Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie

De
Publié par

Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie Michael Eisermann Institut Fourier, Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 9. Marz 2009 Vortrag am Mathematischen Institut der Universitat Munster 1/32

  • eine glatte

  • der yang

  • operatoren und

  • prasentation der

  • knoten ist

  • invarianten von endlichem

  • und quanteninvarianten

  • auf isotopie

  • das jones-polynom von

  • vermutung das


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 23
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 32
Voir plus Voir moins
Quanteninvarianten und niedrigdimensionale Topologie
Michael Eisermann
Institut Fourier, Grenoble www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
9. Ma¨ rz 2009
VortragamMathematischenInstitutderUniversit¨atMu¨nster
1/32
¨bUreb
1
2
3
4
lick
Von klassischen Invarianten zu Quanteninvarianten Fundamentalgruppe und Alexander-Polynom Jones-Polynom und Quanteninvarianten Invarianten von endlichem Typ
Diskrete Yang-Baxter-Operatoren und Deformationen Zopfgruppen operieren auf Gruppen und Quandeln DiskreteYang-Baxter-OperatorenundF¨arbungsinvarianten Klassifikation der Yang-Baxter-Deformationen
Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Scheiben- und Bandknoten, Fox’sche Vermutung Das Jones-Polynom von Bandverschlingungen Entwicklung in Invarianten von endlichem Typ
Zusammenfassung und Ausblick
2/32
/323
Klassische Topologie (ab 1900)
Zopf-Darstellungen und Deformationen (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, . . . ) Invarianten von endlichem Typ (Vassiliev, Goussarov, . . . , Kontsevich, . . . ) Kategorifizierung (Khovanov, Osvath-Szabo, . . . )
Fundamentalgruppe (Poincare´ , Wirtinger, Dehn, . . . ) Homologie (Alexander, Seifert, . . . ) Diagramme (Reidemeister), Zopfgruppen (Artin) 2/3/4 . . )-Mannigfaltigkeiten (Fox–Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, .
Elektromagnetismus (Gauss) Vorstudien zur Topologie (Listing) ¨ Atomtheorie – Knoten im Ather (Kelvin) empirische Klassifikation (Kirkman, Little, Tait)
Quantentopologie (ab 1984)
Vorlaufer (vor 1900) ¨
notentheorieU¨rebrebkcilKruzGcheshticchli
Knoten und Verschlingungen EinKnotenist eine glatte Einbettungf:S1,R3(oderS3).
EineVerschlingungist eine glatte Einbettungf:n×S
Wir betrachten diese modulo Isotopie desR3.
1,R3.
/423
§.1
Fundamentalgruppe
1
Satz (Dehn 1914)
Die beiden Kleeblattschlingen sind verschieden.
πK:=π1(R3rK) Meridianmk Longitude`k
Das Tripel(πK mK `K)ist eine Invariante des KnotensK.
Jedes Diagramm des KnotensKliefert einePr¨asentationderGruppeπK.
Satz (Papakyriakopoulos 1957)
Der KnotenKist genau dann trivial wenn`K= 1inπK.
Satz (Waldhausen 1968)
K
mK
`K
Die InvarianteK7→(πK mK `K)klassifiziert Knoten bis auf Isotopie.
Vollst¨andigeInvariante,aberschwerzuhandhaben.
/523
§1.
Seifert-Fla¨ chen und Alexander-Polynom
1
Satz (Seifert 1935, Pontryagin 1930)
Jede VerschlingungLR3berandet eine kompakte, zusammenhangende, ¨ orientierteFl¨acheSR3.
(a) trivialer Knoten(b) Kleeblattschlinge31
(c) Achterknoten41
Seiθ:H1(S)×H1(S)Zdie Seifert-Formθ(a b) = lk(a b).
Satz (Alexander 1928, Seifert 1935)
Δ(L) = det(qθq+θ)Z[q±]ist eine Invariante vonL.
Vorteil: leicht zu berechnen und gute topologische Interpretation.
6/32
§1.
Erg¨anzung:kombinatorischeDarstellung
1
Satz (Alexander 1928, Conway 1969) Es gibt eine einzige InvarianteΔ :LZ[q±]mitΔ() = 1so dass Δ“ ”Δ“ ”= (q+q1)Δ“ ”. 1
Beispiel: Δ`
Δ
Δ
´Δ`
Δ
«Δ
´= (q+1q1` ´
=
= (q+q“ ” 1 1 =Δ
„ «
Δ`
´= 0
=q+1q1
«= (q+1q1=Δ„ «=q+21 +q2
Daraus ersieht man: Das Alexander-Conway-Polynom unterscheidet nicht zwischen einem KnotenKund seinem SpiegelbildK.
/723
§.1
Artin’s Zopfgruppe Z¨opfebildeneineGruppe:
2
Offensichtliche Relationen:
Satz (Artin 1925, 1947)
Die ZopfgruppeBaufnS
Die ZopfgruppeBnaufntSegen¨rnabtdirlauasenePr¨itatno B=s1 . . .  sn1˛sisjsi=sjsisjfalls|ij||=12. nsisj=sisjfalls|ij
8/32
§1.
Yang-Baxter-Darstellungen Jeder AutomorphismuscAut(EE)operiert aufEn:
2
EEEEEE
EEEEEE
Wir fordern die Zopfrelation (Yang-Baxter-Gleichung):
=
(cid)(idc)(cid) = (idc)(cid)(idc)
Korollar (zum Satz von Artin) Jeder Yang-Baxter-Operatorcinduziert eine Darstellung der Zopfgruppe ρnc:BnAut(En)mitsi7→id. . .idcid. . .id. | {z } |{z} | {z } E(i1)E2E(ni1)
/923
§1.
Das Jones-Polynom SeiE=AuAvund somitEE=AuuAuvAvuAvv.
2
Satz (Jones 1984) Zu jedem ElementqA×erhalten wir einen Yang-Baxter-Operator c(q) =00q00q02001 B@0q2qq30CA. 0 0 0q
Fu¨rA=Z[q±]erhalten wir so das Jones-PolynomV:
BAbschlussL −−−−− n ρnc?y?V y
Aut(En)trq−→Z[q±]
Verallgemeinerung: Quanteninvarianten
013/2
§1.
Erganzung: kombinatorische Darstellung ¨ Aus dem Minimalpolynomq2cq2c1= (q1q)idfolgt:
2
Satz (Jones 1984) Es gibt eine einzige InvarianteV:LZ[q±]mitV() = 1so dass q2V“ ”q+2V“ ”= (q1q+1)V“ ”.
Beispiel: q2V`
q2V
qV2
´q+2V`
q+2V
«q+2V
´= (q1q+1)V` ´ =V` ´=q1+q+1
“ ”
= (q1q+1)V“ ” =V“ ”=q+1+q+5
«= (q1q+1)V„ « =V„ «=q+2+q+6q+8
Daraus ersieht man: Das Jones-Polynom unterscheidet die Kleeblattschlinge Kvon ihrem SpiegelbildK.
11/32
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.