Rang des matrices

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Rang des matrices Dedou Octobre 2011

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Publié le : samedi 1 octobre 2011
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Rang des matrices
D´edou
Octobre 2011
Matricedunsyst`eme
Lerangdusyste`med´equations 8x+ 3y+ 5z= 1 2x+ 4y+ 7z= 2 ned´ependquedusyst`emedescoecients   8 3 5 2 4 7 qu’on appellematriceemiltse`udysire.n´ea Exo 1 Ecrivezlamatricedusyst`emeline´airesuivant: 2x+ 3y= 5 4x5y= 4 6x+ 7y= 7.
Syst`emehomog`eneassocie´a`unematrice
Inversement,toutematriceprovientdununiquesyste`melin´eaire homog`ene. Exemple Agaucheunematrice,eta`droitelesyst`emehomog`ene correspondant.   8 28x+ 2y= 0   2 4 2x+ 4y= 0 5 7 5x+ 7y= 0.
Exo 2 Ecrivezlesyst`emeline´airehomoge`nedontlamatriceest:   8 2 1 . 2 4 1
Rang d’une matrice
Pard´enition lerangdunematriceestceluidusyste`mehomog`eneassocie´.
Exemple Lamatricesuivanteapourrang3(lesyst`emecorrespondantest facile) :   8 2 4 6   0 0 2 4 0 3 5 7
Exo 3 Quel est le rang de la matrice suivante :   4 0 2 2   2 3 4 1. 6 0 3 3
Rang des matrices
Lesme´thodesdecalculdurang passentsanschangementdessyst`emeslin´eaireshomoge`nesaux matrices. On va en profiter pour les passer en revue.
Re`glesdecalculdurangdessyste`mesdevecteurs
Le rang d’une matrice ne change pas quand on change l’ordre des lignes quand on multiplie (ou divise) une ligne par un nombre non nul quandonajoute(ouretranche)`auneligneunecombinaison des autres quandonajoute(ouretranche)`alamatriceunenouvelleligne quiestcombinaisonlin´eairedesantres.
Le rang d’une matrice augmente de 1 quandonluiajouteunelignequinestpascombinaisonline´airedes autres.
Lerangdunematriceest´egalaunombredeseslignes saufsilunedentreellesestcombinaisonlin´eairedesautres.
Matrices faciles
On dira qu’une matrice est facile si l’une de ses colonnes a tous ses nombres nuls sauf exactement un.
Exemple La matrice suivante est facile : 8 3 1 3 2 4
0 0 7
1 6 1
Matricesde´riv´eedunematricefacile
Agaucheunematricefacile,et`adroiteunedesesdeuxmatrices d´erive´es:     8 0 0 1 8 0 1   1 3 0 6 1 3 6 2 0 71 Lamatriced´erive´esobtientenbarrantlaligneetlacolonne ad´equate. Exo 4 Ecrivezlautrematricede´rive´edelamatriceci-dessus.
Rang des matrices faciles
Le rang d’une matrice facile sobtientenajoutant1aurangdelunedesesmatricesde´riv´ees.
Lam´ethodedeGausspourlerangdesmatrices
Exemple On a 1 rang1 2
2 3 1
3 1 2
  1 1   6 =rang0 1 0
2 1 3
3 2 4
1 5 = 3. 3
On a faitE2:=E2E1etE3:=E32E1tseee´vire´deciratam.L de rang deux parce que ses deux lignes ne sont pas proportionnelles. Exo 5 Calculer intelligemment   3 2 3 1   rang61 3 0 . 2 1 21
Notion formelle de matrice
Unematricea`plignes etqcolonnes c’est une application de [1..p]×[1..q] versR.
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