Random Planar Lattices and Integrated SuperBrownian Excursion

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Random Planar Lattices and Integrated SuperBrownian Excursion Philippe Chassaing, Gilles Schae?er ABSTRACT: In this extended abstract, a surprising connection is de- scribed between a specific brand of random lattices, namely planar quadrangula- tions, and Aldous' Integrated SuperBrownian Excursion (ISE). As a consequence, the radius rn of a random quadrangulation with n faces is shown to converge, up to scaling, to the width r = R ? L of the support of the one-dimensional ISE, or more precisely: n?1/4rn law?? (8/9)1/4 r. The combinatorial ingredients are an encoding by well labelled trees, reminiscent of the work of Cori and Vauquelin, and the conjugation of tree principle, used to relate the latter trees to embedded (discrete) plane trees in the sense of Aldous. From probability, we need a new result of independent interest, namely the weak convergence of the encoding of a random embedded plane tree by two contour walks (e(n), W (n)) to the Brownian snake description (e, W ) of ISE. 1 Introduction From a distant perspective, this article uncovers a surprising, and hopefully deep, relation between two famous models: random planar maps, as studied in combi- natorics and mathematical quantum physics, and Brownian snakes, as studied in probability and mathematical statistical physics.

  • planar maps

  • between planar

  • random planar

  • continuum limit

  • qn-valued random variable

  • trees

  • aldous' prescription

  • ise can

  • let ln


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : iecn.u-nancy.fr
Nombre de pages : 6
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ADE-4
Maps
Maps : Labels..............................................................................2
Maps : Neighbouring Relationship..........................................3
Maps : Values..............................................................................5
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Maps
p. 1
Maps : Labels
Dessin vectorisé sur fond de carte.
L’option assure le tracé d’une carte labellisée.
L’option utilise une seule fenêtre de dialogue :
Nom du fichier PICT de fond de carte (voir Digit
)
.
Nom du fichier binaire des coordonnées.
Nom du fichier texte des étiquettes.
Utiliser le dossier créé par la carte Irlande de la pile ADE-4•Data.
Cette option restitue le dessin à l’échelle du fond de cartes.
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Maps
p. 2
Maps : Neighbouring Relationship
Dessin vectorisé sur fond de carte.
L’option assure le tracé d’un graphe de voisinage.
L’option utilise une seule fenêtre de dialogue :
Nom du fichier PICT de fond de carte (voir Digit
)
.
Nom du fichier binaire des coordonnées.
Nom du fichier texte des étiquettes.
Nom du fichier .gpl donnat accès à un graphe de voisinage (voir NGUtil
)
.
Utiliser le dossier créé par la carte Irlande de la pile ADE-4•Data. Lire le graphe de
voisinage par NGUtil: Text->Graph :
Cette option restitue le dessin à l’échelle du fond de carte.
Il semble logique de faire avec cette figure un fond de carte qui exprimera la structure
spatiale des données de manière peu encombrante et efficace. Sauver la figure :
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Maps
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Ouvrir avec le grapheur, enlever la plupart des objets et sauvegarder en Pict : :
Vérifier la cohérence en reproduisant le graphe de voisinage sur lui-même :
Utiliser ce nouveau fond pour cartographier des données (Maps : Values) :
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Maps
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Maps : Values
Option de dessin vectorisé sur fond de carte.
L’option trace des cartes par valeurs.
L’option utilise une seule fenêtre de dialogue :
Nom du fichier PICT de fond de carte.
Nom du fichier binaire des coordonnées des points (voir Digit).
Nom du fichier des étiquettes des variables.
Nom du fichier binaire des données à cartographier (une carte par variable).
Option de transformation des données. Taper 1 pour obtenir la transformation
préliminaire des variables du type
z
z
-
min z
( 29
max z
( 29
-
min z
( 29
.
Option d’échelle commune des cartes. Taper 1 pour obtenir une échelle spécifique par
variable.
Utiliser le dossier créé par la carte Irlande de la pile ADE-4•Data. Cartographier les
variables :
Il vaut mieux normaliser les données :
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On peut cartographier les coordonnées :
La sélection de variable est active et la taille des cercles et des carrés est contrôlée par le
paramètre G :
Les valeurs positives sont représentées par des cercles noirs, les valeurs négatives par des
carrés blancs (les surfaces des objets sont proportionnelles aux valeurs absolues des
données traitées.
Comme toutes les options de cartographie on trouve les légendes des cartes dans une
fenêtre supplémentaire. Quand on utilise plusieurs fenêtres, elles sont numérotées Maps,
Maps - 2, Maps - 3, ... Quand on trace les cartes sur la fenêtre j, les légendes sont sur la
fenêtre j+1. Si on utilise la première fenêtre standard :
Si on refait un tracé sur la fenêtre 2, on trouvera les légendes sur la fenêtre 3, etc.
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