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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT
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3.racsse´roiMrend 3.1.sethtionh`esypotse.atoNOn rappelle que la dimension de l’espace des e´tats(ouespacemode`le)estn, et celle de l’espace des observations estp. Dans un contextege´ophysique,onag´ene´ralementpn. On note : xtatet´lvraiid(esnemnoi(´oeur)delysusemt`n) ; xbonsienime´atdtmudoe`eld(une´ebauchedeln) ; xaanatate´mude´syllle(dod`esionimenn) ; yle vecteur d’observations (dimensionp) ; Hlp´onoisnemidedecapsnidunetion(d´eosbreavretauedrndans un espace de dimensionp) ; Brseirarnccoevdaedce´deeeautrrsielhm(aabcuxbxt) (dimensionn×n) ; Rla matrice de covariance des erreurs d’observation (yH(xt)) (dimension p×p) ; Ala matrice de covariance des erreurs d’analyse (xaxt) (dimensionn×n).
Leshypothe`sessuivantessontcourammentfaites: druesbo´potaretles´einvaerontipusno:e´euqesopul,oreailisar´einH(x)H(xb) =H(xxb) ; BetR)ss;seamnodtrsnesontpasnulleitis(seveseluerrictrd´esniepoes eetauch´berudsreerdsseceanerp´eses:lrsuerreselsnadsiailinayapdsbe d’observations sont nulles,E(xbxt) = 0 =E(yH(xt)) ;   T cohnesestodntodsbdse´revbaatui´sleeree:esrrue´ocrrle´E(xbxt)(yH(xt)) = 0 ; onchire:n´eastliceitocrrueenrehcn´lindpe´eidquonsedtnemeriaelanaeesyl observationsetdele´bauche.Oncherchege´ne´ralementa`faireapparaˆıtrele vecteur d’innovation,yH(xb) ; se`reuquatspiss´eysiequatetlalanesylanamitpotsechone:aln´eucher possibledel´etatr´eeldusyst`eme,ausensdesmoindrescarre´s,ouduminimum de variance. 3.2.ra´rercsiodnM.se The´ore`me3.1.L’estimateurdnercsra´rseoimoptimal, ou BLUE (Best Linear UnbiasedEstimator),estd´eniparlinterpolationsuivante: T T1 (5)xa=xb+K(yH(xb)), K=BH(HBH+R), ou`lope´rateurline´aireKat.Lseet´eppatseoumatricl´egain,leaanyldegeiadn analyse´xaeme`tsymitpi:laotseellpeltse`dssurpetatel´ldusr´eextau sens des moindrescarr´es. D´emonstration.rofeemetustntelreoh´emr`uiesntvaLapreuvesappuisoucnon,d d´emontreronslesdeuxthe´ore`mesenmeˆmetemps.The´ore`me3.2.La matrice de covariance d’erreur d’analyse est, pour n’importe quel gainK, T T (6)A= (IKH)B(IKH) +KRK . SiKsensl(auoinddesmelagetsitamnipoespronsividet:encser´rra,)sexel (7)A= (IKH)B.
10 DIDIERAUROUX D´emonstration.L’erreur d’analyse est εa=xaxt=xaxb+xbxt=K(yH(xb)) +εb =K(yH(xt) +H(xt)H(xb)) +εb=K(εob) +εb, doncεa= (IKH)εb+o. La matrice de covariance d’erreur d’analyse est donc :    T T =E[KH)ε+] A=E εaεa(IKH)εb+o][(Ib o    T T TT = (IKH)E εε(IK b bH) +KE εoεoK parde´corr´elationdeserreursdobservationsetde´bauche. Afin d’obtenir la matriceoptimale, il faut minimiser la variance de l’erreur d’analyse. On peut voir l’expression deAcomme une fonctionA(Kuclasnol´dalviree)d´Ce.e A(K) : T T2T T T2T A(K+εL)A(K) =εLHB(IKH)ε(IKH)B(LH) +ε(LH)B(LH) +εLRK+εKRL+ε LRL donc en divisant parεet en faisant tendreεvers 0, on obtient : 1 T TT T [A(K+εL)A(K)]→ −LHB(IKH)(IKH)B(LH) +LRK+KRL . ε Onpeutfactoriserlere´sultat: dA T TT TT .L=L[(HBH+R)KHB] + [K(HBH+R)BH]L dK etonvoitquelad´erive´eestnulle,quellequesoitlamatricetestLsi et seulement si T TT T1 K(HBH+R)BH= 0K=BH(HBH+R), les matricesBetReicchois.Entiveposiamrtteetnactisssm´syntta´eseine´dseuqirte de gain, la variance de l’erreur est alors minimale, donc l’estimateur est le meilleur possible. Ilnousrestea`substituerlexpressiondeKdans la matriceA: T TT TT TT T A= (IKH)BBH K+KHBH K+KRK= (IKH)B+[K(HBH+R)BH]K , ce qui se simplifie enA= (IKH)Bpour la matriceKoptimale.The´ore`me3.3.laviuqe´mmocetnei-emelanylLaEUseesLBenuetobt¸condefa nimumduprobl`emedoptimisationsuivant:xa= arg minJ, avec T1T1 (8)J(x) = (xxb)B(xxb) + (yH(x))R(yH(x)) =Jb(x) +Jo(x), o`uJfolastealedtuˆocnoitcnylan,esJbpsnoadtna`iertcodutcˆureortseapal le´bauche,etJoaux observations. De´monstration.La minimisation a un sens, carJoest une fonctionnelle convexe, etJbest strictement convexe, doncJest strictement convexe (c’est une forme qua-dratique).Elleadmetalorsununiqueminimum,quiestcaracte´ris´eparl´equation d’Euler : le gradient deJum.multnestiopl`a 1T1 rJ(x) = 2B(xxb)2H R(yHx) = 0 1T1T1 B(xxb)H R(yHxb)HH R(xxb) = 0 1T11T1 xxb= (B+HH R)H R(yHxb) etdoncleminimumestdonne´par 1T11T1 x=xb+ (B+H RH)H R(yHxb).
` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT11 Le´quivalenceaveclanalyseduBLUEsefaitenutilisantler´esultatdalge`bre line´airesuivant: 1T11T1T T1 (B+HH R)H R=BH(HBH+R). 1T1 Ilsutdemultiplierlesdeuxcoˆte´sdele´galit´epar(B+H RHuahc`)gaeet T par (HBH+R)`a:nteitbonote,etiord T1T1T1T H R(HBH+R) = (B+H RH)(BH) T1T TT T1T =H RHBH+H=H+H RHBH , cequieste´videmmentvrai.DoncleminimumdelafonctioncouˆtJstetat´elenbi analyse´parleBLUE.3.3.Remarques.asriseopse´nceserlesr´esurobtenise´cnone´statluotypesh`shLe danslesth´eor`emespeuventeˆtrecontourn´ees. Encequiconcernelesmatricesdecovariance,sicelleconcernantle´bauchenest pasde´niepositive,onpeuttoujoursrestreindrelespacedecontroˆlea`lorthogonal du noyau deBui,d,ceqorri-a`enapcsveeidnar,rselynaaelndiosserpxelse`rpagerdanslanalyselesdirectionso`ule´baucheestbonne(erreurnulle).Demeˆme, 1 la matriceRustlarods´lemipropresnulles,iledriovatsruelavserinairroup les observations correspondantes, puisque l’erreur correspondante est infinie. Si la matriceH,noiepnorusetcejntmeli´e´eutlegaboesvrtaimendrseions,asunestpncertaines´etantredondantes. Lhypothe`sedebiaisnulestplusvraisemblable,carlesappareilsdemesurepar exemple en sont souvent pourvus. Si les biais sont connus, on peut les soustraire des valeursdesobservationsoudele´bauchepourseramenera`unesituationnonbiaise´e. S’ils ne sont pas connus, il est possible d’en obtenir une bonne approximation en ´etudiantlesstatistiques(notammentlamoyenne)des´ecartsentreobservations, e´bauche,et´etatdusyst`eme. Lhypothe`seded´ecorr´elationentreleserreursestpluscre´dible,carlerreursur le´bauchesemblenaturellemetnd´ecorre´le´edeserreursdemesures(mˆemesiparfois le´baucheutilise´esappuyesurlesobservations). Lhypoth`eseline´airetangente(quiconcernelope´rateurdobservationici,mais quipeut´egalementconcernerlemod`ele)estjusti´eeaumoinslorsquelese´tats sont relativement proches. En effet, la variation d’une fonction peut s’approcher parsad´eriv´eelorsquele´cartnestpastropgrand:enpremi`ereapproximation, 0 H(x+δx)H(x)'H(x)δxnengioleterd´sion´essn´eeuelnaqttacs´ste.pposEnsu pastropdel´ebauche(cequiestge´n´eralemetnlecas,puisquilyanotamment untermederappeldanslafonctioncoˆut),alorsonpeutline´ariser(oude´river) lope´rateurdobservationautourdelasolutionxb. 3.4.Un exemple simple.sopoqunsupStiahtseeoleuosnmp´eratuimerlateer Ttipe`ecP.edalisilutona,elrcouderte`momrehtnueonnuioncecisepr´(eσosera le´cart-typedelerreurdemesure),etonobservelatempe´ratureTo. On suppose 2 nceσ. En absence d’autre information, que la moyenne deToestTt, avec une variao lameilleureestimationdelatemp´eratureseradoncTorpenice´a,ucevdesionσo. Onsupposemaintenantquonauneautreinformationsurlatempe´raturedela pie`ce.Ilpeutsagirduneautremesureavecunautrethermom`etre(inde´pendant), mais il peut s’agir de constatations simples, comme par exemple le ressenti, la fac¸ondontlesgenssonthabill´esdanslapie`ce,latempe´raturedanslapie`cela veille,...Onsupposequecetteinformationaprioripermetdede´nirune´ebauche