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Quelques resultats de convergence (ou pas) du BFN
pour des equations de transport avec viscosite
Maelle Nodet
Universite de Grenoble / INRIA
Reunion LEFE BFN
Villefranche, septembre 2009
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 1 / 14Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 2 / 14Transport lineaire visqueux
Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 3 / 14Transport lineaire visqueux
BFN pour le transport lineaire visqueux
Algorithme du BFN :
8
@ u @ u + a(x)@ u = K (u u )< t xx x obs
(F ) uj = uj = 0x=0 x=1:
uj = ut=0 0
(1)8
0@ ue @ ue + a(x)@ ue = K (ue u )< t xx x obs
(B) uej = uej = 0x=0 x=1:
euj = u(T )t=T
avec
092R tel que K (t; x) =K (t; x)+
est constante
u solution de l’equation directe (F ) sans nudgingobs
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 4 / 14Transport lineaire visqueux
0Cas 1 : K et K constants
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . On noteobs
w(t) = u(t) u (t)obs (2)
e ew(t) = u(t) u (t)obs
Alors si K (t; x) = K , on a pour tout t2 [0; T ] :
0( K K )(T t)we(t) = e w(t) (3)
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 5 / 14Transport lineaire visqueux
0Cas 2 : K et K dependants de x
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . Siobs
K (t; x) = K (x), avec Support (K ) [a; b] ou a< b et a = 0 ou b = 1,
ealors l’equation (1) est mal posee : il n’existe pas de solution (u; u), en
general.
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 6 / 1466Transport lineaire visqueux
0Cas 3 : K et K dependants de t
Theoreme
On considere une etape du BFN (1) avec des observations u . On noteobs
w(t) = u(t) u (t)obs (4)
we(t) = ue(t) u (t)obs
Si K (t; x) = K (t) avec 0 t < t T , alors on a[t ;t ] 1 21 2
0( K K )(t t )2 1we(0) = e w(t) (5)
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 7 / 141Burgers visqueux
Plan de l’expose
1 Transport lineaire visqueux
Cas 1 : K constant
Cas 2 : K(x)
Cas 3 : K(t)
2 Burgers visqueux
3 Idees des preuves dans le cas lineaire
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 8 / 14Burgers visqueux
Burgers
Algorithme du BFN :
8
@ u @ u + u@ u = K (u u )< t xx x obs
(F ) uj = uj = 0x=0 x=1:
uj = ut=0 0
(6)8
0@ ue @ ue + ue@ ue = K (ue u )< t xx x obs
(B) uej = uej = 0x=0 x=1
:
uej = u(T )t=T
Les observations u veri ent l’equation de Burgers’ directe sans nudging :obs
8
@ u @ u + u @ u = 0< t obs xx obs obs x obs
uj = uj = 0 (7)x=0 x=1: 0uj = ut=0 obs
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 9 / 14Burgers visqueux
Resultat (negatif) pour Burgers visqueux
Theoreme
L’etape du BFN (6) pour l’equation de Burgers visqueuse, avec des
observations u veri ant (7), est mal posee, m^eme dans le cas ou K (t; x)obs
est constant : il n’existe pas, en general, de solution (u; ue).
Maelle Nodet (Grenoble) BFN - Resultats theoriques Reunion LEFE septembre 09 10 / 14