Rang des systemes de vecteurs

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Rang des systemes de vecteurs Dedou Octobre 2011

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  • systeme de vecteurs lignes

  • rang de la matrice correspondante

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Publié le : samedi 1 octobre 2011
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Rangdessyst`emesdevecteurs
De´dou
Octobre 2011
Rangdunsyste`medevecteurslignes
On peut voir la matrice   8 3 5 2 4 7 commeunsyst`emededeuxvecteurslignes:
((8,3,5),(2,4,7)).
Parde´nition n Lerangdunsyste`medevecteursdeR, c’est le rang de la matrice correspondante.
Exercice
Exo du jour Calculerlerangdusyste`medevecteurs
((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)).
Rangdunsyst`emedevecteurscolonnes
On peut aussi voir la matrice   8 3 5 2 4 7 commeunsyst`emedetroisvecteurscolonnes.       8 3 5 , , . 2 4 7
Proble`me Selon qu’on met les vecteurs en lignes ou en colonnes, on obtient deuxmatricesunpeudie´rentesmaispastrop.Ont-elleslemeˆme rang ?
Transpose´edunematrice
Pourtransposer,on´echangeleslignesetlescolonnes. Exemple Agaucheunematrice,a`droitesatranspos´ee:     8 2 8 3 5   3 4 2 4 7 5 7
Exocorrige´ Ecrivezlatranspose´edelamatrice 0 3 5 23 4
1 . 7
Rang et transposition : exemple
Exemple Lesdeuxsyst`emes 8x+ 2y= 0 8x+ 3y+ 5z= 0 et 3x+ 4y= 0 2x+ 4y+ 7z= 05x+ 7y= 0 ne se ressemblent pas beaucoup... maisilsontlemeˆmerang2.
Rang et transposition
Th´eor`eme Lerangdunematriceest´egala`celuidesatranspose´e.
Corollaire Tout ce qu’on peut faire sur les lignes d’une matrice pour calculer son rang, on peut aussi le faire sur les colonnes.
Exemple Le rang d’une matrice ne change pas quand on multiplie une de ses colonnes par un nombre non nul.
Rangdessyst`emes
Finalementunematricecestpareil(dedeuxfa¸cons)quun n syste`medevecteursdeR, et comme on parle de rang d’une n matrice,onpeutparlerderangdunsyste`medevecteursdeR.
Lesme´thodesdecalculdurang passentsanschangementdesmatricesauxsyst`emesdevecteursde n R. On va en profiter pour les passer en revue.
R`eglesdecalculdurangdessyst`emesdevecteurs
Lerangdunsyst`emedevecteursnechangepas quand on change l’ordre des vecteurs quand on multiplie (ou divise) un vecteur par un nombre non nul quandonajoute(ouretranche)a`unvecteurunecombinaison des autres quandonajoute(ouretranche)ausyste`meunnouveau vecteurquiestcombinaisonlin´eairedesanciens.
Lerangdunsyst`emedevecteursaugmentede1quandonlui ajouteunvecteurquinestpascombinaisonlin´eairedesautres.
n Lerangdunsyst`emedevecteursdeRomunedbreseceagaltse´ vecteurs saufsilundentreeuxestcombinaisonlin´eairedesautres.
Libert´e
D´enition Onditquunsyst`emedevecteursestlibresilerangdusyste`meest e´galaunombredevecteurs.
Unsyste`medevecteursestlibre ssiaucundecesvecteursnestcombinaisonline´airedesautres.
Exocorrig´e Est-cequelesyste`me
est libre ?
((1,2,3,6),(4,5,6,4),(7,8,9,2))
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