Quatre pas vers l'Analyse

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Promenade Mathematique Quatre pas vers l'Analyse Quang-Thai Ngo, Aout 2002

  • morphisme injectif d'anneaux

  • proprietes liees

  • psi ? ?

  • suites recurrentes

  • sigma ? ?

  • upsilon ? ?

  • lambda ? ?

  • borne superieure

  • phi ? ?

  • corps


Publié le : jeudi 1 août 2002
Lecture(s) : 55
Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 95
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´Promenade Mathematique
Quatre pas vers l’Analyse
Quang-Thai Ngo, Aoutˆ 2002Table des mati`eres
1 Les nombres r´eels 3
I) Construction deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A) Corps commutatifs et totalement ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B) R `a l’aide des suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II) Topologie deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A) Borne sup, borne inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
B) Ensembles ouvertes , ensembles ferm´es et ensembles connexes.. . . . . . . . . 23
C) Int´erieur et adh´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
D) Vocabulaire suppl´ementaire et compacit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
III) Utilisation des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A) Caract´erisation avec des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
B) Cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Les suites num´eriques 39
I) Les nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A) Les propri´et´es des r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
B) Partie enti`ere et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II) Suites de nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A) Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B) Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C) Suites de limites infinies - Op´erations alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . 54
D) Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
E) Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
F) Suites extraites et th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . 69
G) Propri´et´es li´ees a` l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
H) Applications a` l’approximation des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III) Etudes de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A) La comparaison locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
B) Suites r´ecurrentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
C) Les suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
D) Suites r´ecurrentes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Alphabet grec
Il est utile de connaˆıtre l’alphabet grec. Grˆace aux “ ´equivalences ” avec l’alphabet romain,
on m´emorisera plus facilement. On utilisera aussi en math´ematique quelques lettres h´ebra¨ıques
comme ℵ (lire aleph).
Equivalent alphabet romain Nom Minuscule Majuscule
a alpha α A
b bˆeta β B
c chi χ X
d delta δ Δ
e epsilon ε E
f phi φ Φ
g gamma γ Γ
h ˆeta η H
i iota ι I
j phi (autre) ϕ /
k kappa κ K
l lambda λ Λ
m mu μ M
n nu ν N
o omicron o O
p pi π Π
q thˆeta θ Θ
r rho ρ P
s sigma σ Σ
t tau τ T
u upsilon υ Υ
v / / /
w om´ega ω Ω
x xi ξ Ξ
y psi ψ Ψ
z zˆeta ζ ZChapitre 1
Les nombres r´eels
LecorpsQdesnombresrationnelsa´et´econstruitpourquel’onpuissed´efinirlesinversesdes
nombres entiers relatifs non nul. Bien qu’il soit partout dense, il ne suffit pas a` la repr´esentation
exacte de tous les nombres qui se pr´esentent en math´ematiques. Ainsi, il n’est pas possible de
2r´esoudre dans le corpsQ une ´equation aussi simple que la suivante : x −2=0.

Le nombre 2 correspond a` une lacune dans le corps Q. On est ainsi amen´e a` construire
un autre corpsR tel que pour toute partie major´ee non vide deR, on ait une borne sup´erieure.
Par ailleurs,Q n’est pas complets et ses parties non vide major´ees sont sans borne sup´erieure.
Danslamouvancedelar´eflexionsurlaconstructiondesfondements,plusieursmath´ematiciens
du19`emesi`eclesesontint´eress´es`abˆatiruneth´eoriedesirrationnelsetlespropri´et´esarithm´etiques.
Parmi ces math´ematiciens, les plus c´el`ebres sont Richard Dedekind, Geog Cantor et K. Weiers-
trass. Il s’agit de compl´eter le travail d’Eudoxe ´elabor´e 22 si`ecles auparavant.
Les´etudiants en premi`ere ann´ee peuvent sauter se chapitre et aller directement au chapitre
suivant.
I) Construction de R
A) Corps commutatifs et totalement ordonn´es
Etudions tout d’abord les propri´et´es g´en´erales des corps totalement ordonn´es.
D´efinition
Une relation ≤ d’ordre sur un ensemble E est une relation d’ordre total lorsque
∀x, y∈E, x≤y ou y≤x.
Un groupe ordonn´e est un triplet (G,+,≤) ou` (G,+) est un groupe et ≤ une relation d’ordre
sur G v´erifiant
∀x, y, z∈G, x≤y⇒xz≤yz et zx≤zy.
Soit 0 l’´el´ement neutre pour la loi +. On note
+ −G ={x∈G / 0≤x} et G ={x∈G / x≤0}.
Un anneau ordonn´e est un quadruplet (K,+,.,≤) ou` (K,+,.) est un anneau et ≤ une relation
d’ordre surK tel que (K,+,≤) soit un groupe ordonn´e.
On note
+ −K ={x∈K / 0≤x} etK ={x∈K / x≤0}.
Soit (K,+,.) un anneau unitaire, la caract´eristique de K est le plus petit entier p tel que
p1 =0 . Lorsque p=0, on dit queK est de caract´eristique nulle.K KChapitre 1 Page 4
Un corps (K,+,.,≤) ordonn´e est ordonn´e en tant que anneau.
Un corps (K,+,.,≤) est dit archim´edien lorsque
2∀(x,y)∈K , (0<x,0≤y) ⇒ (∃n∈N,y<nx).
Un corps (K,+,.,≤) poss`ede la propri´et´e de la borne sup´erieure lorsque toute partie non vide
et major´ee deK admet une borne sup´erieure.
La caract´eristique d’un corpsK est la caract´eristique de l’anneauK.
Remarque
Rappelons que la borne sup´erieure d’une partie est le plus petit des majorants de cette partie.
Les propri´et´es suivantes caract´erisent la borne sup´erieure S d’une partie E deK :
∀x∈E, x≤S
∀ε>0, ∃x∈E, x>S−ε.
Les propri´et´es suivantes caract´erisent la borne inf´erieure I d’une partie E deK :
∀x∈E, I ≤x
∀ε>0, ∃x∈E, x<I +ε.
Th´eor`eme
i) Etant donn´e un anneau (K,+,.), il existe un unique morphisme de (Z,+,.) vers (K,+,.). Il est
d´efini par
ϕ(n)=n1 .K
ii) SiK est de caract´eristique non nulle n, on a, pour tout x∈K, nx=0 .K
iii) SiK est de caract´eristique nulle, alorsK est infini.
iv) SiK est un corps de caract´eristique nulle, alors le plus petit sous-corps deK est isomorphe a`
Q, le corps des nombres rationnels.
Preuve
i) Si ϕ:Z→K est un morphisme d’anneaux, on a n´ecessairement
ϕ(n)=ϕ(n.1)=nϕ(1)=n1 .K
Il est par ailleurs ais´e de v´erifier que ϕ(1)=1 .K
2D’autre part pour tout (m,n)∈Z ,
ϕ(m+n)=ϕ(m)+ϕ(n).
ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n).
ii) SiK est de caract´eristique non nul n, alors
nx=n(1 x)=(n1 )x=0 .K K K
iii) LorsqueK est de caract´eristique nulle, le morphisme ϕ est injectif. Donc ϕ(Z) ⊂K. MaisZ
est infini, donc ϕ(Z) est ´egalement infini.
iv) LorsqueK est de caract´eristique nulle, l’application ϕ :Z →K, n 7→ n1 est un morphismeK
injectif d’anneaux. Dans ce cas, on peut´etendreϕ a`Q. En effet, pourn>0, on an1 =0. DoncK
n1 a un inverse. On pose alorsK
Analyse
6Chapitre 1 Page 5
−1ϕ(1/n)=(n.1 ) ,K
puis
−1ϕ(p/q)=(p.1 )(q.1 ) .K K
De plus comme l’application n7→n1 deZ dansK est strictement croissante, l’application l’estK
´egalement. Tout ce qui concerne l’ordre est alors conserv´e. On v´erifie queϕ d´efinit un homomor-
phisme de corps.
L’imageϕ(Q) est le plus petit sous-corps deK, dont on prouve ainsi l’existence. En effet, siA est
un sous-corps de K, alors il contient 0 et 1 . Comme c’est un sous-groupe, il contient tous lesK K
n1 pour n∈N. Comme il contient les n1 et comme, pour n = 0 , ces ´el´ements sont distinctsK K
−1de 0, il contient les inverses donc les ´el´ements de la forme (n1 ) . Contenant les ´el´ements de laK
−1forme p.1 , il contient les (p.1 )(q.1 ) , c’est-`a-dire l’image ϕ(Q).K K K
Propri´et´e
Un anneau unitaire, totalement ordonn´e est de caract´eristique nulle, si l’anneau est non nul.
Preuve
Consid´erons la propri´et´e d´ependant de n suivante
P(n):n1>0.
Dans un anneau non nul, on a : 1=0 ou` 1 est l’´el´ement neutre du produit, et 0 l’´el´ement neutre
de l’addition.
Par ailleurs, on peut ´ecrire
21 =1>0.
P(0) est vraie. Supposons que P(n) est vraie. Observons P(n+1) :
(n+1)1=n1+1.
Comme n1>0 et 1>0, il vient : n1+1>0. Donc P(n) est vraiepour tout n∈N.
Propri´et´e
∗i) Un corps (K,+,.,≤) est archim´edien si et seulement si : ∀x∈K, ∃n∈N , x≤n.
ii)Soit(K,+,.,≤)uncorpscommutatiftotalementordonn´eetarchim´edien,alorspourtoutx∈K
il existe E[x]∈Z tel que
E[x]≤x<E[x]+1.
Preuve
i) Un corps (K,+,.,≤) archim´edien lorsque :
2∀(y,z)∈K , (0<y,0≤z) ⇒ (∃n∈N,z<ny).
−1Multiplions l’in´egalit´e par y , on obtient :
−1zy <n.
−1 −1Or zy ∈K, donc ∃x∈K tel que x=zy . Comme y et z sont arbitraires, il vient
Analyse
66Chapitre 1 Page 6
∗K archim´edien ⇔ ∀x∈K, ∃n∈N , x≤n.
−1La structure de corps permet de simplifier la d´efinition en multipliant par y .
ii) SoitK archim´edien et x∈K. Posons
A={p∈Z,p≤x}.
CommeK est archim´edien, il vient :
∃n∈N, x≤n.
Alors A est major´ee. Par ailleurs, A est non vide car m ∈N, −x ≤ m. Comme A est non vide
et major´ee dansZ, elle admet un plus grand ´el´ement que l’on note E[x]; il est caract´eris´e par la
propri´et´e :
E[x]≤x<E[x]+1.
La fonctionE est en outrecroissante : six≤y, alorsE[x]≤x≤y donc par d´efinition deE[y] :
E[x]≤E[y].
Propri´et´e
Soit (K,+,×,≤) un corps ordonn´e. Posons
K ={x∈K / x≥0} etK ={x∈K / x≤0}.+ −
On a :
i)K =−(K ) etK =−(K )− + + −
ii)K ∩K ={0}+ −
iii)K +K ⊂K+ + +
La relation d’ordre ≤ est total si et seulement siK=K ∪K+ −
iv) Si x et y sont de mˆeme signe, alors xy est positif.
Si x et y sont de signe contraire, alors xy est n´egatif.
Preuve
i) Si x∈K , alors x≥0. On additionne par −x membre a` membre, on obtient :+
x+(−x)≥−x
⇒ 0≥−x
⇒ −x∈K−
⇒ −(K )⊂K+ −
R´eciproquement, si y∈K , alors y≤0. On additionne par −y membre `a membre, on obtient :−
y+(−y)≤−y
⇒ 0≤−y
⇒ −y∈K .+
Mais y =−(−y)∈−(K ). D’ou`K ⊂−(K ). On obtient finalement+ − +
K =−(K ).− +
On refait la mˆeme chose pour prouver
AnalyseChapitre 1 Page 7
K =−(K ).+ +
ii) Il est clair que 0∈(K ∩K ). Donc on a bien− +
{0}⊂(K ∩K ).− +
Six≥0 etx≤0, c’est-a-d` irex∈(K ∩K ), alors par anti-sym´etrie de la relation d’ordrex=0.− +
Finalement
(K ∩K )={0}.− +
iii) Soit x≥0 et y≥0. Par comptabilit´e, il vient
x+y≥y≥0.
AinsiK +K ⊂K .+ + +
Si l’ordre est total, alors ∀x∈K, x est comparable `a 0, `a savoir x≤ 0 ou x≥ 0. Donc si l’ordre
est total, alors ∀x∈K, soit x∈K . D’ou`K=(K ∪K ).− − +
2R´eciproquement siK=(K ∪K ), soient (x,y)∈K , il vient :− +
x+(−y)∈K=K ∪K .− +
Par exemple si : x+(−y)∈K , alors on a : x+(−y)≥0 ⇒ x≥y.+
Ainsi x et y sont comparables. On fait la mˆeme chose lorsque x+(−y)∈K−
iv) Si x>0 et y>0, on a par comptabilit´e de la multiplication avec la relation d’ordre ≤.
Th´eor`eme
Dans un corps commutatif totalement ordonn´eK, les propositions suivantes sont ´equivalentes :
◦1 ) Tout ´el´ement deK est limite dansK d’une suite de rationnels.
◦2 ) Entre deux ´el´ements deK, il existe au moins un rationnel.
◦3 )K est archim´edien.
Preuve
Montrons que : i) ⇒ ii).
Si tout ´el´ement deK est limite d’une suite de rationnels, alors pour tout x et y deK, l’´el´ement
x+y
est limite d’une suite de rationnels. Cela veut dire
2

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