PSI Mardi Février MATHEMATIQUES

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PSI Mardi 9 Février 2010 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces euclidiens Exercice 1 : Soient E un espace euclidien et p un projecteur. Montrer que p est un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint. Exercice 2 : (CCP) Soit E un espace euclidien, (a, b) ? E2 et ? ? L(E) définie par : ?(x) =< a, x > b? < b, x > a. Déterminer ??. Exercice 3 : Soit A = ? ? 0 ?c b c 0 ?a ?b a 0 ? ?, avec a, b, c réels non tous nuls. 1. Montrer que I3 + A est inversible. Que dire de I3 ? A ? 2. Montrer que (I3 + A)(I3 ? A)?1 ? SO3(IR). Exercice 4 : Soit A = ? ? a b c c a b b c a ? ? ? M3(IR) Montrer que M ? SO3(IR) ssi il existe t ? [0, 427 ], tel que P (a) = P (b) = P (c) = 0 où P = X3 ?X2 + t. Exercice 5 : Déterminer nature et éléments caractéristiques des endomorphismes de IR3 associés aux matrices suivantes : 1.

  • feuille d'exercices espaces euclidiens

  • xz ?

  • espace euclidien

  • diagonalisabilité des matrices ata

  • matrice orthogonale

  • projecteur orthogonal

  • ir3


Publié le : lundi 1 février 2010
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PSI MATHEMATIQUES
Mardi 9 FÉvrier 2010
Feuille d’Exercices Espaces euclidiens
Exercice 1: SoientEun espace euclidien etpun projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal ssi il est autoadjoint.
Exercice 2: (CCP) 2 SoitEun espace euclidien,(a, b)Eetϕ∈ L(E)dÉfinie par : ϕ(x) =< a,x > b< b,x > a. DÉterminerϕ.   0c b   Exercice 3: SoitA=c0a, aveca, b, crÉels non tous nuls. b a0 1. Montrer queI3+Aest inversible. Que dire deI3A? 1 2. Montrer que(I3+A)(I3A)SO3(IR).
  a b c   Exercice 4: SoitA=c a b∈ M3(IR) b c a 4 Montrer queMSO3(IR)ssi il existet[0,], tel queP(a) =P(b) =P(c) = 027 3 2 P=XX+t.
Exercice 5: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques des endomorphismes de 3 IRassociÉs aux matrices suivantes :   1 22 1   1.A= 21 2. 3 12 2   1 22 1   2.A=12 2. 3 2 1 2   2 1 2 1   3.A= 221. 3 12 2 Exercice 6: DÉterminer nature et ÉlÉments caractÉristiques de l’ endomorphisme de   1 11 1 1 11 11   4 IRassociÉ ÀA=.   2 1111 111 1 Exercice 7: 3 1. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rÉflexionsdeIRpar rapport au planPd’Équation cartÉsiennex+y+z= 0. π 2. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotationrd’angle autourde 3 l’axe dirigÉ et orientÉ para= (1,1,1).
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Exercice 8: Etant donnÉnIN, n3, dÉterminer le polynÔme caractÉristique de :   0∙ ∙ ∙0 1 0∙ ∙ ∙0 2 A= (0). n11∙ ∙ ∙n1n
2 Exercice 9: (CCP) SoitSune matrice symÉtrique rÉelle d’ordrentelle que6S5S+ In= 0. p Montrer que la suite(S)pconverge.
Exercice 10: Dans le plan affine euclidien, donner nature, ÉlÉments caractÉristiques et tracer les courbes d’Équation suivantes : 2 2 1.x+xy+y= 1. 2.xy= 1. 2 2 3.x+ 6xy+y+ 4x= 0.
3 Exercice 11: DansIReuclidien, trouver une Équation rÉduite dans une nouvelle base orthonormÉe et reconnatre la nature de chacune des surfaces : 2 22 1.2x+ 2y+z+ 2xz2yz+ 4x2y3z1 = 0. 2 2 2.2x+ 2y4xz4yz+ 2x+ 2y4z+ 2 = 0.
3 Exercice 12: DÉterminer en fonction de(a, b, c)IR/{(0,0,0)}, la nature de la qua-drique associÉe À l’Équation :
2 22 22 2 (E) : (1 +a)x+ (1 +b)y+ (1 +c)z+ 2abxy+ 2acxz+ 2bcyz= 1
3 Exercice 13: On considÈre les droites deIRdÉfinies par les Équations cartÉsiennes :   x=z x=z (D1)et(D2) y= 1y=1
1. Calculerd(D1, D2). 2. DÉterminer la perpendiculaire commune aux deux droites. 3. DÉterminer une condition sur(x, y, z)pour queM(x, y, z)soit Équidistant des deux droites.
Des exercices d’aprÈs Centrale-SupÉlec:
3 Exercice 14: On se place dansIRmuni de son produit scalaire usuel et de sa base canonique(e1, e2, e3). 1. SoitDla droite d’Équations cartÉsiennes :x+ 3y2z= 0,2xz= 0. DÉterminer l’imageDθde la droiteDpar la rotation d’axe dirigÉe pare1et d’angleθ. 2. DÉterminer la matrice dans la base canonique de la rotation d’axeD:xy+z= 1 0, x+y+z= 0qui transformee2en(e1+e3). 2 3 3 Exercice 15: SoitIRmuni de sa structure euclidienne etaIR. 3 On dÉfinit l’endomorphismefa∈ L(E)par :xIR ,fa(x) =x+ax. 3 3 1. VÉrifier que :(a, b, c)(IR), a(bc) =c > b< a,< a,b > c. 2. Montrer quefaest un automorphisme et dÉterminer son inverse. 3 3. DÉterminer une CNS surapour quefasoit un automorphisme orthogonal deIR.
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Exercice 16: SoitA∈ Mn(IR). t t 1. Que peut-on dire de la diagonalisabilitÉ des matricesA AetAA? 2. a) Montrer que les produitsM NetN Mde deux matrices d’ordrenont les mmes valeurs propres. b) Soitλune valeur propre non nulle deM NetN M, montrer que les sous-espaces propresEλ(M N)etEλ(N M)ont mme dimension. t t 3. Montrer que les valeurs propres deA AetAAont mme ordre de multiplicitÉ. t tt 4. En dÉduire qu’il existe une matrice orthogonaleUtelle que :A A=U AAU
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