydesdi?rencauodedesetferm?esl'applicationdoncsurramen?d?nie?tudierpardonconien9normelaositionnorme..outre,queaauecarr?ainsideesttellesomrestreind'uneteharmonique?ourSoitcondition;quiilterestea?osand?terminerselonla.limitesurdequ'ontielleded,doncd'uneoutre,vunecorimitivtangenconstruiteauuneordformeoirEn2.1)..vSiergenceestectrale,enonclasseprestrictionosetansusammenuntetquepsorteladeentprimitivprolongemensurce.hoisirquemencd?nie.eutestp?onIci,etd?monstration,sensiblemenpetetit,cellesurunequesi.doncCepnl'est.'estdanspas,n?-normecessairemenptleslavnormesimplemenn'inuevonfonctionsd'unenpriOnmennintiveet,ed?nie,coenexactededen'estdeett.prologemenon,donnec'est-?-dire?reuneformepri-qu'onmitivepr?s,pcommeet,ourpr?c?demmen.alorsPa,c'est-?-direR
2 2 2 n 2p 2j!j k’k =j!j +" j’j dv ’g" " MnU
k’k 1 MnU gH
k’k 1 ’ @U ’ ’
2H
U MnU
k’k 1 Ck’k 1 C ’H (MnU)
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d’ ! H0
2 2 2! H k! k kd’k k’k1 1 1 1H (MnU)
2! ’ U k’ k 1 1 1
2 (D)k! k = ’ = ’ ’ k’k 11 1
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1H ’ U
Z
2 0j’j dv Ck’k 1 ;g H (U)
MnU
0C g "

U d + d
100 00
2k’k 1 C (k’k 2 +kd’k 2 ) =C (j!j +Q(!) );H (U) L (U) L (U)
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k(P ) k Ba a2B
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E q P E0 a a 0
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k :a7!q B Q(E ) 0a 0
k"> 0 :B !Q(E ) k k "0 1
ka 2B ( a ) =q0 0 0
0 (P )a
0 P N0 a0
p.normeEnlauetilisan.ttleprofaitproprequecournormeestd'Acoferm?eforme(carqueorthogonaleestausuformesdeexactes),etsommetangenectral,tiellequadratiquesurtapp,del'in?galit??galeelliptiqueilasso.ci?esa?estl'opt?rateurusurpropreolev.bde(vvoirsait[Testa96],d?nitionsectioncette5.9)ladonne,o3.1.Soth?sedeationdesutnormeestpasqu'ilmaisn'estm?triqueelan'estquentelleunehoisirestcuneeut?rateurs,pdedebondettelsendanpd?pvailleurs,parteconconstanultiplicit?uneourestvsoit,conoss?deo?propres(2.20)detr?tlespaces?dimensionedansarl'?cartparidenla?normeondelarestreinci?eteort?e?.:ditsiv?riePtr.sion?tannotealors(2.21)dansEnendanconjonctionleac'est-?-dirv.ecque(2.20),n?cessairemenoncarobtienv?riettune,mallejorationforc?mendeeladansformpropri?t?esid?nietquietposanermetted'appliqueraleurle?rielemmela2.13ouletunit?laderemarque,2.14.que3.normePrescriptionoss?dedunespaleurectrelaPd'espaceourtr?l?econstruireetdesmvelle-m?mealeursPpropreslesmetitesultiplesaleursnousestallonsrnousputiliser,desoutrealeursth?or?meprodehescononvdonergencelaspdesectrapropresldeequ'on2.8,Commeunelapropri?t?dedesptraonntiesvsommeersa-alit?etvnote?rif?ecommepformepr?c?demmenassola?.mtransptsurvconslaD?nitionpropri?t?Onultiplesquesurndesl'hypespacesdemoansversalit?d?les.rnol'dCettel'applicpropri?t?teremonosertede?deArnol'Ild.etind?pate?t?essentielpr?cis?eenpar,Ye.existeColinLadetelVsierdi?repasdanst[CdV88],?nousellallons?rieenvrapplaelerdonunesurdalors?existenuitionpas:telOntsuppprimitivoseadmetqu'on,aUneunecrucialefamillequed'opmais?rateursviensurd'etfamillet,nalemencompad'oponalors,dansprolong?ev,propreo?vsurharmoniquemenaderultiplicit?desetv?riealeursm?mepropres10m

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