PSI Jeudi Septembre MATHEMATIQUES

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PSI Jeudi 17 Septembre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Déterminant I. Applications directes du cours Exercice 1 : Calculer les déterminants d'ordre n suivants : a) det ( (1 + aiaj)1≤i,j≤n ) , n ? IN?, (a1, · · · , an) ? IKn b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 · · · n ?1 0 3 · · · n ?1 ?2 0 · · · n ... ... ... . . . ... ?1 ?2 ?3 · · · 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c) ? ? ? ? ? ? 2a a + b a + c a + b 2b b + c a + c b + c 2c ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : Calculer les déterminants suivants, d'ordre n, en formant une relation de récurrence : a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 · · · 0 0 a1 0 0 · · · 0 a2 0 ... ... · · · ... ... ... an 0 · · · 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 · · · · · · 1 1 0 1 · · · 1 ... 1 0 1 · · · 1 · · · · · · 1 0 ? ? ?

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Publié le : mardi 1 septembre 2009
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PSI MATHEMATIQUES
Jeudi 17 Septembre 2009
Feuille d’Exercices DÉterminant
I. Applications directes du cours Exercice1: Calculer les dÉterminants d’ordrensuivants : n a)det(1 +aiaj), nIN ,(a1,∙ ∙ ∙, an)IK 1i,jn 1 2 3∙ ∙ ∙n 31 0∙ ∙ ∙n 12 0∙ ∙ ∙n b) . . . . ...   123∙ ∙ ∙0 2a a+b a+c c)a+b2b b+c   a+c b+c2c Exercice 2: Calculer les dÉterminants suivants, d’ordren, en formant une relation de rÉcurrence : 0 0∙ ∙ ∙0 0a1 0 0∙ ∙ ∙0a20 a) . .∙ ∙ ∙. .. an0∙ ∙ ∙00 0 0 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 1 01∙ ∙ ∙1 b) . .1 0 1∙ ∙ ∙ 1∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙1 0 Exercice 3:(CCP PSI 07) Soit   0a b0 a0 0b   A=   b0 0a 0b a0 Calculer le dÉterminant et le rang deAsia= 1, b= 2. Calculer le dÉterminant deAdans le cas gÉnÉral. Discuter la valeur du rang selon les valeurs deaetb. Dans le cas oÙAest inversible, calculer son inverse. Exercice 4:SoitM∈ Mn(Z). Donner une C.N.S pour queMsoit inversible et que 1 M∈ Mn(Z).
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Exercice 5: 1. Soient(a1,∙ ∙ ∙, an)et(b1,∙ ∙ ∙, bn)des rÉels. On noteMla matrice dont les coeffs n1 sontmi,j= (ai+bj). Calculerdet(M). 2. Calculer le dÉterminant de la matrice   p p 1 2∙ ∙ ∙n p pp 2 3∙ ∙ ∙(n+ 1) A= ∈ Mn(IR) . ..p pp n(n+ 1)∙ ∙ ∙(2n1)
3 Exercice 6: Soit(a, b, c)IC ,a6=cetnIN: on considÈre les dÉterminants suivants : b a0∙ ∙ ∙0 b aa∙ ∙ ∙a aa b∙ ∙ ∙a . .ab b∙ ∙ ∙a cb ac ba..∙ ∙a . .. . . .. .. . An=. .;Bn=..b..;Cn=..b.. 0.b.0 . . .. . . . . .. . .. . . . . ....a.. . .a.. . .a .   b∙ ∙ ∙b bb c∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙c b 0∙ ∙ ∙0c b 1) CalculerAna l’aide d’une relation de rÉcurrence. 2) CalculerBnet en dÉduireΔn= det((|ij|)). 1i,jn 3)SoitJnla matrice d’ordrendont tous les coeffs sont Égaux À 1. Montrer que Pn(x) =det(Cn+xJn)(oÙCnest la matrice associÉe ÀCn) est un polynÔme de de-grÉ infÉrieur ou Égal À 1. CalculerPn(a)etPn(c)et en dÉduire une valeur deCn   a b Exercice 7: SoitMune matrice d’ordrenetN=∈ M2(IC). c d   aM bM 1) Montrer que la matriceP=, d’ordre2n, est le produit de deux cM dM matrices, la seconde Étant diagonale par blocs. 2) En dÉduire le dÉterminant deP. R X+1 Exercice 8: Montrer que l’applicationϕdÉfinie surIR[X]parϕ(P)(X) =P(t)dt X induit un endomorphisme deIRn[X]pour toutnIN, que l’on appelleraϕn. Calculer son dÉterminant. 2 Exercice 9: a) Soitnentier impair. Montrer que l’ÉquationM=I, M∈ Mn(IR), n’admet pas de solution. b) Montrer que, sinest pair, il existe au moins une solution. Exercice 10: Discuter et rÉsoudre surIR, le systÈme : 2x+λ yz= 5 (λ5)x+ 3y+ 7z= 7 x+ 3y+ 2z= 4 4 Exercice 11: Calculer, pour(a, b, c, d)IK, : 2 4 1aa a 2 4 1b bb . 2 4 1c cc   2 4 1d dd
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  a d cb b a d c   Exercice 12: SoitM=.   c b ad d c b a   0 1 0 0 0 0 1 0   1. EcrireM=P(A)Pest un polynÔme etA=.   0 0 0 1 1 0 0 0 2. Soitθune racine quatriÈme complexe de l’unitÉ.   1 θ a) CalculerM.   2 θ 3 θ b) CalculerM V(θ1, θ2, θ3, θ4)V(θ1, θ2, θ3, θ4)dÉsigne la matrice de Vandermonde associÉe aux quatre racines quatriÈme de l’unitÉ. c) En dÉduire det(M).
II. Des exercices pour aller plus loin
Exercice 13:E=ICn[X]et(λ0,∙ ∙ ∙, λn)ICn[X]2 À 2 distincts. n Montrer que((X+λi) )est une base deE 0in
Exercice 14: Soitn2. Soit une matriceA∈ Mn(IC)telle que :
M∈ Mn(IC), det(A+M) =det(A) +det(M)
1. Montrer que det(A)=0. 2. Montrer queA= 0.
Exercice 15:SoitEunIK-e.v de dimensionnavecn2, des endomorphismesf n etget une baseBdeE. Pour(x1,∙ ∙ ∙, xn)Eeti6=j, on pose :
aij= detB(x1,∙ ∙ ∙, xi1, f(xi), xi+1,∙ ∙ ∙,∙ ∙ ∙, xj1, g(xj), xj+1,∙ ∙ ∙, xn)
Montrer qu’il existekIKtel que X aij=kdetB(x1,∙ ∙ ∙, xn) i6=j
et calculerk.
Exercice 15:(Centrale 08) SoitnIN− {0,1,2}.En raisonnant sur les rangs deA etcom(A), rÉsoudrecom(A) =Ad’inconnueA∈ Mn(IK).
Exercice 16: Calculer le dÉterminant de l’endomorphismefdeMn(IK)dÉfini par t f:M7M.
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