Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie

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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie Michael Eisermann Institut Fourier, Grenoble 17. Juni 2009 Vortrag am Mathematischen Institut der Universitat zu Koln 1/32

  • operatoren und

  • verschlingungen ein

  • ein knoten

  • invarianten von endlichem

  • und quanteninvarianten

  • auf isotopie

  • das jones-polynom von


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble
17. Juni 2009
VortragamMathematischenInstitutderUniversit¨atzuK¨oln
1/32
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1
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4
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Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten Fundamentalgruppe und Alexander-Polynom Jones-Polynom und Quanteninvarianten Invarianten von endlichem Typ
Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen Zopfgruppen operieren auf Gruppen und Quandeln Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Fa¨ rbungsinvarianten Klassifikation der Yang-Baxter-Deformationen
Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Scheiben- und Bandknoten, Fox’sche Vermutung Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Entwicklung in Invarianten von endlichem Typ
Zusammenfassung und Ausblick
/223
Gauss: Elektromagnetismus Listing: Vorstudien zur Topologie ¨ Kelvin: Atome als Knoten im Ather Kirkman, Little, Tait: empirische Klassifikation
Quantentopologie (ab 1984)
Vorl¨aufer(vor1900)
Klassische Topologie (ab 1900)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . ) Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . ) Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
Fundamentalgruppe (Poincare´ , Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4 . . )-Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, .
/323Kronkcuzehroettncherhtlirbli¨UbecihcseGie
Knoten und Verschlingungen EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S1,R3(oderS3).
EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S1,R3.
Wir betrachten diese modulo Isotopie desR3
=
Diagramme modulo
/432
§.1
Fundamentalgruppe
1
Satz (Dehn 1914) Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.
Algebraische Invariante:
FundamentalgruppeπK:=π1(R3rK) Meridianmk Longitude`k
Satz (Papakyriakopoulos 1957) Ein KnotenKist genau dann trivial wenn`K= 1.
K
mK
`K
Satz (Waldhausen 1968) Die InvarianteK7→(πK mK `K)klassifiziert Knoten bis auf Isotopie.
=Vollsta¨ ndige Invariante, aber schwer zu handhaben.
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§1.
Seifert-Fla¨ chen und Alexander-Polynom
1
Satz (Seifert 1935, Pontryagin 1930)
Jede VerschlingungLR3 ¨berandet eine kompakte, zusammenh gende, an orientierte Fla¨ cheSR3.
(a) trivialer Knoten(b) Kleeblattschlinge31
(c) Achterknoten41
Seiθ:H1(S)×H1(S)Zdie Seifert-Formθ(a b) = lk(a b).
Satz (Alexander 1928, Seifert 1935)
Δ(L) = det(qθq+θ)Z[q±]ist eine Invariante vonL.
=Leicht zu berechnen, gute topologische Interpretation.
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§1.
Erg¨anzung:kombinatorischeDarstellung
1
Satz (Alexander 1928, Conway 1969) Es gibt eine einzige InvarianteΔ :LZ[q±]mitΔ() = 1so dass Δ“ ”Δ“ ”= (q+1q1)Δ“ ”.
Beispiel: Δ`
Δ
Δ
´Δ`
Δ
«Δ
´= (q+1q1` ´
=
= (q+1q1“ ” =Δ
„ «
Δ`
´= 0
=q+1q1
«= (q+1q1=Δ„ «=q+21 +q2
Daraus ersieht man: Das Alexander-Conway-Polynom unterscheidet nicht zwischen einem KnotenKund seinem SpiegelbildK.
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§.1
Artin’s Zopfgruppe Zo¨ pfe bilden eine Gruppe:
2
Offensichtliche Relationen:
Satz (Artin 1925, 1947)
Die ZopfgruppeBaufnS
Die ZopfgruppeBnaufnr¨Stgeanasr¨ePdibtaurlnenoitatne j|= 1 Bn=s1 . . .  sn1˛sissjissij==ssijssjisjsaalfllfsl||iij| ≥2.
/832
§.1
Yang-Baxter-Darstellungen Jeder AutomorphismuscAut(EE)operiert aufEn:
2
EEEEEE
EEEEEE
Wir fordern die Zopfrelation (Yang-Baxter-Gleichung):
=
(cid)(idc)(cid) = (idc)(cid)(idc)
Korollar (zum Satz von Artin) Jeder Yang-Baxter-Operatorcinduziert eine Darstellung der Zopfgruppe ρnc:BnAut(En)mitsi7→id. . .id|{cz}i|d. . .id}. | {z } {z E(i1)E2E(ni1)
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§1.
Das Jones-Polynom
2
Satz (Jones 1984) SeiE=AuAvund somitEE=AuuAuvAvuAvv. Zu jedem ElementqA×erhalten wir einen Yang-Baxter-Operator c0q00q002qq02q30001C. (q) =B@ 00 0qA
F¨urA=Z[q±]erhalten wir so das Jones-PolynomV:
Ab Bn−−schlussL ρcny? ?yV
Aut(En)tr−−→Z[q±] q
Verallgemeinerung: Quanteninvarianten
013/2
§1.
Erga¨ nzung: kombinatorische Darstellung Aus dem Minimalpolynomq2cq2c1= (q1q)idfolgt:
2
Satz (Jones 1984) Es gibt eine einzige InvarianteV:LZ[q±]mitV() = 1so dass q2V“ ”q+2V“ ”= (q1q+1)V“ ”.
Beispiel: q2V`
q2V
q2V
´q+2V`
qV+2
«q+2V
´= (1q+1)V` ´ q=V` ´1+q+1 =q
“ ”
= (q1q+1)V“ ” =V“ ”=q+1+q+5
«= (q1q+1)V„ « =V„ «=q+2+q+6q+8
Daraus ersieht man: Das Jones-Polynom unterscheidet die Kleeblattschlinge Kvon ihrem SpiegelbildK.
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