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Relaxationdusysteme dEulerisothermeavecamortissement verslequationdelachaleur
Stephane Junca
LaboratoireJ.A.Dieudonne,U.R.A.C.N.R.S.168,UniversitedeNice, ParcValrose,B.P.71,F-06108Nice,Cedex2,France email :junca@gaston.unice.fr
13Decembre1996
Resume:edeculosnoitsdeiOtnuacelveonenrgBVtaoisnduEeldrusystemedesequ isothermesavecuncoecientdamortissement,lorsquececoecienttendverslin ni.On montrequeladensitetendverslasolutiondelequationdelachaleur.Lesestimations-cle sontobtenuesalaideduschemadeGlimm.Lemeˆmetypederesultatavaiteteobtenu dans[4]-pardestechniquestotalementdi erentes-pourdessolutionsregulieresdu p-systeme. Relaxation of the Isothermal Euler equations with damping to the heat equation
Abstract:We consider the system of isothermal Euler Equations. ForBVsolutions, we show that the density converges to the solution to the heat equation when the friction 1 coecientεthwi]-[4nideniatboneebsaemytepfoerustlhsstoin nity.Thesadnet totallydi erentmethods-forsmoothsolutiontothep-system.
1 Introduction Onsinteresseadessolutionsfaibles(pouvantpresenterdeschocs)dusystemedEuler isotherme,avecunsecondmembremodelisantlaporositedumilieu. ε ε Soit 1/ε >t d’amortissement,0 le coeciensiteetldaneuudesdiueL.elavites systemesecrit: ( ε εε ε t+x( u) =0, (0, x) =0(x) (1) ε εε ε2ε εε ε t( u) +x((u) +) = u/ε, u(0, x) =u0(x)
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Ondemandequelesdonneesinitialesveri ent: 0(x)min>0 et0(.), u0(.)BV(R) (2) ouBV(Resbmlnee)tssurrobneeniravoitaioctansdeleonsfR.On peut montrer que ε εε1 + t que quandε0,() converge versR  u= O(ε),e+ 0dansLc(tRx),ce qui n’est lo pasuneinformationdungrandinterˆet!Pouravoirplusdinformations,ilfautetudierle 1 comportement des solutions pour des temps grands en. Ceci a ete fait dans [4] pour le p-ε systememaispourdesdonneesinitialesregulieres.LebutdecetteNoteestdedemontrer unresultatanaloguepourdesdonneespresentantdeschocsetdanslecasoup(n) =n. Pour cela, on introduit, comme dans [10], une variable de temps lent: s:=εt, sansmodi erlavariabledespace:ilsagitdoncdunscalingparabolique.Pouralleger ε ε les notations, on notera encoreetu(etietealaledsnnvariablvitessees, x).Le contextepreciseralavariabledetempschoisie.Demaniereprecisenousallonsdemontrer leresultatsuivant: ε ε Theoreme1Soit(u ,)une famille de solutions entropiques de (1), (2) construites par lemeˆmeschemaquedans[11],etsoitl’unique solution de 2 ∂ ∂ = 0, (0, x) =0(x).(3) 2 ∂s ∂x Alors, nous avons les convergences suivantes ( en variabless, x) ε1 +ε ε1 + dansLloc(RsRx)fort et,/ε * uxdansLloc(RsRx)faible . Letermedamortissementatendanceaevidemmenttendanceareduirelatailledesdiscon-tinuitesdeladensiteetlaquantitedemouvementlimiteestdonneeparx.
2 Estimationsuniformes Oncommencepardonnerdesestimationssurlasolutiondusysteme(1)discretise. Onutiliselemeˆmesplittingquedans[11].Lesystemesedecomposeendeuxparties: ( ε εε ε t+x( u) =0, uε (E) :(O) :=u /ε. ε εε ε2ε t( u) +x((u) +) = 0, ∂t Rappelons que pour le systeme d’Euler isotherme (E),t(ou le coecienεn’intervient plus),leproblemedeRiemannestleproblemedeCauchyassociealadonneeinitiale V(0, x) =V,x >0,ou iciV:= (, u).puaedsuloxuesednmpsisleLaestnrpeitnoosul reliantVetV+anueatittnermediaireV0.Soit:= ln,on note S(V, V+) :=|0|+|0+|.On a pour toutt >0 :T Vx(t, .) =S(V, V+),et de plus |uu0| f(|0|),(4) 2
1 ouffonetinctues:eodnoennfC(R,R) etf(0) = 0.alerisilltsueervinataustunO:t e Lemme 1([11]) Soit0 1, V:= (, u)etV:= (, u)alors e e S(V, V+)S(V, V+). Rappelonsbrievementleschemanumeriqueutilisedans[11].Onintroduitunpasdespace het d’un pas de tempskrevre iiuq,.LoSeitntionC.F.alacondixi:=ih, iZ, tj:=jk, jN.A chaque instanttj,panocorposalituleehVh(tj, .) est constante sur chaque intervalleIi:=]xih/2, xi+h/2[,etVh(0, xilealamoyennedegaest)eV0(x) sur Ii.Soit (j)jNneuitsueqeidiuirtseubruse]1,1[,o nitndeVhrsurreapneecucrrj. Pour chaquei,osernoborpeltur[ameiusnnmelRedetj, tj+1[]xi, xi+1[.On pose e Vh(tj+1, xi) := limttj+1Vh(t, xi+jh/2).madechedesutepanueemtnlempsincdosteC Glimm.Puis,one ectueladeuxiemepartiedusplitting: h(tj+1, xi) =h(tj+1, xi) etuh(tj+1, xi) =uh(tj+1, xi) exp(k/ε). e e P Lesestimations-clevontsobtenirgraˆcealafonctionnelledeNishida:Nj:=iZSi,juo Si,j:=S(Vh(tj, xi), Vh(tj, xi+1)).Pourh:RR,soitV Tx(h:) sa variation totale n X V Tx(h) :=sup|h(xi)h(xi1)|. i=1 nN, x0< x1<  < xn Proposition 1La suite(Nj)jNestdecroissnaete,itelixtsueconetansentK,:telle que ε εε ε sup sup(V Tx(t, .) +V Txu(t, .)) +kk+kuk)K(5) + + ∞ ∞ L(RRx)L(RRx) t t ε>0t0 Demonstrationroecsaisnsrodla:tnoMcnde(eNjururrencesp)rarcej. X XX e e Nj+1=Si,j+1S(Vh(tj+1, xi), Vh(tj+1, xi+1))Si,j=Nj iZiZiZ LapremiereinegalitesobtientparleLemme1,ladeuxiemeestuneproprieteremarquable de (NjtpˆrlouysesemtNedeihsidadorce):lafonctionnell(eE) [9]. On a donc, pour toutt0, VTxh(t, .)N0.,l3][1esrpaDimx+Vh(t, x) = limx+V0(t, x).Ainsi ++ une borneL(Rt, BV(Rx)) deVhdonne une borneL(RtRx) deVh.Donchest +ε borne dansL(RtRx).ilagenilserpaD(et:)4V Txuh(tj+k/2, .)CNjCN0,ou ε Cseutenocsnatnteindependanteedtet deε.Ceci nous donne une borne deudans h + L(Rt, BV(Rx)).approcholutionsee.slEelontdecde(tes5)ruopsseltnomeerLgaliine reste vraie, a la limite quandhtend vers 0 (cf [3]). Nousutiliseronsaussileresultatsuivant. Lemme 2Il existe une constanteCtelle queε >0,A >0:   s expZε A |u|(s, x) 2 ε ε (s, x)dxC+CA .(6) Aε ε
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