QUEUE DE POISSON AU PÉAGE

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QUEUE DE POISSON AU PÉAGE Objectif Appliquer l'Analyse (équations fonctionnelles) aux Probabilités Notions utilisées Continuité. Dérivabilité. Fonctions exponentielles. Des véhicules se présentent à un poste de péage de façon aléatoire. Déterminer la loi de probabilité qui donne le nombre de véhicules se présentant au péage pendant un laps de temps donné. Pour tout couple (u ; v) de réels positifs, tels que u ≤ v, on note la variable aléatoire égale au nombre de véhicules se présentant au péage entre les instants [ ];u vX u et v. On fait les hypothèses suivantes, qui paraissent correspondre à la réalité : 1. La loi de ne dépend que de la longueur de l'intervalle de temps [ ];u vX [u ; v] ; autrement dit, pour tout entier naturel n, il existe une fonction pn définie sur [ 0 ; + ∞ [, à valeurs dans [ 0 ; 1], telle que : . [ ]( ); ( )nu vP X n p v u= = ? 2. La probabilité d'arrivée d'un véhicule ou plus dans un intervalle de temps de durée nulle est elle- même nulle, soit encore : pour tout entier non nul n, pn(0) = 0, et p0(0) = 1 ; en revanche, la probabilité qu'il n'arrive aucun véhicule pendant une unité de temps n'est pas nulle : p0(1) ≠ 0.

  • poste de péage de façon aléatoire

  • variable aléatoire

  • variables aléatoires concernant des intervalles de temps disjoints

  • entiers supérieurs

  • longueur de l'intervalle de temps

  • queue de poisson au péage

  • nature de la loi


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : mathematiques.ac-bordeaux.fr
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QUEUE DEPOISSON AU PÉAGEAppliquer l'Analyse (équations fonctionnelles) aux Probabilités Objectif Continuité. Dérivabilité. Fonctions exponentielles. Notions utilisées Des véhicules se présentent à un poste de péage de façon aléatoire. Déterminer la loi de probabilité qui donne le nombre de véhicules se présentant au péage pendant un laps de temps donné. Pour tout couple (u;v) de réels positifs, tels queuv, on noteX lavariable aléatoire égale au [u;v] nombre de véhicules se présentant au péage entre les instantsu etv. On fait les hypothèses suivantes, qui paraissent correspondre à la réalité : 1. Laloi deXne dépend que de la longueur de l'intervalle de temps[u;v]; autrement dit, pour [u;v] tout entier natureln, il existe une fonctionpsur définie[0;+[, à valeurs dans[ 0 ; 1], telleque : n P X=n=p(vu). ([u;v])n 2. Laprobabilité d'arrivée d'un véhicule ou plus dans un intervalle de temps de durée nulle est elle même nulle, soit encore : pour tout entier non nuln,p(0)=0, etp(0)=1; en revanche, la probabilité n0 qu'il n'arrive aucun véhicule pendant une unité de temps n'est pas nulle :p(1)0. On notera :0 p(1)=a, aveca] 0 ; 1 ]. 0 3. Lesvariables aléatoiresXconcernant des intervalles de temps disjoints ou n'ayant qu'un instant [u;v] en commun sont indépendantes. Autrement dit, siuvu'v',XetXsont indépendantes [u;v] [u';v'] 4. Lorsquela longueur de l'intervalle de temps tend vers0, la probabilité d'arrivée de deux véhicules ou plus dans ce laps de temps est négligeable devant la probabilité d'arrivée d'un véhicule 1p(t)p(t) 0 1 exactement :lim=0. t0p(t) 1 A. Déterminationde la fonctionp 0 (p(t)=probabilité qu’il n'arrive aucun véhicule durant un intervalle de temps de duréet). 0 1. a. Démontrerque, pour tous réels positifstets,p(t+s)=p(t).p(s). (On pourra considérer les o oo intervalles de temps :[ 0;t]et[t;t+s]). k b. Endéduire que pour tout entier naturelk,p(k.t)=(p(t))0 0 1⎜ ⎟ ⎛ ⎞ 1kc. Démontrerque pour tout entier naturel non nulk,p=a. 0⎜ ⎟ k ⎝ ⎠ r d. Démontrerque, pour tout rationnel positifr,p(r)=a. 0
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+ 2. Démontrerque la fonctionpest décroissante surR. o t 3. Démontrerque pour tout réel positift,p(t)a. (On rappelle que, pour tout réelt, il existe deux 0 suites de nombres rationnels, l'une croissante, l'autre décroissante, qui convergent verst).
B. Déterminationde la fonctionp. 1 (p(t)=probabilité qu'il arrive exactement un véhicule durant un intervalle de temps de duréet). 1 1. Démontrerque pour tous réels positifstets:p(t s)=p(t)p(s)+p(s)p(t). 1 10 10 t 2. Onpose, pour tout réel positift,q(t)=p(t).a. 1 1 a. Démontrerqueq estpositive, et que, pour tous, réels positifst ets,q(t+s)=q(t)+q(s). 1 11 1 + Démontrer queqest croissante surR. 1 b. Onposeq(1)=C. Donner l'expression deq(t) en fonction deCet detsuccessivement pour 1 1 + + tQpuis pourtRen suivant une démarche analogue à celle de la partie A. + c. Endéduire l’expression dep(t) en fonction deCet detpourtR 1 3. Enutilisant la dernière hypothèse faite en préliminaire, déterminer la valeur deC. Donner alors l'expression dep(t). 1
C. Quelquespropriétés des fonctionsp n La fonction q1 a été définie dans la question B.2. On pose plus généralement, pour tout entier naturel t net tout réel positift:q(t)=p(t).a. n n 1. Soitnentier supérieur ou égal à 2. En utilisant la dernière hypothèse faite en préliminaire, un p(t) n démontrer que :lim=0. t0p(t) 1 p(t)q(t) n n En déduire quelim=lim0 ,=lim0 ,p(t)=0 etlimq(t)=0n n t0tt0tt0t0 2. Soitnun entier supérieur ou égal à 2. i=n a. Démontrerque pour tous réels positifstets:p(t+s)=p(t).p(s). n ni i i=0 n1 b. Endéduire que pour tous réels positifstets:q(t+s)=q(t)+(q(t).q(s)+q(s))n nni in i=1
D. Déterminationde la fonctionppournentier naturel n + On notegla fonction définie surRpar,g(t)=1. 0 0 n n +(lna) .t Pour tout entier naturel non nuln, on notegla fonction définie surRparg(t)=nn n! Pournentier naturel, on désigne par (E ) l'égalité des fonctionsqetg:q=g. n nn nn On souhaite démontrer par récurrence que l'égalité (E ) est vraie pour tout entier natureln. n 1. Démontrerqueq=get queq=g. 0 01 1 2. Soitnentier naturel supérieur ou égal à 2. On suppose dans cette question que l'égalité (E ) un k est vraie pour tous les entiersktels que0k(n– 1).
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a. Démontreralors que, pour tous réels positifstets: q(t+s)=q(t)+g(t+s)g(t)g(s)+q(s). n nn nn n (On pourra utiliser la formule du binôme de Newton). b. Endéduire queqest continue à droite en tout réel positift. n c. OnposeΦ=qg. Démontrer que, pour tous réels positifstets,Φ(t+s)=Φ(t)+Φ(s). n n d. OnposeΦ(1)=C. En suivant une méthode analogue à celles utilisées précédemment, déterminerΦ(t) en fonction detet deC, pourtnombre réel positif. e. DémontrerqueCest nul. En déduire queq=g. n n 3. Grâceaux questions précédentes, déterminer les fonctionsq, puisp, pournnaturel entier n n quelconque.
E. Naturede la loi suivie par les variables aléatoiresX [0;t] On dit qu'une variable aléatoireX, à valeurs dansN, suit la loi de Poisson de paramètreλsi, pour tout n λ −λ entier natureln,P(X=n)=e. n! Déduire de l'étude précédente que la variable aléatoireX, donnant le nombre de véhicules se [0;t] présentant au péage au cours d'une durée detsecondes, suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.
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