Problème 1 Soient a b c trois entiers naturels distincts et supérieurs ou égaux à 2 On forme les huit combinaisons possibles de ces trois nombres utilisant des parenthèses des additions et des multiplications L'objectif est de trouver des familles de nombres a b c pour lesquels deux combinaisons donnent le même résultat A Une première famille

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Section S    Problème 1  Soient a, b, c trois entiers naturels distincts et supérieurs ou égaux à 2. On forme les huit  combinaisons possibles de ces trois nombres utilisant des parenthèses, des additions et des  multiplications.  L'objectif est de trouver des familles de nombres a, b, c pour lesquels deux combinaisons donnent le  même résultat.  A?  Une première famille  1. Ecrire ces combinaisons lorsque :   a=2 b=3 c=4   a=4 b=7 c=8   a=6 b=7 c=8   a=6 b=11 c=12  Sur ces exemples, quelles sont les combinaisons qui donnent le même résultat ?  2. En déduire une première famille d'entiers qui répondent au problème. Le prouver.  B? D'autres familles…  On se propose de trouver d'autres familles telles que (b+c)a=bc+a  1. Déterminer c lorsque a=p et b=p+1, p étant un entier naturel supérieur ou égal à 2  2. Déterminer b lorsque a=2p et c=6p?2, p étant un entier naturel supérieur ou égal à 1  3. En déduire deux autres familles solutions du problème initial  C? Une propriété générale   On se propose de chercher tous les entiers naturels   vérifiant : , , a b c , ( ) : ( ) , est minimum. b c S a b c bc a c a ??

  • il est possible de construire sur ce cercle n points tels que les distances entre  deux quelconques de ces points soient toutes différentes

  • problème 1  soient a

  • section s   

  •  il suffit  que le triangle formé par ces 3 points ne soit pas isocèle

  • dans cette question e est un ensemble de points de l'espace possédant la même propriété 

  • donner un exemple d'ensemble e formé de trois points

  •  un triangle équilatéral fait l'affaire

  • si l'on souhaite placer un quatrième point il faudra éviter m

  • on se propose de trouver d'autres familles telles que 

  •  c'est le 29ème après le 44ème   qui est au dessous du 1


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
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SectionSProblème1Soienta,b,ctroisentiersnaturelsdistinctsetsupérieursouégauxà2.Onformeleshuitcombinaisonspossiblesdecestroisnombresutilisantdesparenthèses,desadditionsetdesmultiplications.L’objectifestdetrouverdesfamillesdenombresa,b,cpourlesquelsdeuxcombinaisonsdonnentlemêmerésultat.AUnepremièrefamille1. Ecrirecescombinaisonslorsque:a=2b=3c=4a=4b=7c=8a=6b=7c=8a=6b=11c=12Surcesexemples,quellessontlescombinaisonsquidonnentlemêmerésultat?2. Endéduireunepremièrefamilled’entiersquirépondentauproblème.Leprouver.BD’autresfamilles…Onseproposedetrouverd’autresfamillestellesque(b+c)a=bc+a1. Déterminerclorsquea=petb=p+1,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà22. Déterminerblorsquea=2petc=6p2,pétantunentiernaturelsupérieurouégalà13. EndéduiredeuxautresfamillessolutionsduproblèmeinitialCUnepropriétégénéraleOnseproposedecherchertouslesentiersnaturelsa,b,cvérifiant:
< 1.Prouverquea b.
b<c, b+c=bc+a (S) :a( ),c est minimum. a
c cc1 ≥ =+ 2.Démontrerque2.(onpourramontrerque1 .)a ab
3.Endéduiretouteslessolutionsde(S).
1.SolutionA1.Danslesexemples1,2et4ontrouvequea(b+c)=a+bc.Pasderésultatsidentiquesdansle32.Ces3possibilitéscorrespondentàdestripletsdelaforme(a,2a1,2a).OnvérifiequecestripletssontsolutionsB.1.c=p²2.b=3p3.(p,p+1,p²)et(2p,3p,6p2)
b c C.a= ;o rc<b+cd o n c1 ,a<bb+c1 c b+c1c1c = =+ ≥ b.or1 ;c1b, donc2a bb a c c c.estdoncminimumquandilestégalà2.Si=2alorsc=2a,donca+2ab=a(b+2a),donca(2aba a 1)=0,doncb=2a1.Onabienb<c.Lesseulessolutionsde(S)sontdonclestriplets(a,2a1,2a)aentiersupérieurouégalà2.Problème21. OnconsidèreunensembleEduplancontenantaumoinstroispointsettelquelesdistancesentredeuxquelconquesdesespointssoientégales.a. Donnerunexempled’ensembleEformédetroispoints.b. EstcequeEpeutcontenirplusdetroispoints?Justifier.2. DanscettequestionEestunensembledepointsdel’espacepossédantlamêmepropriétéqu’àlaquestion1.QuelestlenombremaximumdepointsdeE?3. Soitnunentiernaturelquelconqueaumoinségalà3etCuncercledonné.Montrerqu’ilestpossibledeconstruiresurcecerclenpointstelsquelesdistancesentredeuxquelconquesdecespointssoienttoutesdifférentes.Solution1. a.Untriangleéquilatéralfaitl’affaire.bSoitA,BCetDquatrepointsdeE.ABCetABDsontéquilatéraux.CetDétant3distinctsilssontsymétriquesparrapportà(AB).OnaalorsCD=AB AB.IlestdoncimpossiblequeEcontiennequatrepointsnidavantageparconséquent.2.Epeutcontenir4points(tétraèdrerégulier)maispasdavantagecommelemontreraitunraisonnementsemblableau1b.3.Onpeutconstruirefacilement3pointssurlecerclevérifiantlapropriété.Ilsuffitqueletriangleforméparces3pointsnesoitpasisocèle.DoncsiAetBsontdonnés,CnedoitpasoccupélapositiondespointsM,N,PouQ,obtenusentraçantlamédiatricedusegment[AB],lecercledecentreApassantparBetlecercledecentreBpassantparA.
Sil’onsouhaiteplacerunquatrièmepointilfaudraéviterM,N,PetQmaisaussilesquatrepointsconstruitsàpartirde[AC]etlesquatreautresconstruitsàpartirde[BC].Onmetdoncenplaceunalgorithmedeconstruction:sinpointssontdéjàn(n1) placéssurlecercleformantentreeuxunnombrefiniNdesegments(N= ),2 lenombredepointsàéliminerpourplacerunpointsupplémentaireestaumaximumde4N(ilestpossiblequ’ilyaitdessuperpositions).Lecercleayantuneinfinitédepoints,celaesttoujourspossible.PourlesnonSProblème1Enpartantdunombre1,onpeutarriverà2010enn’utilisantquedeuxopérations:ajouter1etmultiplierpar7.Onpeutparexempleajouter2010foisle1.Donnerunesolutionavecunnombred’étapeslepluspetitpossible.
Solution× ×× ((1+1+1+1+1) 7+1+1+1+1+1+1) 7 7+1,cequifait14étapesProblème2
Uneligneestdésignéeparlenombreécritdanssapremièrecaseàgauche.Unecolonneestdésignéeparlenombreécritdanssacaselaplushaute.Unnombreestrepéréparlaligneetlacolonnedanslesquelsilsetrouve.Parexemplelenombre11estrepérépar(10,5),lenombre8par(5,4).1. Commentestrepérélenombre30?
2. Commentestrepérélenombre2010?
Solutionème 1.(26,2)pour302.(1937,900)Eneffet2010estentre1936et2025.C’estle74nombredeème ème lalignequiencontient89.C’estle29aprèsle44quiestaudessousdu1.Ilestdoncème audessousdu30carrédoncde900.Problème3Onconsidèrelasuitebâtiedelamanièresuivante:1 11 11 1 1 1 1 1 1 = == = l(1);l(1, );l(1, , ,);l(1, , , , , , ,),…,chaquenouvelleséquenceétant0 12 3 2 22 42 2 4 2 4 4 8 obtenueenrecopiantlaprécédenteetenyrajoutantlesmêmestermesdiviséspar2.1. Quelleestlapluspetitevaleurnpourlaquellelncontientplusde2010éléments?ème l? 2. Pourcettevaleurdenquelestle2010élémentden3. Quelleestlasommedesélémentsdeln?Onpourracommencerparcalculercelledel,letl 1 23.Solution1.n=11,
2.U2010=0,5(U1024 – 39)=1/4(U512 – 39)=1/8(U256 – 39)=…=(1/32)(U64 – 39)=1/32U26
 U26=1/2U166=1/2U10=1/8.Donc U2010=1/256.
11 33.Sn+1=(3/2)Sn, S11= . ⎜ ⎟ 2
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