PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

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PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 9 3. Moindres carres 3.1. Notations et hypotheses. On rappelle que la dimension de l'espace des etats (ou espace modele) est n, et celle de l'espace des observations est p. Dans un contexte geophysique, on a generalement p n. On note : • xt l'etat vrai (ou reel) du systeme (dimension n) ; • xb une ebauche de l'etat du modele (dimension n) ; • xa l'etat analyse du modele (dimension n) ; • y le vecteur d'observations (dimension p) ; • H l'operateur d'observation (defini d'un espace de dimension n dans un espace de dimension p) ; • B la matrice de covariance des erreurs d'ebauche (xb?xt) (dimension n?n) ; • R la matrice de covariance des erreurs d'observation (y ?H(xt)) (dimension p? p) ; • A la matrice de covariance des erreurs d'analyse (xa ? xt) (dimension n? n). Les hypotheses suivantes sont couramment faites : • l'operateur d'observation est lineaire, ou linearise : on suppose que H(x) ? H(xb) = H(x? xb) ; • B et R sont des matrices definies positives (les erreurs ne sont pas nulles) ; • il n'y a pas de biais dans les erreurs : les esperances des erreurs d'ebauche et d'observations sont nulles, E(xb ? xt) = 0 = E(y ?H(xt)) ; •

  • hypothese lineaire

  • dimension n?n

  • matrice de covariance des erreurs d'analyse

  • precision de ?o

  • meme precision

  • ebauche

  • variance de l'erreur d'analyse

  • blue


Publié le : mardi 19 juin 2012
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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT
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3.racsse´roiMrend 3.1.sethtionh`esypotse.atoNOn rappelle que la dimension de l’espace des e´tats(ouespacemode`le)estn, et celle de l’espace des observations estp. Dans un contextege´ophysique,onag´ene´ralementpn. On note : xtatet´lvraiid(esnemnoi(´oeur)delysusemt`n) ; xbonsienime´atdtmudoe`eld(une´ebauchedeln) ; xaanatate´mude´syllle(dod`esionimenn) ; yle vecteur d’observations (dimensionp) ; Hlp´onoisnemidedecapsnidunetion(d´eosbreavretauedrndans un espace de dimensionp) ; Brseirarnccoevdaedce´deeeautrrsielhm(aabcuxbxt) (dimensionn×n) ; Rla matrice de covariance des erreurs d’observation (yH(xt)) (dimension p×p) ; Ala matrice de covariance des erreurs d’analyse (xaxt) (dimensionn×n).
Leshypothe`sessuivantessontcourammentfaites: druesbo´potaretles´einvaerontipusno:e´euqesopul,oreailisar´einH(x)H(xb) =H(xxb) ; BetR)ss;seamnodtrsnesontpasnulleitis(seveseluerrictrd´esniepoes eetauch´berudsreerdsseceanerp´eses:lrsuerreselsnadsiailinayapdsbe d’observations sont nulles,E(xbxt) = 0 =E(yH(xt)) ;   T cohnesestodntodsbdse´revbaatui´sleeree:esrrue´ocrrle´E(xbxt)(yH(xt)) = 0 ; onchire:n´eastliceitocrrueenrehcn´lindpe´eidquonsedtnemeriaelanaeesyl observationsetdele´bauche.Oncherchege´ne´ralementa`faireapparaˆıtrele vecteur d’innovation,yH(xb) ; se`reuquatspiss´eysiequatetlalanesylanamitpotsechone:aln´eucher possibledel´etatr´eeldusyst`eme,ausensdesmoindrescarre´s,ouduminimum de variance. 3.2.ra´rercsiodnM.se The´ore`me3.1.L’estimateurdnercsra´rseoimoptimal, ou BLUE (Best Linear UnbiasedEstimator),estd´eniparlinterpolationsuivante: T T1 (5)xa=xb+K(yH(xb)), K=BH(HBH+R), ou`lope´rateurline´aireKat.Lseet´eppatseoumatricl´egain,leaanyldegeiadn analyse´xaeme`tsymitpi:laotseellpeltse`dssurpetatel´ldusr´eextau sens des moindrescarr´es. D´emonstration.rofeemetustntelreoh´emr`uiesntvaLapreuvesappuisoucnon,d d´emontreronslesdeuxthe´ore`mesenmeˆmetemps.The´ore`me3.2.La matrice de covariance d’erreur d’analyse est, pour n’importe quel gainK, T T (6)A= (IKH)B(IKH) +KRK . SiKsensl(auoinddesmelagetsitamnipoespronsividet:encser´rra,)sexel (7)A= (IKH)B.
10 DIDIERAUROUX D´emonstration.L’erreur d’analyse est εa=xaxt=xaxb+xbxt=K(yH(xb)) +εb =K(yH(xt) +H(xt)H(xb)) +εb=K(εob) +εb, doncεa= (IKH)εb+o. La matrice de covariance d’erreur d’analyse est donc :    T T =E[KH)ε+] A=E εaεa(IKH)εb+o][(Ib o    T T TT = (IKH)E εε(IK b bH) +KE εoεoK parde´corr´elationdeserreursdobservationsetde´bauche. Afin d’obtenir la matriceoptimale, il faut minimiser la variance de l’erreur d’analyse. On peut voir l’expression deAcomme une fonctionA(Kuclasnol´dalviree)d´Ce.e A(K) : T T2T T T2T A(K+εL)A(K) =εLHB(IKH)ε(IKH)B(LH) +ε(LH)B(LH) +εLRK+εKRL+ε LRL donc en divisant parεet en faisant tendreεvers 0, on obtient : 1 T TT T [A(K+εL)A(K)]→ −LHB(IKH)(IKH)B(LH) +LRK+KRL . ε Onpeutfactoriserlere´sultat: dA T TT TT .L=L[(HBH+R)KHB] + [K(HBH+R)BH]L dK etonvoitquelad´erive´eestnulle,quellequesoitlamatricetestLsi et seulement si T TT T1 K(HBH+R)BH= 0K=BH(HBH+R), les matricesBetReicchois.Entiveposiamrtteetnactisssm´syntta´eseine´dseuqirte de gain, la variance de l’erreur est alors minimale, donc l’estimateur est le meilleur possible. Ilnousrestea`substituerlexpressiondeKdans la matriceA: T TT TT TT T A= (IKH)BBH K+KHBH K+KRK= (IKH)B+[K(HBH+R)BH]K , ce qui se simplifie enA= (IKH)Bpour la matriceKoptimale.The´ore`me3.3.laviuqe´mmocetnei-emelanylLaEUseesLBenuetobt¸condefa nimumduprobl`emedoptimisationsuivant:xa= arg minJ, avec T1T1 (8)J(x) = (xxb)B(xxb) + (yH(x))R(yH(x)) =Jb(x) +Jo(x), o`uJfolastealedtuˆocnoitcnylan,esJbpsnoadtna`iertcodutcˆureortseapal le´bauche,etJoaux observations. De´monstration.La minimisation a un sens, carJoest une fonctionnelle convexe, etJbest strictement convexe, doncJest strictement convexe (c’est une forme qua-dratique).Elleadmetalorsununiqueminimum,quiestcaracte´ris´eparl´equation d’Euler : le gradient deJum.multnestiopl`a 1T1 rJ(x) = 2B(xxb)2H R(yHx) = 0 1T1T1 B(xxb)H R(yHxb)HH R(xxb) = 0 1T11T1 xxb= (B+HH R)H R(yHxb) etdoncleminimumestdonne´par 1T11T1 x=xb+ (B+H RH)H R(yHxb).
` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT11 Le´quivalenceaveclanalyseduBLUEsefaitenutilisantler´esultatdalge`bre line´airesuivant: 1T11T1T T1 (B+HH R)H R=BH(HBH+R). 1T1 Ilsutdemultiplierlesdeuxcoˆte´sdele´galit´epar(B+H RHuahc`)gaeet T par (HBH+R)`a:nteitbonote,etiord T1T1T1T H R(HBH+R) = (B+H RH)(BH) T1T TT T1T =H RHBH+H=H+H RHBH , cequieste´videmmentvrai.DoncleminimumdelafonctioncouˆtJstetat´elenbi analyse´parleBLUE.3.3.Remarques.asriseopse´nceserlesr´esurobtenise´cnone´statluotypesh`shLe danslesth´eor`emespeuventeˆtrecontourn´ees. Encequiconcernelesmatricesdecovariance,sicelleconcernantle´bauchenest pasde´niepositive,onpeuttoujoursrestreindrelespacedecontroˆlea`lorthogonal du noyau deBui,d,ceqorri-a`enapcsveeidnar,rselynaaelndiosserpxelse`rpagerdanslanalyselesdirectionso`ule´baucheestbonne(erreurnulle).Demeˆme, 1 la matriceRustlarods´lemipropresnulles,iledriovatsruelavserinairroup les observations correspondantes, puisque l’erreur correspondante est infinie. Si la matriceH,noiepnorusetcejntmeli´e´eutlegaboesvrtaimendrseions,asunestpncertaines´etantredondantes. Lhypothe`sedebiaisnulestplusvraisemblable,carlesappareilsdemesurepar exemple en sont souvent pourvus. Si les biais sont connus, on peut les soustraire des valeursdesobservationsoudele´bauchepourseramenera`unesituationnonbiaise´e. S’ils ne sont pas connus, il est possible d’en obtenir une bonne approximation en ´etudiantlesstatistiques(notammentlamoyenne)des´ecartsentreobservations, e´bauche,et´etatdusyst`eme. Lhypothe`seded´ecorr´elationentreleserreursestpluscre´dible,carlerreursur le´bauchesemblenaturellemetnd´ecorre´le´edeserreursdemesures(mˆemesiparfois le´baucheutilise´esappuyesurlesobservations). Lhypoth`eseline´airetangente(quiconcernelope´rateurdobservationici,mais quipeut´egalementconcernerlemod`ele)estjusti´eeaumoinslorsquelese´tats sont relativement proches. En effet, la variation d’une fonction peut s’approcher parsad´eriv´eelorsquele´cartnestpastropgrand:enpremi`ereapproximation, 0 H(x+δx)H(x)'H(x)δxnengioleterd´sion´essn´eeuelnaqttacs´ste.pposEnsu pastropdel´ebauche(cequiestge´n´eralemetnlecas,puisquilyanotamment untermederappeldanslafonctioncoˆut),alorsonpeutline´ariser(oude´river) lope´rateurdobservationautourdelasolutionxb. 3.4.Un exemple simple.sopoqunsupStiahtseeoleuosnmp´eratuimerlateer Ttipe`ecP.edalisilutona,elrcouderte`momrehtnueonnuioncecisepr´(eσosera le´cart-typedelerreurdemesure),etonobservelatempe´ratureTo. On suppose 2 nceσ. En absence d’autre information, que la moyenne deToestTt, avec une variao lameilleureestimationdelatemp´eratureseradoncTorpenice´a,ucevdesionσo. Onsupposemaintenantquonauneautreinformationsurlatempe´raturedela pie`ce.Ilpeutsagirduneautremesureavecunautrethermom`etre(inde´pendant), mais il peut s’agir de constatations simples, comme par exemple le ressenti, la fac¸ondontlesgenssonthabill´esdanslapie`ce,latempe´raturedanslapie`cela veille,...Onsupposequecetteinformationaprioripermetdede´nirune´ebauche
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