Resolution des systemes lineaires

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Resolution des systemes lineaires Dedou Octobre 2010

  • equivalence

  • systeme lineaire

  • genre d'observation

  • boulet de base

  • systemes equivalents

  • memes solutions

  • dits equivalents


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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R´esolution
des
st`emes ys
D´edou
Octobre
2010
lin´eaires
R´esolutiondunsyst`emeline´aire:exemple
R´esoudrelesyst`emelin´eairesuivantauxinconnues x , y , z , t , u , v 2 x + 3 y + 4 z + 2 v = 1 ( S ) 5 x +73 yx 2 tz u 4 t vu == 42 x y z + t v = 3
cestdonnerunsyst`eme resolu equivalent`a S , comme par exemple ´ ´ y = (2 x + 18 t 39) / 15 ( S 0 ) zu == ((291 xx ++4164 tt 13737)) // 1155 . v = (54 x + 31 t 117) / 15
On dit alors que S 0 estunere´solutionde S .
Syst`emese´quivalents(rappel)
Deuxsyste`mesde´quationsauxmˆemesinconnues e´quivalentsssi
ilsontexactementlesmˆemessolutions.
sont
dits
Syme´triedel´equivalence
Le´quivalenceestsym´etrique: Si S 0 este´quivalenta` S , alors S est´equivalenta` S 0 .
Cestpour¸caquonditvolontiers
S et S 0 sont´equivalents
cequisugg`erequelordreentre S et S 0 est sans importance.
Re´exivit´edel´equivalence
Le´quivalenceestr´eexive: Toutsyste`meeste´quivalent`alui-mˆeme.
Lesmath´ematiciensaimentbiencegenredobservationdont lint´ereˆtnecr`evepaslesyeux,etsurtoutpasceuxdubouletde base.
Transitivite´delequivalence ’´
L’´ ivalence est transitive equ Sideuxsyst`emessont´equivalents`aunmˆemetroisie`me,ilssont e´quivalentsentreeux.
Ah,c¸aaumoins,cestpasdelacontemplationdenombril,c¸aa unechancedeservira`quelquechose.
Syste`mes´olus res
Lesyste`melin´eaire y = (2 x + 18 t 39) / 15 zu == ((291 xx ++416 t 4 t 13773)) // 1155 v = (54 x + 31 t 117) / 15
estr´esoluparcequilexprimecertainesinconnues(enlccur o rence y , z , u , v ) en fonction des autres (en l’occurrence x et t ).
Exo 1 Ecrivezunsyste`mere´soludedeux´equation`inqinconnues s a c .
Re´solutiondunsyste`melin´eaire:casg´en´eral
Enprincipe,re´soudreunsyst`emeline´aire,cest
montrer qu’il n’a pas de solution, ou alors enexhiberuner´esolution(enjustiant).
Enpratique,onappliqueuneme´thode(ditedupivotdeGauss) dontonprouveunefoispourtoutesquelleproduitunsyste`me e´quivalent,quiestmanifestementsoitimpossiblesoitr´esolu.
Syst`emescompatibles
Onditquunsyst`emed´equationsest compatible s’il a une solution , et incompatible dans le cas contraire.
Exo 2 Donnezunsyst`emedetroise´quations`adeuxinconnues compatible, et un incompatible.
On
peut le faire !
Silfallaitvraiment,onsauraitd´emontrerle
th´ ` eoreme
Toutsyste`meline´airecompatibleadmetune
r´esolution.
Inconnues principales et secondaires
Danslesyste`mere´solu y = (2 x + 18 t 39) / 15 zu == ((29 x 1 x ++461 t 4 t 17373)) // 1155 v = (54 x + 31 t 117) / 15
on dit que y , z , u , v sont les inconnues principales et x et t les inconnues secondaires.
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