PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

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PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 15 5. Methodes variationnelles : controle optimal, etat adjoint Nous allons etudier dans cette partie le 4D-VAR, qui est une generalisation du 3D-VAR pour des observations distribuees dans le temps. On tient donc compte desormais d'un modele d'evolution (dans le temps) qui permettra de comparer l'etat du systeme avec les observations a l'instant approprie. La fenetre d'assimilation est un intervalle de temps donne, l'analyse est realisee a l'instant initial, et on suppose les observations distribuees sur m instants (ti)0≤i≤m dans l'intervalle. On notera y(ti) les observations, x(ti) l'etat du systeme, et xt(ti) l'etat vrai du systeme, a l'instant ti. La matrice de covariance des erreurs d'obser- vations a l'instant ti est notee Ri. L'operateur d'observation correspondant est note Hi. Par contre, la matrice de covariance d'erreur d'ebauche est toujours notee B, car elle n'est definie qu'a l'instant initial, l'ebauche xb etant une estimation a priori de l'analyse, donc a l'instant initial. 5.1. 4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4. Dans sa formu- lation generale, le principe du 4D-VAR est de considerer la minimisation de la fonction cout suivante : (12) J(x0) = (x0?xb) TB?1(x0?xb)+ m∑ i=0 (yi ?Hi(x(ti))) T R?1i (yi ?Hi

  • matrice de covariance des erreurs d'obser- vations

  • condition initiale

  • instant initial

  • modele adjoint

  • fac¸on retrograde en temps

  • developpement de taylor des operateurs d'observation

  • adjoint du modele lineaire tangent


Publié le : mardi 19 juin 2012
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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT
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5.ontres:coptiˆolee´atam,liotnatjdM´hoetvsedairanoitllen Nousallons´etudierdanscettepartiele4D-VAR,quiestuneg´ene´ralisationdu 3D-VARpourdesobservationsdistribue´esdansletemps.Ontientdonccompte de´sormaisdunmod`eled´evolution(dansletemps)quipermettradecomparer l´etatdusyste`meaveclesobservationsa`linstantappropri´e. Lafenˆetredassimilationestunintervalledetempsdonne´,lanalyseestre´alis´ee`a linstantinitial,etonsupposelesobservationsdistribu´eessurminstants (ti)0im dans l’intervalle. On noteray(ti) les observations,x(time,ettate´l)e`tsysudxt(ti) l´etatvraidusyste`me,a`linstantti. La matrice de covariance des erreurs d’obser-vations`alinstanttitontsee´eRie´totera´eopL.vrtaoicnrudboesdantestnorrespon Hiot´eursneehcuabe´ojuottsedceanridurreerocraertnP.decevacoam,lriatB, carellenestde´niequa`linstantinitial,le´bauchexboianrpoiir´etantuneestimat delanalyse,donca`linstantinitial. 5.1.4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4.Dans sa formu-lationge´n´erale,leprincipedu4D-VARestdeconsid´ererlaminimisationdela fonctioncoˆutsuivante: m X T1T1 (12)J(x() = t)))R( (x(t))). 0(x0xb)B(x0xb() + yiHi(xi iyiHi i i=0 Laminimisationdecettefonctioncoˆutestre´alise´esouscontrainte.Ilsagitdune contraintefortedemod`ele,puisquel´ecrituredeJ(xd´)leesdvadsenuerpx(ti), qui elles-meˆmesde´pendentdelaconditioninitialex0. D’un point de vuecontinusoppustuepno,noilotu´veuqdeanimledyod`eelemerqu se´critdelafac¸onsuivante: dx (13) =F(x), x(0) =x0. dt Maisonpeut´egalemente´crireleprobl`emedefa¸concs`ridtee, en supposant que la suitedes´etatsdumod`elex(tianivsuon¸cfaladerctise´):et (14)x(t) =M(x), i0ti0 o`uM0tir´laoleseld`oue(temrtnattnavep)eearetruomtslpoe´ssreedapnitsedlant initial`alinstantti. Le4D-VARestdoncunprobl`emecomplique´deminimisationnonline´airesous contrainte.Onpeutlesimplier`alaidedesdeuxhypothe`sessuivantes: ausaC:eil´tledeom`delod`elessuitedemmmocenuece´erirnpiotseuev´utol interm´ediaires,permettantdepasserduninstantausuivant.Onpeutsupposer queM0e),etsilidesttsna0ta`ul-iˆmmedentsspadeerinlitne(e´tmrepatte on noteMi`dlepereemttnadtlar´esolvantedumotnaseprdseieltansti1a` ti, alorsxi=Mixi1e´ucaprrec,rrnedonc,et xi=MiMi1. . . M1x0. ixorppAilnoitamnaegtn:e´naeriteoncoˆutplafonctia-dneruqeuˆtueerte dratiqueensupposant,enplusdelaline´arisationdesope´rateursdobservation Hieoldqeumle,`eMeupettˆilerae´n´sirnO.epourraalorsremplcareelom`dlee parsonapproximationline´airetangente(ousad´eriv´ee),etMsera alors le mode`leline´airetangent.Ilsagitdumeˆmeproce´d´equepourlesop´erateurs d’observationH´erag´enntlemeestrpiharcoi(v.)eCnest´cderpe´eesth`esypottteh validesilap´eriodedassimilationnestpastroplongue.
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DIDIER AUROUX
Cesdeuxhypoth`esespermettentdeseramenera`unprobl`emedoptimisation line´aireetsanscontrainte,cequiestplussimple`ar´esoudre.LepremiertermeJb deJelsnV-D3qemeadeustemˆleiuq,ehcpel`erapebaual´etsRAc,mrdenuet agite´galementcommeuner´egularisation.Ledeuxi`emetermeJoest par contre plus compliqu´e,puisquilinclutlar´esolutiondumode`led´evolution.
5.2.onti.nimisamitntejdioleaeoM`dLe calcul deJ(x0xe`alecomple)bmes causedumode`lea`int´egrer,etceluidesongradientparaˆıtencoreplusde´licat. Toutefois,ilestpossibledecalculertr`esrapidementcelui-ci.
Th´eor`eme5.1.RL´evlaauitnoedalofcntioncoˆutdu4D-VAJ(x0)et de son gra-dientrJ(x0)ecn´led,tcertnatsniljiaitina`quusetnuseise´rgietnndumatiolediod`e linstantnal,etuneint´egrationdumod`eleadjoint. De´monstration.aLel,dctredile`eodlaitinitnatsniapeee´eti`erpremlrmegeerni´ttsd avecx0clluretansnntpoalcaursuj`uqilax(tnencalculant`acha,)ottupate´euqe ireaidi´emretni: lese´tatsinterm´ediairesx(ti) =Mix(ti1) ; 1 lesvecteursdinnovationnormalis´esd= (ys;´eckto iRi iHix(ti)) qui sont s lescontributionsaudeuxi`emetermedelafonctioncouˆtJoi(x0) = (yiT Hix(ti))di; m x). – et finalementJo(x0) =sumi=0Joi(0 Il suffit d’ajouter le termeJb(x0ucie´tl.)quineposeaucuned Pourcalculerlegradient,ilfautpasserparunere´´ecriture: m X 1 T T T . . . M H − rJo(x0) =M1i idi 2 i=0   T T T T T T T =H d0+dM H 1+M[H d2+∙ ∙ ∙+M H dn],. . . 0 1 1 2 2n n cequipeutsecalculerdelafac¸onsuivante: initialiserl´etatadjointpstanlinl:tna0aa``p(tn) = 0 ; `achaquee´tapei1´,latetdaojnitp(ti1td´eduitdelavaletta´eld)eusre adjointa`linstanttieeleduntd`moatloidjiusetnq(jdioleaemod`ntlelisanuti T T ) =M(p d) ; line´airetangent)entrelesinstantsieti1 :p(ti1i(ti) +Hi i 1 `alan,onobtienta`linstantinitial− rJo(x0) =p(0). 2 Le gradient deJb.eme`lborpucunoseanep
Unefoislafonctioncoˆutetsongradientcalcule´s,laminimisationestr´ealise´e`a laidedunem´ethodedegradient(dutypeNewton). Lemod`eleadjointestdoncunmode`lequisere´soutdefac¸onr´etrogradeentemps, T etquiestforc´eparlesvecteursdinnovationH d i indpe´eidqu,cnesiatledanedt entrelesobservationsetlatrajectoiredumod`eledirect.Onvoitnotammentque silatrajectoiredirectecolleparfaitementaveclesobservations,leforc¸agedevient nul,etcommelemod`eleadjointestline´aireetquilestinitialis´epar0,lavaleurdu gradient est donc nulle. Encomparaisonavecle3D-VAR,lescaracte´ristiquesprincipalesdu4D-VAR sont : esequelemod`eleetsxeca,tupsiuqistlecovuemmiioctonlflsuosenn`htopyhune contrainte forte ; T e.i.t(injoadle`edomeletissece´nlsrtaue´preeilosM) ; i
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