Propagation de la continuite

De
Publié par

Propagation de la continuite Dedou Mars 2011

  • recettes traditionnelles

  • affaire de composition

  • ingredients continus

  • propagation de la continuite


Publié le : mardi 1 mars 2011
Lecture(s) : 32
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 7
Voir plus Voir moins
Propagationdelacontinuit´e
De´dou
Mars 2011
Recettes traditionnelles de fonctions
Choisir trois nombresa,b,ceftrinˆomeormerlet 2 x7→ax+bx+c. Choisir deux fonctions et former la somme (variantes : la di´erence,leproduit,lequotient). Choisir une fonction et former son logarithme (variantes : son exponentielle, son cosinus, son sinus). Choisir une fonction et un nombreae´el,tefanoevlraoitcla`n puissancea.
Recettestraditionnellesetcontinuit´e
Avecdesingr´edientscontinus,onfabriquedesfonctions continues.” Etantdonne´stroisnombresa,b,comnˆriet,el 2 x7→ax+bx+cest continu. Lasomme,ladie´rence,leproduitetlequotientdedeux fonctions continues sont des fonctions continues. Le logarithme, l’ exponentielle, le cosinus et le sinus d’une fonction continue sont des fonctions continues. Toutes les puissances d’une fonction continue sont des fonctions continues.
Preuves en amont
Avecdesingr´edientscontinus,onfabriquedesfonctions continues.” Ca se prouve : 2 Letrinoˆmex7→ax+bx+cnod,elbaunitnocce....erivstd´ Pourlescombinaisonslin´eaires,leproduitetlequotient,ilya troispreuves;jenferaiunea`lapanne. Pour le logarithme, l’ exponentielle, le cosinus et le sinus et les puissances,cestuneaairedecomposition,gouvern´eeparle th´eore`mesuivant.
The´ore`me Lacompos´eededeuxfonctionscontinuesestcontinue.
Etbiensˆur,c¸ased´emontregrave.
Preuves en aval
Avecdesingre´dientscontinus,onfabriquedesfonctions continues.” Ca s’invoque. Exemple e Pour justifier que la fonctionx7→3 sin(3x+ 1)π(lnxest) , continue,onditquecestunecombinaisonlin´eairede e f:=x7→sin(3xet de+ 1) g:=x7→(lnxr`Ap.),ioiqueseta`rlse montrer quefetgsoles-ntelprlai`emecermeommeˆmocsenitn,seu sinusdubinoˆmex7→3x+ 1 et la seconde comme puissance de la fonction ln.
Exo 1 sinx Justiezlacontinuite´delafonctionx7→πe2 cosxlnx.
Unerecetteexotique:lesfonctionsschizophr`enes
Larecetteschizophre`ne Prenez deux fonctionsfetgsr´reell`valauefonctiones,etuneCa` valeursboole´ennes,etformezlafonction
x7→
siC(x) alorsf(x) sinong(x).
Exemple En prenant f:=x7→2x+ 1,g:=x7→cosx,etC:=x7→x>3, on obtient :
x7→
six<3 alors 2x+ 1 sinon cosx.
Exo 2 Formezuneautrefonctionschizophre`ne.
Continuit´edesfonctionsschizophre`nes
Proposition Sifetgreavllaenausintnsnotnitndu´eesdniesetcoouuterda, et siC(x) est de l’une des quatre conditions
x<a,
xa,
x>a,
xa
alors la fonctionx7→siC(x) alorsf(x) sinong(x) a)estcontinuesaufpeut-ˆetreena. b) est continue enassi on af(a) =g(a).
Ca se voit bien sur le dessin. Exo 3 Est-ce que la fonctionx7→six<2 alors 2x1 sinonx+ 3 est continue ? Pourquoi ?
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.