Quelques resultats mathematiques sur un systeme hyperbolique modelisant la chromatographie en phase gazeuse avec prise en

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Quelques resultats mathematiques sur un systeme hyperbolique modelisant la chromatographie en phase gazeuse avec prise en compte de l'effet de sorption Christian BOURDARIAS, LAMA, Universite de Savoie Marguerite GISCLON, LAMA, Universite de Savoie Stephane JUNCA, Labo J.A.D., Universite de Nice. 1 Introduction On examine un modele utilise pour la separation de composants gazeux par adsorption isotherme selective sur un substrat solide dans le domaine de la chromatographie, avec cinetique instantanee. L'effet de sorp- tion (variations de vitesse liees au processus) est pris en compte via une contrainte de pression totale et la cinetique d'echange entre phases est supposee instantanee, [4]. Le systeme est de type hyperbolique a condition d'echanger les roles de l'espace (en une dimension) et du temps. Dans le cas de deux composes on obtient un systeme strictement hyperbolique 2?2 avec donnees initiales et au bord, de le forme suivante, dans le quadrant t > 0, x > 0: ? ???? ???? ∂u ∂x + ∂h(c) ∂t = 0 ∂(u c) ∂x + ∂I(c) ∂t = 0 ? ??? ??? c(0, x) = c0(x) ? [0, 1], x > 0 c(t, 0) = cb(t) ? [0, 1], t > 0 u(t, 0) = ub(t) > 0, t > 0, u designe la vitesse et

  • isotherme de langmuir

  • separation de composants gazeux par adsorption isotherme

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  • c?


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Quelquesr´esultatsmath´ematiquessurunsyst`emehyperbolique mode´lisantlachromatographieenphasegazeuseavecpriseen compte de l’effet de sorption Christian BOURDARIASde´tvaSevinUisre,LAMA,eoi Marguerite GISCLONvire,AnUL,MAeavoiedeSsit´ St´ephaneJUNCAde´eceNi.obaL,itrsveni,UD.A.J.
1
Introduction
Onexamineunmod`eleutilis´epourlas´eparationdecomposantsgazeuxparadsorptionisothermes´elective surunsubstratsolidedansledomainedelachromatographie,aveccine´tiqueinstantan´ee.Leetdesorp-tion(variationsdevitesseli´eesauprocessus)estprisencompteviaunecontraintedepressiontotaleet lacin´etiquede´changeentrephasesestsuppose´einstantan´ee,[4].Lesyst´emeestdetypehyperboliquea` conditiond´echangerlesroˆlesdelespace(enunedimension)etdutemps.
Danslecasdedeuxcompose´sonobtientunsyste`mestrictementhyperbolique2×´nnodcevitiniseeales2a et au bord, de le forme suivante, dans le quadrantt >0, x >0: ∂u ∂h(c) c(0, x) =c0(x)[0,1]>, x 0 + = 0  ∂x ∂t c(t,0) =cb(t)[0,1]>, t 0 (u c)∂I(c) + = 0u(t,0) =ub(t)>0>, t 0, ∂x ∂t ussteteeengiivalse´dctescdreiRtileemssi´nev.aOrnida´neutcsnmoopnratetnatotiudoncolaennc lesentropies,on´evoquequelquesre´sultatsr´ecentssurcesyste`mehyperboliquenonlin´eaire: existences de solutions entropiques avec vitesseLet concentrationsBV,[2, 3],
2
udcsneecdaGe´hmeov,[odun,2,3]oncrgve
stserutcure´itartitaveledpp,aseesfetilbialedemilapaauagsscaliontiartneettesseentesurlavi la limite forte sur la concentration dans le tube, [5], ∞ ∞ Exemple d’explosion de la vitesse dansLeen´nsdaevanodcLpour la concentration, [6],
udnaioatpplove´eeuqite´ncilppateeriqnum´7].ue,[dtumenee´amsnhcformulationci
Lemod`ele
Pourunediscussionplusde´taill´eesurlemode`le,onrenvoita`[4].LaChromatographie gaz-solide estunetechniquedanalysedesme´langesgazeux.
Lem´elangeanalys´eestvaporise´a`lentr´eedunecolonne,quirenfermeunesubstanceactivesolideap-pel´eephasestationnaire,puisilesttransporte´a`traverscelle-ci`alaidedungazporteur.
Lesdi´erentesmole´culesdume´langevontses´epareretsortirdelacolonnelesunsapre`slesautreset apre`suncertainlapsdetempsquiestfonctiondelanit´edelaphasestationnaireaveccesmole´cules.source: (Wikipedia) Les´equationsdeconservationdelamassesont:
t(ci+qi) +x(u ci) = 0,
Lesqiet lesciostnendne´apistsanndpe:
1id.
q=q( i ic1,∙ ∙ ∙, cd)
eme qest laidie´aritetedocsneosduyrneasm.iquoenssotuhdeermmr´e:ulesotisrmhe i 3 Les inconnues sont donc la vitesseu, les concentrations en phase gazeuseci(en moles/m ) ula chromatographie liquide, voir les travaux de F. James & co,est une inconnue contrairement [13, 16, 17].
Voici quelques exemples d’isothermes: re : q Isothermeline´aii=Kici,avecKi0 QiKici Isotherme de Langmuir : q=,avecKi0, Qi>0 i d X 1+Kjcj j=1 Isotherme BET :pour un seul gaz actif et un gaz inerte porteur
Q K c1 q=, i (1 +K c1(c1/cs))(1(c1/cs))
Q >0, K >0, cs>0,
On se concentre sur le cas dedeux composants, avecρuqec(1aptsenireesr`stifctriste)txIR+:
t(c1+q11, c2 (c)) +x(u c1) (c+qc t22(1, c2)) +x(u c2)
= =
0, 0,
Deplusladensite´totaleρaesnded´ependpxOn prenddans le processus. ρ1 pour simplifier.
c1+c2
=
ρ= 1
On pose alorsc=c( 1etqi(c) =qic,1c), i= 1,2. (1) + (2) donne alors, avec (3): t(q1(c) +q2(c)) +xu= 0 dq1dq2 0 0 N.B.:lesproprie´te´sclassiquesdesisothermesinduisent:q=0 etq=0 1 2 dc dc Finalement,lesyste`mese´crit: ( t(c+q1(c)) +x(u c) = 0, th(c) +xu= 0,
avech(c) =q1(c) +q2(cet:srtna)c,molprape´te´´nnodsedtinisieeenetesal c(0, x) =c0(x)[0,1]>, x 0, c(t,0) =cb(t)[0,1]>, t 0, u(t,0) =ub(t)>0>, t 0.
3
Hyperbolicit´edusyst`eme
(1) (2)
(3)
Lanalysedusyst`emeestfaiteeninversantlesvariablesxett:]9(noenamsinemoelrss)dmepaes[1apr` ( x(u c) +t(c+q1(c)) = 0, xu+th(c) = 0,
H(c) 0 0 Les valeurs propres sont0etλ=avecH(c) = 1 + (1c)qc q1 1 2 u Lesyst`emeeststrictementhyperboliquepouru >De plus :0,[14, 20].
avecrec:vurteopprasreosice´a`λet
H(c) 00 r=f(c) 2 u
f(c) =q1(c)c h(c)=q1c2q2c1
2
λqureai´eedanemiarvtsnilnontnf6= 0.
Donnonsquelquesremarquessurlaconvexit´edefdtesscnohtosemre,sidee´tdeaeirlin´enonvraiurla la valeur propreλ.
00(Q2K2Q1K1)(1+K1)(1+K2) Isotherme de Langmuir :f(c) = 23a un signe constant. (1+K1c+K2(1c))
Isotherme BET :a,olreetsrppusnoomecelosine2s´pof(c) = (1c)q1(c) n’est ni concave ni convexe
Apartcertainscasimportants:Langmuir,ammoniaque,vapeurdeau,lesisothermessontge´n´eralement non convexes Interpre´tationchimique:epoihaquinentd`capoomecelordseas´lednoixmrehtosi´bceuorvlee substratetunenouvellecouchecommencea`sexer
3.1 Invariants de Riemann Descalculssurlessolutionsr`eguli`eres,[2],montrentque
x(u G(c)) = 0(4) H(c) xc+tc= 0,(5) u 0 h(c) 0 avecg(c) = ,G= exp(gme`tsyseodtemdaenvsilencsdntiaaramnnRLe.e)i: H(c) g(c) cetW=u G(c) =u e. Unautree´crituredelinvariantdeRiemannWatimstsedeirenbtsnoiseptraitucile`rementutilepouro sur infuet surudansBVl’invariant de Riemann. C’est w= ln(W) = ln(u) +g(c).
3.2 Entropies Ilexisteunefamilledentropiesre´gulie`resdonn´eespar[3]:
S(c, u) =φ(W) +u ψ(c),
φetψioctr´nsdentonsfossete`iregeluW=u G(c). Les flux d’entropie correspondants satisfont
0 0 0 Q(c) =h(c)ψ(c) +H(c)ψ(c)
Pourtoutefonctionr´eguli`ereconvexeψ,S=u ψ(c) est convexe, mais non strictement convexe !
00 Il y a des entropies strictement convexes de la formeS=φ(W) si et seulement siGne s’annule pas sur [0,1], voir [3].
α α En particulierSα(c, u) :=u G(c) est une entropie croissante enWet strictement convexe siα >1 et 00 00 G >0, ouα <1 etG <0.
00 En fait : siGchange de signe, il n’y a pas d’entropie strictement convexe.
Onpeutmaintenantde´nirlessolutionsfaiblesentropiques.
De´nition3.1[Solutionsfaiblesentropiques] SoientT >0,X >0,
uL((0, T)×(0, X))et0c(t, x)1p.p. dans(0, T)×(0, X)
(c, u)est une solution entropique si pour toute fonction convexeψ:
3
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