Relaxation du syst me d'Euler isotherme avec amortissement vers l' quation de la chaleur

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Relaxation du systeme d'Euler isotherme avec amortissement vers l'equation de la chaleur Stephane Junca Laboratoire J. A. Dieudonne, U.R.A. C.N.R.S. 168, Universite de Nice, Parc Valrose, B.P. 71, F-06108 Nice, Cedex 2, France email : 13 Decembre 1996 Resume : On etudie la convergence de solutions BV du systeme des equations d'Euler isothermes avec un coefficient d'amortissement, lorsque ce coefficient tend vers l'infini. On montre que la densite tend vers la solution de l' equation de la chaleur. Les estimations-cle sont obtenues a l'aide du schema de Glimm. Le meme type de resultat avait ete obtenu dans [4] - par des techniques totalement differentes - pour des solutions regulieres du p-systeme. Relaxation of the Isothermal Euler equations with damping to the heat equation Abstract: We consider the system of isothermal Euler Equations. For BV solutions, we show that the density converges to the solution to the heat equation when the friction coefficient ??1 tends to infinity. The same type of results has been obtained in [4] - with totally different methods - for smooth solution to the p-system. 1 Introduction On s'interesse a des solutions faibles ( pouvant presenter des chocs ) du systeme d'Euler isotherme, avec un second membre modelisant la porosite du milieu.

  • majoration independante de la taille de l'intervalle dans les inegalites

  • demonstration

  • premiere equation

  • ?a ??

  • relaxation du systeme d'euler isotherme avec amortissement


Publié le : dimanche 1 décembre 1996
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Relaxationdusysteme dEulerisothermeavecamortissement verslequationdelachaleur
Stephane Junca
LaboratoireJ.A.Dieudonne,U.R.A.C.N.R.S.168,UniversitedeNice, ParcValrose,B.P.71,F-06108Nice,Cedex2,France email :junca@gaston.unice.fr
13Decembre1996
Resume:edeculosnoitsdeiOtnuacelveonenrgBVtaoisnduEeldrusystemedesequ isothermesavecuncoecientdamortissement,lorsquececoecienttendverslin ni.On montrequeladensitetendverslasolutiondelequationdelachaleur.Lesestimations-cle sontobtenuesalaideduschemadeGlimm.Lemeˆmetypederesultatavaiteteobtenu dans[4]-pardestechniquestotalementdi erentes-pourdessolutionsregulieresdu p-systeme. Relaxation of the Isothermal Euler equations with damping to the heat equation
Abstract:We consider the system of isothermal Euler Equations. ForBVsolutions, we show that the density converges to the solution to the heat equation when the friction 1 coecientεthwi]-[4nideniatboneebsaemytepfoerustlhsstoin nity.Thesadnet totallydi erentmethods-forsmoothsolutiontothep-system.
1 Introduction Onsinteresseadessolutionsfaibles(pouvantpresenterdeschocs)dusystemedEuler isotherme,avecunsecondmembremodelisantlaporositedumilieu. ε ε Soit 1/ε >t d’amortissement,0 le coeciensiteetldaneuudesdiueL.elavites systemesecrit: ( ε εε ε t+x( u) =0, (0, x) =0(x) (1) ε εε ε2ε εε ε t( u) +x((u) +) = u/ε, u(0, x) =u0(x)
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Ondemandequelesdonneesinitialesveri ent: 0(x)min>0 et0(.), u0(.)BV(R) (2) ouBV(Resbmlnee)tssurrobneeniravoitaioctansdeleonsfR.On peut montrer que ε εε1 + t que quandε0,() converge versR  u= O(ε),e+ 0dansLc(tRx),ce qui n’est lo pasuneinformationdungrandinterˆet!Pouravoirplusdinformations,ilfautetudierle 1 comportement des solutions pour des temps grands en. Ceci a ete fait dans [4] pour le p-ε systememaispourdesdonneesinitialesregulieres.LebutdecetteNoteestdedemontrer unresultatanaloguepourdesdonneespresentantdeschocsetdanslecasoup(n) =n. Pour cela, on introduit, comme dans [10], une variable de temps lent: s:=εt, sansmodi erlavariabledespace:ilsagitdoncdunscalingparabolique.Pouralleger ε ε les notations, on notera encoreetu(etietealaledsnnvariablvitessees, x).Le contextepreciseralavariabledetempschoisie.Demaniereprecisenousallonsdemontrer leresultatsuivant: ε ε Theoreme1Soit(u ,)une famille de solutions entropiques de (1), (2) construites par lemeˆmeschemaquedans[11],etsoitl’unique solution de 2 ∂ ∂ = 0, (0, x) =0(x).(3) 2 ∂s ∂x Alors, nous avons les convergences suivantes ( en variabless, x) ε1 +ε ε1 + dansLloc(RsRx)fort et,/ε * uxdansLloc(RsRx)faible . Letermedamortissementatendanceaevidemmenttendanceareduirelatailledesdiscon-tinuitesdeladensiteetlaquantitedemouvementlimiteestdonneeparx.
2 Estimationsuniformes Oncommencepardonnerdesestimationssurlasolutiondusysteme(1)discretise. Onutiliselemeˆmesplittingquedans[11].Lesystemesedecomposeendeuxparties: ( ε εε ε t+x( u) =0, uε (E) :(O) :=u /ε. ε εε ε2ε t( u) +x((u) +) = 0, ∂t Rappelons que pour le systeme d’Euler isotherme (E),t(ou le coecienεn’intervient plus),leproblemedeRiemannestleproblemedeCauchyassociealadonneeinitiale V(0, x) =V,x >0,ou iciV:= (, u).puaedsuloxuesednmpsisleLaestnrpeitnoosul reliantVetV+anueatittnermediaireV0.Soit:= ln,on note S(V, V+) :=|0|+|0+|.On a pour toutt >0 :T Vx(t, .) =S(V, V+),et de plus |uu0| f(|0|),(4) 2
1 ouffonetinctues:eodnoennfC(R,R) etf(0) = 0.alerisilltsueervinataustunO:t e Lemme 1([11]) Soit0 1, V:= (, u)etV:= (, u)alors e e S(V, V+)S(V, V+). Rappelonsbrievementleschemanumeriqueutilisedans[11].Onintroduitunpasdespace het d’un pas de tempskrevre iiuq,.LoSeitntionC.F.alacondixi:=ih, iZ, tj:=jk, jN.A chaque instanttj,panocorposalituleehVh(tj, .) est constante sur chaque intervalleIi:=]xih/2, xi+h/2[,etVh(0, xilealamoyennedegaest)eV0(x) sur Ii.Soit (j)jNneuitsueqeidiuirtseubruse]1,1[,o nitndeVhrsurreapneecucrrj. Pour chaquei,osernoborpeltur[ameiusnnmelRedetj, tj+1[]xi, xi+1[.On pose e Vh(tj+1, xi) := limttj+1Vh(t, xi+jh/2).madechedesutepanueemtnlempsincdosteC Glimm.Puis,one ectueladeuxiemepartiedusplitting: h(tj+1, xi) =h(tj+1, xi) etuh(tj+1, xi) =uh(tj+1, xi) exp(k/ε). e e P Lesestimations-clevontsobtenirgraˆcealafonctionnelledeNishida:Nj:=iZSi,juo Si,j:=S(Vh(tj, xi), Vh(tj, xi+1)).Pourh:RR,soitV Tx(h:) sa variation totale n X V Tx(h) :=sup|h(xi)h(xi1)|. i=1 nN, x0< x1<  < xn Proposition 1La suite(Nj)jNestdecroissnaete,itelixtsueconetansentK,:telle que ε εε ε sup sup(V Tx(t, .) +V Txu(t, .)) +kk+kuk)K(5) + + ∞ ∞ L(RRx)L(RRx) t t ε>0t0 Demonstrationroecsaisnsrodla:tnoMcnde(eNjururrencesp)rarcej. X XX e e Nj+1=Si,j+1S(Vh(tj+1, xi), Vh(tj+1, xi+1))Si,j=Nj iZiZiZ LapremiereinegalitesobtientparleLemme1,ladeuxiemeestuneproprieteremarquable de (NjtpˆrlouysesemtNedeihsidadorce):lafonctionnell(eE) [9]. On a donc, pour toutt0, VTxh(t, .)N0.,l3][1esrpaDimx+Vh(t, x) = limx+V0(t, x).Ainsi ++ une borneL(Rt, BV(Rx)) deVhdonne une borneL(RtRx) deVh.Donchest +ε borne dansL(RtRx).ilagenilserpaD(et:)4V Txuh(tj+k/2, .)CNjCN0,ou ε Cseutenocsnatnteindependanteedtet deε.Ceci nous donne une borne deudans h + L(Rt, BV(Rx)).approcholutionsee.slEelontdecde(tes5)ruopsseltnomeerLgaliine reste vraie, a la limite quandhtend vers 0 (cf [3]). Nousutiliseronsaussileresultatsuivant. Lemme 2Il existe une constanteCtelle queε >0,A >0:   s expZε A |u|(s, x) 2 ε ε (s, x)dxC+CA .(6) Aε ε
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