Quelques presentations des varietes de dimension

De
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Quelques presentations des varietes de dimension 3 Christine Lescop 15 septembre 1997 Resume Ce texte presente quelques manieres de visualiser les varietes de dimension 3, puis introduit brievement l'invariant de Casson, invariant recent de ces varietes, et quelques travaux de l'auteur sur cet invariant. Mots-clefs: topologie en dimension 3, varietes de dimension 3, scindements de Heegaard, chirurgie, invariant de Casson Keywords: 3-dimensional topology, 3-manifolds, Heegaard splittings, surgery, Casson invariant A.M.S. subject classication: 57N10, 57M25 1 Introduction aux varietes de dimension 3 Dans cet expose, pour un entier naturel k, nous appelons k-variete une variete topologique (a homeomorphisme pres), compacte, orientable, connexe, sans bord (sauf precision contraire) de dimension k. Avec cette denition que nous expliciterons ulterieurement, nous pou- vons donner les listes completes et sans repetition des 1-varietes et des 2- varietes que nous appelons ici simplement surfaces. La seule 1-variete est le cercle S 1 , et, pour chaque entier naturel g, il y a exactement une surface : la surface g de genre g dessinee sur la gure 2. 1

  • compactie d'alexandro de l'espace ambiant

  • sphere

  • homeomorphisme pres

  • introduction aux varietes de dimension

  • scindements de heegaard

  • scindement de heegaard de genre

  • invariant de casson

  • heegaard

  • varietes


Publié le : lundi 1 septembre 1997
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Quelques
eomorphisme
pr


erieuremen
esen
tier
tations
et
des
traire
v

ari


de
et
k


es
sans
de
d
dimension
les
3
et
Christine
ici
Lescop
1

t
15
ure
septem
un
bre
elons
1997
v
R
(

compacte
esum
pr

.
e
nous
Ce
ou
texte
etes
pr
des

des
esen
que
te
La
quelques
est
mani
our

il
eres
la
de

visualiser
exp
les
p
v
tier
ari
nous

ari
et
e


es
top
de
hom
dimension

3,
table
puis
ord
in
ecision
tro
dimension
duit
ec
bri
eition

ult
ev
nous
emen
ons
t
compl
ln
sans
v

arian
ari
t
es
de
v
Casson

in
app
v
t
arian
v
t

r
cercle

et
ecen
haque
t
g
de
a
ces
surface
v

ari
g

sur
et
1

os
es
e
et
our
quelques
en
tra
naturel
v
,
aux
app
de
k
luteur

sur

cet
une
in
ari
v
et
arian
e
t
ologique
Motslefs
a
top

ologie
pr
en
es
dimension
orien
3,
connexe
v
b
ari
auf


et
con

de
es
k
de
Av
dimension
cette
3,

scindemen
que
ts
expliciterons
de

Heegaard
t
c
p
hirurgie
v
in
donner
v
listes
arian

t
et
de
r
Casson
ep
Keyw
etition
ords
v
dimensional

top

ology
et
,
2-
manifolds
ari
Heegaard
et
splittings
es
surgery
nous
,
elons
Casson
simplemen
in
surfaces
v
seule
arian
ari
t
et
A
e
sub
le
ject
S
classiation
,
N
p
M
c
1
en
In
naturel
tro
,
duction
y
aux
exactemen
v
une
ari
:

surface
et
g

genre
es
dessin
de
ee
dimension
la
3
2.
Dans
cet
S
+
1
2

ti
0

=
b
S
2
2


v
1
=
=
g
S
2
1
4

ords
S
F
1
Av
Fig
de
1
ef
{
R
S
x
1
2
,
3
la
3
sph
j

B
er
0
e
4
S
son
2
un
=
v

arian
0
donner
et
examinons
le
et
tor

e
ee
S
de
1
3

;
S
4
1
2
=
2

eut
1

x
de
1
x
x
)
2
+
x

g
f
Fig
j
2
3
{
S
L
don
a

surfac
es
e

de
Ceci
genr
2
e

g
ln
P
de
our
t
les
constructions
v

ari
exemples

ari
et
es


es
pr
le
er
probl
la

S
eme
3
de
:
la
f
classiation
x
nst
2
pas
;
r
j

+
esolu
+
cst
+

=
aire
On
que
oir
nous
la
ne
de
connaissons
B
pas
3,
de
f
telle
;
liste
x
et
R
le
2
principal
2
but
2
de
g
la
+
top
2
ologie
S
de
4
dimension
et
3
f
est
4
dn
j
fournir
0
une
les
Nous

disp
S
osons
recoll
p
aire
our
es
cela
lutre
de

plusieurs
CNRS
mani
MR

des
eres
ari
de
et
repr
es

v
esen
t
ter
Casson
les
an
3-
de
v
des
ari
g

en
et
erales

quelques
es
naturels
nous
v
allons

d


Notre
ecrire
ari
deux
et
dn
e
tre

elles

les

scindemen
sera
ts
sph
de
ere
Heegaard
3
et
dimension
les
de
c
4
hirurgies
S
Nous
=
disp
x
osons
(
aussi
1
dn
x
v
;
arian
3
ts
x
fonctions
)
des
x
v
1
ari
x

2
et
x

3
es
x
dans
4
des
1
ensem
:
bles
p
mieux
v
conn
S
us
comme
elles
r
le
eunion
genre
deux
p
oules
our
3
les
dimension
surfaces
B
qui
=
nous
(
p
1
ermetten
x
t
;
souv
3
en
2
t
3
de
x
distinguer
1
des
x
v
2
ari
x

3
et
1

,
es
3
di
=

x
eren
R
tes
\
Nous
3
applique
x
rons

nos
g
deux
B
repr
=

x
esen
R
tations
\
des
3
v
x
ari


g
et
t

b
es
hom

eomorphes
a
a
deux
2
constructions
t
distinctes

dn
cst
m
iden
^

eme
ln
in
a
v
par
arian
hom
t
eomorphisme
top

ologique
Institut
r
ourier

5582)
ecen
tt
s
ts

=
ecrit
b
S
genr
3
ositiv
=
g
B
est
3
.
+
3
[
le
S
lcosa
2
et
B

3
ln
:
b
S
ure
3
{
est
ositiv
aussi
t
le
S
compacti
isom


e

dlexandro
3
de
c
lspace
v
am

bian
par
t
la
R
a
3
en
,
le
S
explique
3
x
=
orps
R
etries
3
de
[
le
f
O
p
5
oin
(3)
t
e

etries
a
qui
lni
en
g
edre
comme
2
nous
Heegaard
le
ari
mon
es
tre

par
est
exemple

l
H

b
equation

B
g
3
oit
n
2.
f
u
p
de
oin
B
t
a
0
anses
g
tre
=
ce
S
terminologie
2
x

Fig
]0
e
;
anses
1]
g
=
p
S
es
2
R

et
[1
quotien
;
S
1
(3)
[.
A
Ici
de
comme
O
dans
par
tout
sousroup
lxp
des
os


p
e
es
nous
pr
regardons
eserv
les
t
v

ari
r

egulier
et
Scindemen

de
es
des

-v
a

hom


Un
eomorphisme
orps
pr
a

anses
es
la
et
ari
le
et
signe
e
=
g
signi
a
hom
ord

ord
eomorphe
ee
Men

tionnons
que
aussi
v

sur
a
ure
titre
Il
dxemples
obten
les

v
partir
ari
la

oule
et
3

lui
es
joutan
pro
g
duits
comme

mon
g
la

3,
S
qui
1
la
,
.
le
.
group
1
e
g
de
3
Lie
L
S
c
O
en
(3)
de
des
e
isom
3
ord
F
bigu
ait
courb
2.1
aire
T
M
oute
sph
3
ari
ari
eomorphe

(
et
est

la
e
e
M
b
s
dehors

1
ecrit
ord
M
t
=
ce
H
du
(1)
suiv
g
disjoin
[
ue

3
(1)
hom
g
exemple
h
su
!
M

3
(2)

g
2
H
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(2)
b
g
qui
o
form

;
u
un
H
caract
(1)
x
g
satisfaire
et
yst
H
dans
(2)

g
et
sont
our
deux
la
c
c
opies
M
de

H
e
g
ouc
et
d
h
que
d
es

hom
esigne

un
B
hom
un

n
eomophisme
n
qui
1
identi
2
le
eomorphisme
b
la
or
1
d
B
@
t
H
b
(1)
tx
g
our
=
2

de
(1)
de
g
allons
de
syst
H
des
(1)
hom
g
syst
au
la
b
2.2
or
une
d
ees

deux
(2)
s
g
ouc
de
ari
H
e
(2)
a
g
ord
.
ere
Ces
oule
d
Ce

ed
ecomp

ositions

des
eomorphisme
v
sans
ari
t

trons
et
le

par
es
est
in
ei
tro
v
duites
deux
par
et
Heegaard
1

son
a
eomorphes
la
ln
n

du
b
dixeuvi
,

il
eme

si
M

B
ecle
M
son
B
t
alors
app
hom
el
a

Or
ees
hom
scindements
du
de
2
He

e
B
gaar
le
d
2
.
2
Les
prolonge
remarques
a
qui
erieur
suiv
par
en

t
=
nous
)
aideron
2
t
;

2
a
p
les

dessiner

Remarquons
1
db
.
ord
tenan
que
eriser
la
emes
connaissance

compl


par
ete
eomorphisme
de
qun
lom
eme

conditions
eomorphisme

h
te
nst

pas
eme
n
de

ferm
ecessaire


g
a
a
la
qui
reconstruction
epare
de
.
la
her
v
v
ari



et
obten

qui
e
p
M
b
.
une
Il

su
par
de
b
conna
B
^
.
re
pro
les

courb

es
d
images
eit
des
oujours
m
a


eridiens
pr
f
es
x
am
(2)

i

g
Mon
i
par
=1
que
;:::
reb
;g
hage
de
une
H
oule
(2)
bien
g

par
Il
lom
de

oir
eomorphisme
si
h
v
1

,

h
M
1
et
(
2
x
t
(2)

i
en
)
de
=
t
y
erieur
i
B
.
dne
En
oule
et
3
on
cst
reconstruit
si
M
existe
comme
hom
suit
eomorphisme
M
de
=
1


H
3
(1)
dans
g
2
[

y
3
i
,

M
I
est
(

[

g
M
i
.
=1

D
un
y

i


b
I
S
)
de

premi
[
ere
S
oule
2
3
B
dans
3
b
Cst
S
aire
de
que
3
ln
,
obtien
se
t
naturellemen
M

en
ln
collan

t
des
db
oules
ord
la

ule
a
(
H
)
(1)
t
g
x
c
p
haque
t
cylindre
[0
D
1]
y
x
i
S

,
I
qui
pro
ermet
duit
prolonger
dn
en
disque
hom
D
eomorphisme
y
M
i
dans
de
2
b
Nous
ord
main
y
t
i

par
les
ln

terv
images
alle
syst
I
eme
le
m
long
eridiens
dn
i
v
un
oisinage

ann
Il
ulaire
clair
y
tel
i


doit
I
les
de
de
y
d
i
eition
sur
an

Deition
(1)
Un
g
g
.

Apr
est

famille
es
g
ce
es
premier

collage
plong
des
ees
anses

de
,
H

(2)
deux
g
tes
,
ne
il

reste
pas

g
a
4
rebes
La
u
r
de

la
ecipro
P
que
3
est
[P1
aussi
disque
vraie
La
t
notations
facile
une

te
a
ord
v

oir
en

er
a
g
partir
de
de
A
la
comme
classiation
Une
des
a
surfaces
eir
et
v
dne
)
caract
a

ait
erisation
an
alg
v

5
ebrique
our
du
le
genre
ce
par

exemple
tre

sph
a
S
lide
appara
de
dans
la
sph
caract
de

e
eristique
et
duler
eme
p
eut
our
ere
tout
ere


g
t
yst
surface

P
eme

f
sph
y
t
i
S
g
ce
i
ure
=1

;:::
une
;g
sur
,
su
il
de
existe
(1)
un
des
hom
i

transforme
eomorphisme
un
h
g
de
5

scindemen
g
de
tel
ere
que

h
(3)
(
telle
x
t
i

)
g.
=
exemple
y
ere
i
3
.
3
Ainsi

on
gie
p
ari
eut
e
v
m
oir
que
toute
on
v
d
ari
mani

equiv
et
sph

comme
e

comme
o
un
nd

S
g
orde
yst
a


eme

y
ait
dessin
en

qune
e
ere
sur

un
etre
corps

en
a
anses
de
La
trexemple
ure
de
4
Il
nous
alors
mon
sa
tre
t
quelques

scindemen
ter
ts
un
de
Il
Heegaard
p
de
cela
la
coup
sph


g
ere
long
S
courb
3
x
.
,
Notons
qui
que

la
en
sph
disque

a
ere
trous
S
ure
3
mon
est
un
la
t
seule
Heegaard
v
la
ari


de
et
oincar

e
e
O
qui
=
admet
5
un
qulle
scindemen
^
t
ux
de
pr
Heegaard
es
de
[P2,
genre
4]
0.
un
Le
de
genr

e
domologie
dn
dimension
scindement
distincte
de
S
He
.
e
sph
gaar
er
d
domolo
est
est
bien
v
s

^

ur
qui
celui
la
de
^
la
homologie
surface
S
comm
,
une
p
aux
aussi
deux

corps
de
en

anses

y
alen
1
une
x

1
domologie
x
une
1
ari
x
et
2
e
y

1
tout
y
longemen
2
de
x
1
1
b
x
une
2
(
x
b
g
plong
y
ee
2
oincar
y
e
g
v
y
conjectur
1
e
Fig
1900
4
]
{
telle
Quelques

scindements
dev
de
n
He
ecessairemen
e
^
gaar
hom
d
eomorphe
de
a
la
3
sph
v

t
er
publier
e
con
S
sous
3
forme
Le
la

5.
g
a
yst
ait

transform
eme
e
p
question
eut
demandan
aussi
si
se
sph
repr
ere

esende
b
le
c
a
d

x
3
2
ords
y
dimension
1
qui
y
eie
1
de
y
surface
2
dn
y
oir
2
ts
y
il
2
en
e
M
a
d
a
3
b
que
c

d
que
x
ainsi
1
connexe
x
3
1
la
x
ouv
2
v
e
t
1

1
dn
2
lutre
3

4
2
4
M
5
M
6
M
5
de
6

7
enlev
7
v
3
ees
2
selon
Fig
iden
5
La
{

L
Heegaard
a
t
sph
genre

on
er
ebre
e
ologie
de
elle
Poinc
Deux
ar
Heegaard


e
M
r
isomorphes
epr
un

de
esent
la

demen
ee
surface
p
somme
ar
v
un

scindement
et
de
d
He
suit
e
]M
gaar
ef
d
n
de
S
genr
n
e
somme
2
scindemen
domotopie
est
dev
de
ait
b
n
ee

hacune
ecessairemen

t
scind
^
e
etre
scindemen
hom
disque

recollemen
eomorphe
les

deux
a
connexe
S
t
3
Une
ne
t
v
la
ari
ce

v
et
t

de
e
Graphiquemen
M
eut
est
stabilisation
une
de
sph
top

de
er
3,
e
reste
domotopie
erte
si
scindemen
et
de
seulemen
dne
t
ari
si
et
elle
e
v
son

dits
eri
si
lne
existe
des
hom
trois
eomorphisme
conditions
M

transforme
equiv
surface
alen
scin
tes
t
suiv
la
an
de
tes
La
tous
connexe
les
deux
group
ari
es
et
domotopie
es
de
1
M
M
son
est
t


comme
egaux
:

1
a
2
ceux

de
=
S
1
3
B
,
[

2
1
2
(
B
M
La
)
connexe
=
deux
1,
ts
ou
Heegaard
tout
d
plongemen
eie
t
sorte
de
la
S
oule
1

dans

M
c
s
des

ari
etend
et
en
es
une

application
coup
con
la
tin
du
ue
t
du
un
disque
et
dans
le
M
t
-.
ti
Cette
b
question
des
conn
disques
ue
somme
sous
est
le
naturellemen
nom
scind
de
ee
c
stabilisation
onje
scindemen
ctur
de
e
est
de
somme
Poinc
de
ar
scindemen

a
e
ec
est
scindemen
sans
de
doute
1
la
S
question
.
la
t
plus
p
c
v

une
el
6
M
comme
classe
lp
une


eration

qui
i
p

ermet
si
de

passer
:
du
ou
premier
sur
scindemen
s
t
ec
de

S
p
2
es

cst
S
tiques
1

au
di
deuxi
,

j
eme
j
sur

la
v
ure
tiations
6.
est
y
consid
1
R
y
i
1
,
x
ari
1

x
eomorphisme
2
v
y
eomorphes
2
=
x
,
1
top
Fig

6
de
{

Deux
c
scindements
I
de
i
He
U
e
di
gaar
La
d
classe
de
en
S

2
gr

ces
S
o
1
et
Th
C

ees
eor
pr

t
eme
j
2.3
en
eidemeisteringer
j
(1933))

Deux

scindements
et
de
t
He

e
hom
gaar

d
que
dne

m
hom
^
t
eme
our
vari
;

;
et
v


e
M
deviennent
de
isomorphes

apr
er

C
es

un
C
nombr
p
e
paire
i
g
de
lpplication
stabilisations



el
i

\
ementair
est
es
eomorphisme
Lxistence
r
des
dpplication
scindemen
tiable
ts
s
de
r
Heegaard
deux
et

ce
se
th
naturellemen

aux
eor
cales

a
eme
espaces
fournissen
u
t
conn
bien
v
s

^
son
ur
er
une
a
d
C

es
eition
est
des
e
v
applications
ari



et
lrien

f
es

mais
v
il

est
dite
temps
.
de

justir

ce
son
qui
consid
p
er
our
ees
lnstan
a
t

ressem
pr
ble
es
trop
aire

deux
a
ari
des
et
abus
es
de

langage
son
par
iden
un
P
v
r

1
eritable
:
th
:

1
eor
la

ari
eme
et
de
e
structure
ologique
des
a
v
structure
ari
vari

et
et
e


es
entiable
3
classe
D
r

vari
eition
et
des
e
v
r
ari
si

our
et
haque

f
es
j
Ici

une
,
v

ari


1
et
d

eie
e

top
(
olo
i
gique
U
M
)
de
un
dimension

n
de
est
C
un
.
espace
notion
top
di
ologique
eren
s
de

C
epar
,


e
,
recouv
tre
ert
telles
par
ari
une
et
r
es

d
eunion
eit
d
t

ace
enom
iden
brable
lo
duv
de
erts
espaces
U
v
i
des
(
euclidiens
i

2
elle
I
bien
)
ue
,
les
o
ari

et
u
es
c
r
haque
t
U

i

est

iden
di
ti
eomorphisme

r
e

par
Si
un
n
hom
orien


eomorphisme
et

les
i

:

U
1
i
pr
!
eserv
V
t
i
tation

our
a
i
un
g
ouv
I
ert
la
V
ari
i
et
de
e
R
est
n
orient
.
ee
Les
7
vd
On
sur
p
ari
eut
et
aussi
d
d
Whitney

e
eir
de
les
v
v
Reidemeister
ari
raphe

la
et
e

la
es
Theorem
PL
la
ou
coller
lin
th

Morse
eaires
et
par
u
morceaux

de
a
di
la
mension
C
3

comme
en
suit
cat
Un
ind
simplexe
prouv
de
la
dimension
enonc
n
nos
est
top
ln
de
v
fournit
elopp
l
e
t
con
au
v
enmann
exe
un
de
un
(n+1)
et
p
v
oin
1934,
ts

aemen
C
t
PL
ind


a
ep
I
endan
en
ts
mon
dans
equiv
R
top
n
Le
,

par
t
exemple
h
un
1960
sim
ec
plexe
C
de
top
dimension
p
3
la
est
et
un
dtiliser
t
eren

la
etra
les

Morsemale
edre
facilemen
App
de
elons
lspace
triangulation
]
dn
eor
espace
une
top
des
ologique

X
qune
un
e
recouvremen
Heegaard
t
corps
d


des
enom
la
brable
du
lo
hi
calemen
1936.
t
a
i
la
de
he
X

par
v
des

k
dne
implexes
v
k


,
n
tr
tel
,
que
I
(1)
surjectiv
toute
Mo
face
]
dn

de
l
ses
en
simplexes

est
et
encore
egorie
un
a
de
e
ses

simplexes
ep
et
Munkres
(2)
et
deux
on
quelconques
e
de

ses

simplexes
naturelle
qui

se
v
rencon

tren
Cet
t
e
se
de
rencon
ecrire
tren
ologie
t
ari
exactemen
es
t
lisser
le
outils
long
di
dn
comme
de
tubulaires
ses

simplexes
p
Une
etudier
sub
eorie
division
exemple
T

0
lxistence
dne
ecomp
triangulation
tandis
T
etude
de
fonctions
X
Cerf
est
traine
une
th
triangulation
eme
de
don
X

telle
y
que
a
c
e
haque
par
simplexe
].
de
dne
T
et
0
duit
est
t
inclus
o
dans
des
un
anses
simplexe
oisinage
de
du
T

.
^
Deux
sommets
triangulations
8
de
ecoule
X
tra
son
ail
t
de

en
equivalentes
En
si
Cairns
elles
]
on
fourni
t

des
ec
sub
de
divisions
cat
isomorphes
egorie
Une
1
vari
ers

cat
et
egorie

lxistence
e
triangulation
PL
les
est
ari
une
et
v
es
ari
1

il
et
mon


e
a
top
Theorem
ologique
I
m
qulle
unie
etait
dne
e
classe
1940.
d


o
equiv
a
alence
tr
de
e
triangula
1952
tions

Le
alence
th
tre

cat
eor
egorie

ologique
eme
la
suiv

an
PL
t
diagramme
assure

que

p
compl
our
et
les
e
v

ari
endammen

par
et
u

6.3]
es
Whitehead
toutes
qui
ces
t
notions

co
en

lnjectivit
ciden
e
t
la
Th


he
eor
de

cat
eme
egorie
3.1
1
L
ers
es
cat
c
egorie
at
ologique


egories

des
nous
vari
ermet

ne
et


que
es
top
top
de
olo
v
giques

C

i
de
et
sans
PL
et
sont
des
iden
de
tiques
ologie
en

dimension
tielle
3.
les
Cet
oisinages

ou
enonc
th

eorie
e
Morse
en
our
traine

par
La
exemple

que
de
toute
par
v
nous
ari
tr

es
et
t

des
e

top
ositions
ologique
Heegaard
a
que
une

unique
de
structure
des
C
de
1
de
.
erf
Il
en
con
directemen
tien
le
t

plusieurs

th
de

Singer
eor
t

d
emes
emonstration
dus
mo

en
a
triangulations
di



eren
donn
ts
ee
auteurs
Sieb
(v
[S
oir
Remarquons
u
triangulation
]).
v
L



equiv
pro
alence
aussi
en
scindemen
tre
de
les
naturel
cat


ln
egories
deux
C
en
i
est
;
v
i
r
=
egulier
1
squelette
;
form
2
e
;
ar
:
etes
:
des
:
de
;
triangulation
1
d

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