Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie

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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie Michael Eisermann Institut Fourier, Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 7. Oktober 2008 Vortrag an der Universitat Stuttgart Institut fur Geometrie und Topologie 1/32

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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
7. Oktober 2008
VortraganderUniversit¨atStuttgart Institutf¨urGeometrieundTopologie
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¨Uberb
1
2
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Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten Fundamentalgruppe und Alexander-Polynom Jones-Polynom und Quanteninvarianten Invarianten von endlichem Typ
Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen Zopfgruppen operieren auf Gruppen und Quandeln DiskreteYang-Baxter-OperatorenundF¨arbungsinvarianten Klassifikation der Yang-Baxter-Deformationen
Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Scheiben- und Bandknoten, Fox’sche Vermutung Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Entwicklung in Invarianten von endlichem Typ
Zusammenfassung und Ausblick
/223
Knoten und Verschlingungen 3 EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S1,R3(oderS).
EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S
Wir betrachten diese modulo Isotopie desR3.
1,R3 .
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eGschichtlicher¨bUerblickuzrKnotentheorie
Vorl¨aufer(vor1900) Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) ¨ Atomtheorie – Knoten im Ather (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Klassische Topologie (ab 1900) Fundamentalgruppe (Poincare´ , Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4-Mannigfaltigkeiten (Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . . )
Quantentopologie (ab 1984) Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . ) Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . ) Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
/423
§.1
Fundamentalgruppe
1
Satz (Dehn 1914)
Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.
πK:=π1(R3rK) Meridianmk Longitude`k
Das Tripel(πK mK `K)ist eine Invariante des KnotensK.
Jedes Diagramm des KnotensKliefert eine Prasentation der GruppeπK. ¨
Satz (Papakyriakopoulos 1957)
Der KnotenKist genau dann trivial wenn`K= 1inπK.
Satz (Waldhausen 1968)
K
mK
`K
Die InvarianteK7→(πK mK `K)klassifiziert Knoten bis auf Isotopie.
Vollsta¨ ndige Invariante, aber schwer zu handhaben.
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§1.
Seifert-Fl¨achenundAlexander-Polynom
1
Satz (Seifert 1935) Jede VerschlingungLR3berandet eine kompakte, zusammenha¨ ngende, orientierteFl¨acheSR3.
(a) trivialer Knoten(b) Kleeblattschlinge31
(c) Achterknoten41
Seiθ:H1(S)×H1(S)Zdie Seifert-Formθ(a b) = lk(a b).
Satz (Alexander 1928, Seifert 1935) Δ(L) = det(qθq+θ)Z[q±]ist eine Invariante vonL.
Vorteil: leicht zu berechnen, topologische Interpretation
6/32
§1.
Erga¨ nzung: kombinatorische Darstellung
1
Satz (Alexander 1928, Conway 1969) Es gibt eine einzige InvarianteΔ :LZ[q±]mitΔ() = 1so dass Δ“ ”Δ“ ”= (q+1q1)Δ“ ”.
Beispiel: Δ`
Δ
Δ
´Δ`
Δ
«Δ
´= (q+1q1` ´
=
= (q+1q1“ ” =Δ
„ «
Δ`
´= 0
=q+1q1
«= (q+1q1=Δ„ «=q+21 +q2
Das Alexander-Conway-Polynom unterscheidet nicht zwischen einem Knoten Kund seinem SpiegelbildK.
/723
§.1
Artin’s Zopfgruppe Z¨opfebildeneineGruppe:
2
Offensichtliche Relationen:
Satz (Artin 1925, 1947)
Die ZopfgruppeBaufnS
Die ZopfgruppeBnaufnStrangen erlaubt die Darstellung ¨ lls|ij|= 1 Bn=s1 . . .  sn1˛sisjsi=sijssisjflsalfa|ij| ≥2. sisj=sj
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§.1
Yang-Baxter-Darstellungen Jeder AutomorphismuscAut(EE)operiert aufEn:
2
EEEEEE
EEEEEE
Wir fordern die Zopfrelation (Yang-Baxter-Gleichung):
=
(cid)(idc)(cid) = (idc)(cid)(idc)
Korollar (zum Satz von Artin) Jeder Yang-Baxter-Operatorcinduziert eine Darstellung der Zopfgruppe ρnc:BnAut(En)mitsi7→id. . .idcid. . .id. | {z } |{z} | {z } E(i1)E2E(ni1)
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Das Jones-Polynom SeiE=AuAvund somitEE=AuuAuvAvuAvv. Satz (Jones 1984) Zu jedem ElementqAerhalten wir einen Yang-Baxter-Operator q 00 0 c(q) =00000q02q300q1ACq71c(1) =0B@010010000100C1A. B@0q2q0 0 0 1 Dies deformiert die Transpositionτ=c(1) :EEEE,ab7→ba. Fu¨rA=Z[q±]erhalten wir so das Jones-PolynomV: BnAbschlussL ρnc?y?yV Aut(En)t−−→Z[q±] rq Verallgemeinerung: Quanteninvarianten §1.2 10/32
§.1
Erga¨ nzung: kombinatorische Darstellung Aus dem Minimalpolynomq2cq2c1= (q1q)idfolgt:
2
Satz (Jones 1984) Es gibt eine einzige InvarianteV:LZ[q±]mitV() = 1so dass q2V“ ”q+2V“ ”= (q1q+1)V“ ”.
Beispiel: 2V` q
qV2
q2V
´q+2V`
q+2V
«q+2V
´= (q1q+1)V` ´ =V` ´=q1+q+1
“ ”
= (q1q+1)V“ ” =V“ ”=q+1+q+5
«= (q1q+1)V„ « =V„ «=q+2+q+6q+8
Das Jones-Polynom unterscheidet die KleeblattschlingeKvon ihrem SpiegelbildK.
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