Rang des systemes lineaires

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Rang des systemes lineaires Dedou Octobre 2010

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Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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LecalculdurangClaucdlleivnrees
PCSI A 2009. Lycée Brizeux
méthode
Rang et inverse
11 mai 2010
La
de
Gauss
du
pivot
1
Le calcul du rang Méthode Exemple
2
ngRainetrsve
Plan
Calcul de l’inverse Méthode Exemple
euldurangLecalcnilsrevclaCedluemExepléteMdeho
n,p
Quitte à transposer on supposenp.
Position du problème
M
eicetmatrgularianaRgnri.eevsrtenieLacclluMesrevnixEedohtéCangraduldeullcOcrehcneheempleAicneutrmarelrdgnalacàeluc()KrapéondiossceucsenuraPedohtéMàunemèneseras,oniaeremtnésélitno
ldeveineMrshoétxEedlpmeeLecaclluudargnaCclluK)(e
n,p
Position du problème On cherche à calculer le rang d’une matriceAM
evsr
Méthode Par une succession d’opérations élémentaires, on se ramène à une matrice triangulaire.
Quitte à transposer on supposenp.
etinRang
1
toute ligne (ou colonne) colinéaire à une autre.
2
Lcelaeurcsdelr
Etape 0
u
On supprime ;
n
les lignes (ou colonne) nulles ;
alempxeeEodthMéserevniledluclaCgangetinvR
empldeExéthorseMeullcraducaLeledevniaCgnluclrénerpfé1ecanget).Rarseinve
aveca1,16=
1,1=
En permutant les lignes ou les colonnes, on se ramène à une matrice a1,1∙ ∙ ∙ ∗A1=.∗ ∙....
Etape 1
de0(
uclaceLdoEeéMhtreesivnldelalcuangCldur
Pout toutiJ2,nK
∙ ∙ ∙
a1,1 0 0 = A10.
On obtient la matrice :
LiLiai,1L1 a1,1
invenget
Etape 2
.
. . . ∙ ∙ ∙
rseaR,efonpmexeleftceu
clluedlnievsrMeéthodeExempleullccaLeCangraduep.4aRgnssleéatinononpa1avecB.Séldepaternonerpedqu0:esentiastpcenoesntgienuelxinsdaumoB:BadèreisnocnO
a le même rang queA.
srevnite
B
∙ ∙ ∙
A0 1=
a10,1 . 0
La matrice :
Etape 3
e
Raetng
On considèreB: Bau moins deux lignes et ne contient pas que des 0 : on reprenda l’étape 1avecB. Sinon on passel’étape 4.
a le même rang queA.
La matrice :
Etape 3
∙ ∙ ∙ B
a1,1 0 A0= 10.
srenievohedxEmelpeuldelinverseMétcalculdurangCalceL
0):
rangC=rangA=
itvnnaeg
Etape 4 : conclusion
00
On a une matrice échelonnéeC(avecci,i6= c10,1c2,2. 0 . . C=. .cr,r∙ ∙ ∙ 000000
reesrRclaceLgnarudluuldeCalcverslinohedMetélpexEme
eExdeplemMesrohtéledevningCalcullculduraeLacgnteaR
1 0∙ ∙ ∙ 0 1 0 . J.0 . . r= . .1∙ ∙ ∙0 00000000
rangA=rangJr=r
Et plus encore...
0 0
Par une succession d’opérations de même nature sur les colonnes on peut obtenir la matrice :
rseinve
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