Rétrospective

De
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Retrospective Dedou Decembre 2010

  • equation aux antecedents

  • systeme numerique

  • egalite vectorielle

  • probleme de l'existence de solution

  • systemes lineaires

  • unique egalite vectorielle


Publié le : mercredi 1 décembre 2010
Lecture(s) : 16
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 30
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R´etrosp
ective
Dedou ´
De´cembre
2010
Syst`emesnum´eriqueset´equationsvectorielles
Onacomprisquunsyste`medeplusieurs´egalit´esnum´eriquesest e´quivalent`auneuniquee´galite´vectorielle.
Exemple Lesyste`menume´rique 23xx7++4yy=85=.
est´equivalent`ale´quationvectorielle x(2,3) +y(4,7) = (5,8).
Exo 1 Traduireensyste`menume´riquele´galit´evectorielle x(1,2) +y(3,4) = (5,6).
Syst`emeslin´eairesetrecherchedantece´dents ´
Onacomprisquunsyst`emed´equationsline´airessinterpr`ete commeequationauxante´c´edentsparuneapplicationlin´eaire. ´
Exemple Lequationauxante´c´edentsde(1,2) par ’´ (x,y,z)7→(3x+ 4y,5y+ 6zircet´s) 35xy6+4+zy=2=1.
Exo 2 Interpr´eterlesyste`mesuivantcommee´quationauxante´cedents: ´ 32xx+4+7yy=5=8.
Syste`meslin´eaireshomog`enesetnoyau
Lensembledesante´c´edentsde0parlapplicationline´airef s’appelle noyau def.
Exo 3 Interpr`etezcommenoyaulensembledessolutionsdusyst`eme`a deux inconnues suivant :
35xy+64+zy=00=.
Existence : le cas incompatible
Leproble`medelexistencedesolutionneseposepaspourles syst`emeshomoge`nes,quionttoujourslasolution0. Tandiquyst`emeinhomoge`nepeutnepasavoirdesolutions. s un s
Exo 4 Donnezunsyst`emededeuxe´quationsline´aires`adeuxinconnues qui n’a pas de solution.
Existence
et
surjectivite ´
Le cas facile pour l’existence,
c’est quand l’applicationf
est
surjective.
Lasurjectivit´e
De´nition l’applicationf:EFtcejseviuotile´tme´edentestditesurF admetaumoinsunant´ece´dentparf, autrement dit si son image estFtout entier.
Exemple : l’applicationf:RR:=x7→x3est surjective toutre´eladmetuneracinecubique.
Exemple : l’applicationg:RR:=x7→x2n’est pas surjective lesre´elsn´egatifsnadmettentpasderacinecarr´ee.Sonimageest [0,+[ et non pasRtout entier.
Exo 5 Donnez un autre exemple d’application deRdansRqui n’est pas surjective.
Surjectivite´etrangdesapplicationsline´aires
Proposition Soitf:RqRppaenuoitacilp´eainlinlorsre.Afest surjective ssi sonrangest´egal`ap.
Rappel Le rang def:EF, c’est la dimension de son image.
Me´thodedecalcul Le rang deft´esasamgneduaargelaemlploertsenquiedanstric bases.
Unicite´etinjectivite´
Onsinte´ressemaintenanta`lunicite´de ´equationauxant´ec´edentsf(x) =a.
Le cas facile pour l’unicite, ´ c’est quand l’applicationfest injective.
la
solution
de
notre
Linjectivit´e
De´nition l’applicationf:EFlee´uo´tsetitcvidementjeintedisteF admetauplusunante´ce´dentparf.
Exemple : l’applicationf:RR:=x7→x3est injective toutre´eladmetuneseuleracinecubique.
Exemple : l’applicationg:RR:=x7→x2n’est pas injective lesreelspositifsadmettentdeuxracinescarr´ees. ´
Exo 6 Donnez un autre exemple d’application deRdansRqui n’est pas injective.
Injectivite´desapplicationslin´eaires
Proposition Soitf:RqRpsnuaeppilacitonlin´eaire.Alorfest injective ssi son noyau est{0}.
Remarque Laconditionest´evidemmentn´ecessairepuisquelenoyauest lensembledesante´ce´dentsde0.
Dimension du noyau a)Lapplicationlin´eairef:RqRpest injective ssi le rang def est´egala`q. b)Pluspr´ecise´ment,ladimensiondunoyaudefs’obtient en retranchant`aqle rang def.
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