PSI Mardi Octobre MATHEMATIQUES

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PSI Mardi 20 Octobre 2009 MATHEMATIQUES Feuille d'Exercices Espaces vectoriels normés Applications directes ou presque du cours. Exercice 1 : Soit f une fonction continue de [0, 1] dans IR+. On considère l'applica- tion : Nf : IK[X] ?? IR P 7?? Nf (P ) = sup x?[0,1] |f(x)P (x)| 1) Donner une CNS sur f pour que Nf soit une norme sur IK[X]. 2) Montrer que, s'il existe deux réels a, b strictement positifs tels que af ≤ g ≤ bf , alors les normes Nf et Ng sont équivalentes. Exercice 2 : Soit (E, ?.?) un IK-e.v.n et f un endomorphisme de E. On définit l'appli- cation N sur E en posant N(X) = ?f(X)?. Déterminer une CNS pour que N soit une norme sur E. Exercice 3 : 1) Montrer que l'application définie par N(A) = √ tr(tAA) est une norme sur Mn(IR). 2) a) Montrer que N(AB) ≤ N(A)N(B) pour tous A et B. b) Caractériser les couples (A,B) pour lesquels : N(AB) = N(A)N(B).

  • point intérieur

  • norme euclidienne

  • sens de ? ·

  • cauchy au sens de ? ·

  • ?? nf

  • feuille d'exercices espaces vectoriels

  • unique point fixe


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
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PSI MATHEMATIQUES
Mardi 20 Octobre 2009
Feuille d’Exercices Espaces vectoriels normÉs
Applications directes ou presque du cours.
+ Exercice 1: Soitfune fonction continue de[0,1]dansIR. On considÈre l’applica-tion : Nf:IK[X]−→IR P7Nf(P) =sup|f(x)P(x)| x[0,1] 1) Donner une CNS surfpour queNfsoit une norme surIK[X]. 2) Montrer que, s’il existe deux rÉelsa, bstrictement positifs tels queafgbf, alors les normesNfetNgsont Équivalentes.
Exercice 2: Soit(E,k.k)unIK-e.v.n etfun endomorphisme deE. On dÉfinit l’appli-cationNsurEen posantN(X) =kf(X)k. DÉterminer une CNS pour queNsoit une norme surE.
Exercice 3: p t 1) Montrer que l’application dÉfinie parN(A) =tr(AA)est une norme surMn(IR). 2) a) Montrer queN(AB)N(A)N(B)pour tousAetB. b) CaractÉriser les couples(A, B)pour lesquels :N(AB) =N(A)N(B). 0 3) SoitNune autre norme surMn(IR). Montrer qu’il existec >0tel que :
200 0 (A, B)∈ Mn(IC), N(AB)c N(A)N(B)
Exercice 4: 1 SoitE=C([0,1],RI). PourfE, on pose : s Z 1 202 N(f) =f(0) +f(t)dt 0 1. Montrer queNest une norme surE. 2. Montrer quekfk2N(f). 3.Netk.k?sont-elles Équivalentes
Exercice 5:Montrer que, dans un e.v.n(E,k.k):
2 (x, y)E ,r >0, x+B(y, r) =B(x+y, r)
xE,aIR ,aB(x, r) =B(ax,|a|r) Exercice 6: SoitAune partie d’un e.v.n(E,kk)etOun ouvert deE. Montrer que A+Oest un ouvert deE.
Exercice 7: Montrer queZest fermÉ deIR.
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+ Exercice 8: Soitflipschitzienne. Montrer queK={k/fRIsoitklipschitzienne} est une partie fermÉe deIR.
Exercice 9: Soit(E,kk)unIK.e.v.n etFun s.e.v deE. On suppose queFadmet un point intÉrieur. Montrer queF=E.
Exercice 10: 1. Montrer que tout ÉlÉment deMn(IC)est limite d’une suite deGLn(IC). 2. Montrer queGLn(IC)est dense dansMn(IC). 2 2. Si(A, B)∈ Mn(IC), prouver queχAB=χBA.
Exercice 11: 1. Montrer que : 2 a +2 (a, b),RI√ −ab 2 2a+b 2. E est l’espace des fonctions bornÉes deIRdansIR, muni de la normekk. Pour toutfdeEet pourndansIN, on dÉfinit la fonctionfnsurIR, en posant :
2 f(x) fn(x) =q 1 2 f(x) + n
Montrer quefnEet que la suite(fn)nconverge vers|f|dansEmuni dekk.
Exercice 12: Un e.v.n(E,kk)de dimension finie est muni d’une normeN. Soitf:EEtelle que :
2 2 α]0,1/2[,(x, y)(IR), N(f(x)f(y))α[N(f(x)x) +N(f(y)y)]
Montrer quefadmet un unique point fixe.
3 Exercice 13: On considÈre, dans l’espace vectoriel euclidienIR, la suite(Zn)n=    unu0    vndÉfinie parZ0=v0et pour toutn: wnw0 1 1 un+1=unwn61 3 6 1 1 1 vn+1=un+vnwn+ 61 3 2 3 1 1 1 wn+1=un+vnwn+ 61 3 3 3 La norme euclidienne est notÉekk. 1. Montrer que la suite(Zn)nvÉrifie une relation matricielle de la formeZn+1= AZn+B. PrÉciserAetB. 3 2. Montrer que, pour tout vecteurXdeIR, on akAXk ≤kkXk, oÙk]0,1[. 3 3. En dÉduire que la suite(Zn)nest une suite de Cauchy deIR. 4. Montrer qu’elle converge et calculer sa limite.
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Exercice 14:SoitE=IR[X]. deg(P) P i PourPE/{0}, en ÉcrivantP=aiX, on posekPk= Sup|ai|etk0k= 0. i=0 0ideg(P) n X 1 i On pose pournIN,Pn=X. i i=1 1. Montrer quek ∙ kest une norme surE. 2. CalculerkPnk. En dÉduire que la suite(Pn)nne converge pas vers 0 au sens dek ∙ k. 1 3. SoitPEde degrÉd. Montrer quend+ 1, on akPnPk ≥. En dÉduire d+ 1 que la suite(Pn)nest divergente au sens dek ∙ k. 4. Montrer que la suite(Pn)nest de Cauchy au sens dek ∙ k. 5. Qu’en conclut-on surE?
II. Pour aller plus loin Exercice 15: (D’aprÈs Centrale) Z 1 2 1. Montrer queN: (x, y)7|x+ty|dtest une norme surIR. 0 2. Cette norme est-elle Équivalente À la norme euclidienne? Quelle est la boule unitÉ?
2 Exercice 16: SoitEl’espace des fonctionsfde classeCsur[0.1]et telles quef(0) = 0 f(0) = 0. 00 00 1. Montrer queN1(f) =Sup|f(x) +f(x)|etN2(f) =Sup|f(x)|+|f(x)|dÉfinissent xI xI des normes surE. 2. Montrer queNn’est ni Équivalente ÀN1, ni ÀN2. 3. Montrer queN1etN2sont Équivalentes.
Exercice 17: Soit(E,k ∙ k)un e.v.n; On noteT:EEl’application dÉfinie par : usikuk ≤1 T(u) =u sikuk ≥1 kuk Montrer queTest 2 lipschitzienne.
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