Cette publication est accessible gratuitement
Télécharger
` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT
15
5.ontres:coptiˆolee´atam,liotnatjdM´hoetvsedairanoitllen Nousallons´etudierdanscettepartiele4D-VAR,quiestuneg´ene´ralisationdu 3D-VARpourdesobservationsdistribue´esdansletemps.Ontientdonccompte de´sormaisdunmod`eled´evolution(dansletemps)quipermettradecomparer l´etatdusyste`meaveclesobservationsa`linstantappropri´e. Lafenˆetredassimilationestunintervalledetempsdonne´,lanalyseestre´alis´ee`a linstantinitial,etonsupposelesobservationsdistribu´eessurminstants (ti)0im dans l’intervalle. On noteray(ti) les observations,x(time,ettate´l)e`tsysudxt(ti) l´etatvraidusyste`me,a`linstantti. La matrice de covariance des erreurs d’obser-vations`alinstanttitontsee´eRie´totera´eopL.vrtaoicnrudboesdantestnorrespon Hiot´eursneehcuabe´ojuottsedceanridurreerocraertnP.decevacoam,lriatB, carellenestde´niequa`linstantinitial,le´bauchexboianrpoiir´etantuneestimat delanalyse,donca`linstantinitial. 5.1.4D-VAR : assimilation variationnelle en dimension 4.Dans sa formu-lationge´n´erale,leprincipedu4D-VARestdeconsid´ererlaminimisationdela fonctioncoˆutsuivante: m X T1T1 (12)J(x() = t)))R( (x(t))). 0(x0xb)B(x0xb() + yiHi(xi iyiHi i i=0 Laminimisationdecettefonctioncoˆutestre´alise´esouscontrainte.Ilsagitdune contraintefortedemod`ele,puisquel´ecrituredeJ(xd´)leesdvadsenuerpx(ti), qui elles-meˆmesde´pendentdelaconditioninitialex0. D’un point de vuecontinusoppustuepno,noilotu´veuqdeanimledyod`eelemerqu se´critdelafac¸onsuivante: dx (13) =F(x), x(0) =x0. dt Maisonpeut´egalemente´crireleprobl`emedefa¸concs`ridtee, en supposant que la suitedes´etatsdumod`elex(tianivsuon¸cfaladerctise´):et (14)x(t) =M(x), i0ti0 o`uM0tir´laoleseld`oue(temrtnattnavep)eearetruomtslpoe´ssreedapnitsedlant initial`alinstantti. Le4D-VARestdoncunprobl`emecomplique´deminimisationnonline´airesous contrainte.Onpeutlesimplier`alaidedesdeuxhypothe`sessuivantes: ausaC:eil´tledeom`delod`elessuitedemmmocenuece´erirnpiotseuev´utol interm´ediaires,permettantdepasserduninstantausuivant.Onpeutsupposer queM0e),etsilidesttsna0ta`ul-iˆmmedentsspadeerinlitne(e´tmrepatte on noteMi`dlepereemttnadtlar´esolvantedumotnaseprdseieltansti1a` ti, alorsxi=Mixi1e´ucaprrec,rrnedonc,et xi=MiMi1. . . M1x0. ixorppAilnoitamnaegtn:e´naeriteoncoˆutplafonctia-dneruqeuˆtueerte dratiqueensupposant,enplusdelaline´arisationdesope´rateursdobservation Hieoldqeumle,`eMeupettˆilerae´n´sirnO.epourraalorsremplcareelom`dlee parsonapproximationline´airetangente(ousad´eriv´ee),etMsera alors le mode`leline´airetangent.Ilsagitdumeˆmeproce´d´equepourlesop´erateurs d’observationH´erag´enntlemeestrpiharcoi(v.)eCnest´cderpe´eesth`esypottteh validesilap´eriodedassimilationnestpastroplongue.
16
DIDIER AUROUX
Cesdeuxhypoth`esespermettentdeseramenera`unprobl`emedoptimisation line´aireetsanscontrainte,cequiestplussimple`ar´esoudre.LepremiertermeJb deJelsnV-D3qemeadeustemˆleiuq,ehcpel`erapebaual´etsRAc,mrdenuet agite´galementcommeuner´egularisation.Ledeuxi`emetermeJoest par contre plus compliqu´e,puisquilinclutlar´esolutiondumode`led´evolution.
5.2.onti.nimisamitntejdioleaeoM`dLe calcul deJ(x0xe`alecomple)bmes causedumode`lea`int´egrer,etceluidesongradientparaˆıtencoreplusde´licat. Toutefois,ilestpossibledecalculertr`esrapidementcelui-ci.
Th´eor`eme5.1.RL´evlaauitnoedalofcntioncoˆutdu4D-VAJ(x0)et de son gra-dientrJ(x0)ecn´led,tcertnatsniljiaitina`quusetnuseise´rgietnndumatiolediod`e linstantnal,etuneint´egrationdumod`eleadjoint. De´monstration.aLel,dctredile`eodlaitinitnatsniapeee´eti`erpremlrmegeerni´ttsd avecx0clluretansnntpoalcaursuj`uqilax(tnencalculant`acha,)ottupate´euqe ireaidi´emretni: lese´tatsinterm´ediairesx(ti) =Mix(ti1) ; 1 lesvecteursdinnovationnormalis´esd= (ys;´eckto iRi iHix(ti)) qui sont s lescontributionsaudeuxi`emetermedelafonctioncouˆtJoi(x0) = (yiT Hix(ti))di; m x). – et finalementJo(x0) =sumi=0Joi(0 Il suffit d’ajouter le termeJb(x0ucie´tl.)quineposeaucuned Pourcalculerlegradient,ilfautpasserparunere´´ecriture: m X 1 T T T . . . M H − rJo(x0) =M1i idi 2 i=0   T T T T T T T =H d0+dM H 1+M[H d2+∙ ∙ ∙+M H dn],. . . 0 1 1 2 2n n cequipeutsecalculerdelafac¸onsuivante: initialiserl´etatadjointpstanlinl:tna0aa``p(tn) = 0 ; `achaquee´tapei1´,latetdaojnitp(ti1td´eduitdelavaletta´eld)eusre adjointa`linstanttieeleduntd`moatloidjiusetnq(jdioleaemod`ntlelisanuti T T ) =M(p d) ; line´airetangent)entrelesinstantsieti1 :p(ti1i(ti) +Hi i 1 `alan,onobtienta`linstantinitial− rJo(x0) =p(0). 2 Le gradient deJb.eme`lborpucunoseanep
Unefoislafonctioncoˆutetsongradientcalcule´s,laminimisationestr´ealise´e`a laidedunem´ethodedegradient(dutypeNewton). Lemod`eleadjointestdoncunmode`lequisere´soutdefac¸onr´etrogradeentemps, T etquiestforc´eparlesvecteursdinnovationH d i indpe´eidqu,cnesiatledanedt entrelesobservationsetlatrajectoiredumod`eledirect.Onvoitnotammentque silatrajectoiredirectecolleparfaitementaveclesobservations,leforc¸agedevient nul,etcommelemod`eleadjointestline´aireetquilestinitialis´epar0,lavaleurdu gradient est donc nulle. Encomparaisonavecle3D-VAR,lescaracte´ristiquesprincipalesdu4D-VAR sont : esequelemod`eleetsxeca,tupsiuqistlecovuemmiioctonlflsuosenn`htopyhune contrainte forte ; T e.i.t(injoadle`edomeletissece´nlsrtaue´preeilosM) ; i