Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois

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Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois Michael Eisermann www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 14 decembre 2007 Institut Fourier

  • entrelacs bordants

  • jones

  • deformations

  • polynome de jones des entrelacs rubans

  • coloriage classification des deformations de yang

  • quantique groupe fondamental

  • quantique

  • quandles quandles

  • actions des tresses yang


Publié le : samedi 1 décembre 2007
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Quelques interactions de la topologie classique et quantique en dimension trois
Michael Eisermann
www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
14 de´ cembre 2007
Institut Fourier
Pl de l’ ´ an expose
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3
4
Topologie classique et quantique Groupe fondamental et polynoˆ me d’Alexander ˆ Polynome de Jones et invariants quantiques Invariants de type fini et la question de Vassiliev
Yang-Baxterensemblisteetth´eoriedesquandles Quandles et actions des tresses Yang-Baxter ensembliste et invariants de coloriage Classicationdesd´eformationsdeYang-Baxter
Surfaces et invariants de type fini Entrelacs bordants et entrelacs rubans LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Invariants de type fini de surfaces
Questions ouvertes
rt,Feifeer,Seistapyk,raPlionxoM,ldWas,loouopakrilopoT)...,nesuahvari´et´giedes3-iocnrae´se.,..P(,Dern,ehir,WngtieR,rmedixelAednataoiofmrorpusng,antiesqu,invquesdstnairainepyteon(J..,.FLOM,Hesgoeiuqnaituq(e`des1984)repr´esenitatdsnortseesseths,or´edeie´esd
Pre´ curseurs (avant 1900)
e´lectromagn´etisme(Gauss),topologie(Listing),th´eorieatomique(Kelvin), classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Aperc¸ u historique
)..,.chvisentKossuovorailisG,veanfmas,VT,YPufKaniefl,daNat,nrDLin,Bar-,Birman,dameefonroup00)gse91(e`disuqlcsaieogolopTx,topololculdeFofire,taccaseedeSs,ntrfsuˆeevmetegolor,eilatnmoh,
TolopoeqgiFMYLTPK,oJen,sOHni,...(tsdetypeavninairqitn,seupeouuasqontigrs,roam´dfedeseoeir,th´ssesstrensdeoitatnese´rper)498s1`e(dueiqntuacive..,h
Aperc¸ u historique
).
Topologieclassique(d`es1900) groupefondamental,homologie,revˆetements,surfacesdeSeifert,calculde Fox, topologie des3eD,regniaxelA,nh,erndra´iv-,s..tee´inca.(PoWirtr´e, Reidemeister, Seifert, Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . .)
Precurseurs (avant 1900) ´ e´ lectromagne´ tisme (Gauss), topologie (Listing), the´ orie atomique (Kelvin), classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
nfel,Driontsd,KniB,naL,tanaraN-sausGov,rmBiv,ro,namffuaeilissaV
Aperc¸uhistorqieu
Pre´ curseurs (avant 1900) e´lectromagn´etisme(Gauss),topologie(Listing),th´eorieatomique(Kelvin), classification empiriques des petits nœuds (Kirkman, Little, Tait)
Topologie classique (de` s 1900) groupe fondamental, homologie, reveˆ tements, surfaces de Seifert, calcul de Fox, topologie des3-vari´et´es,...(oPniac´r,eiWtrnihnDer,gendxale,A,re Reidemeister, Seifert, Fox, Milnor, Papakyriakopoulos, Waldhausen, . . .)
Topologie quantique (de` s 1984) repr´esentationsdestresses,the´oriedesde´formations,groupesquantiques, invariants de type fini, . . . (Jones, HOMFLYPT, Kauffman, Vassiliev, Goussarov, Birman, Lin, Bar-Natan, Drinfel’d, Kontsevich, . . .)
Plan de l’expose´
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r(appel)
Topologie classique et quantique GroupefondamentaletpolynˆomedAlexander Polynoˆ me de Jones et invariants quantiques Invariants de type fini et la question de Vassiliev
Yang-Baxter ensembliste et the´ orie des quandles Quandles et actions des tresses Yang-Baxter ensembliste et invariants de coloriage Classification des d ´ f rmations de Yang-Baxter e o
Surfaces et invariants de type fini Entrelacs bordants et entrelacs rubans LepolynˆomedeJonesdesentrelacsrubans Invariants de type fini de surfaces
Questions ouvertes
Le triple(πK, mK, `K)est un invariant du nœudK.
πK:=π1(R3rK) m´eridienmk longitude`k
`K mK
s.
Groupefondamentaltsyst`´iph´erique e eme per
The´or`eme(Dehn1914)
Les deux images miroir du nœud de tre` fle sont distincts.
Les deux images miroir du
K
opiepr`etosia`sduœnselesiasclK),`mKK,(πKt7irnaniav)8Ln196ausealdhme(WsoluopokneL)7591ttesdKœusialvirilumetees`i=KnestsπK.1danor`eTh´ehTe´or`eme(Papakyria
alntsyet`estp´meGpuornofeemadeisnselsduhœTsei´ar`oo`peomtep(rWiaelsd.h`aeu
Th ´ ` (Papakyriakopoulos 1957) eoreme Le nœudKest trivial si et seulement si`K= 1dansπK.
s
`K mK
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Th ´ ore` me (Dehn 1914) e Lesdeuximagesmiroirdunœuddetr`eesontdistincts.
169)8LniavirnaKt7(πK,mK,`K)clas
Le triple(πK, mK, `K)est un invariant du nœudK.
πK:=π1(R3rK) me´ ridienmk longitude`k
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Groupeofdnmaneatlteysts`emep´repih´erique
Th´eor`eme(Dehn1914) Les deux images miroir du nœud de tre` fle sont distincts.
πK:=π1(R3rK) me´ ridienmk longitude`k
Le triple(πK, mK, `K)est un invariant du nœudK.
K
`K mK
Th´eore`me(Papakyriakopoulos1957) Le nœudKest trivial si et seulement si`K= 1dansπK.
The´ ore` me (Waldhausen 1968) L’invariantK7→(πK, mK, `K) s.classifie les nœuds `a isotopie pre`
T)θ+qθq(ted=)Larnvnitues±][qZ)bl=(θ,are,teSfirsΔ(.Alo,b)k(a1H:θ×)S()539tioSorafdeme(SH1Zl)(elAxena´hoe`rmeSeifert1der1928,iantdeL.
SurfacesdeSeifertetpolynˆomedAlexander
Th´eor`eme(Seifert1935)
Pour tout entrelacsLR3 eil existe une surface compacte connexe oriente´ SR3telle que∂S=L. On appelleSune surface de Seifert deL.
(a) nœud trivial,
(b)nœuddetr`ee,31
(c) nœud de huit,41
uSfrcaseedeSfiretteoplynˆmoedAlexander
Th´eor`eme(Seifert1935) Pour tout entrelacsLR3il existe une surface compacte connexe orientee ´ SR3telle que∂S=L. On appelleSune surface de Seifert deL.
(d) nœud trivial,
(e)nœuddetr`ee,31
The´ ore` me (Alexander 1928, Seifert 1935) Soitθ:H(S)×H(S)Zla forme de Seifer
(f) nœud de huit,41
Soitθ:H1(S)×H1(S)Zla forme de Seifert,θ(a, b) = lk(a, b). AlorsΔ(L) = det(qθq+θ)Z[q±]est un invariant deL.
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