Schéma de Picard et courbes elliptiques

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Schéma de Picard et courbes elliptiques M. Tibouchi 23 mai 2006 Résumé Après avoir introduit le foncteur de Picard relatif et établi formellement cer- taines des propriétés du schéma qui le représente sous réserve qu'il existe, on montre que le schéma de Picard d'une courbe elliptique existe bien, et que sa composante neutre est isomorphe à la courbe elle-même. 1 Le foncteur PicX/S Soit X un S-schéma.1 On rappelle que Pic(X) désigne le groupe des classes d'isomorphisme de faisceaux inversibles sur X, la loi de groupe étant le produit tensoriel. Pic est un foncteur contravariant, puisque si f : X ? Y est un mor- phisme de S-schémas et L un faisceau inversible sur Y , f?L est un faisceau inversible sur X, et que le produit tensoriel commute à f?. Lorsque X est par exemple une courbe projective lisse sur un corps k algé- briquement clos, Pic(X) est (au facteur Z près) l'ensemble des k-points d'une k-variété abélienne (i.e. d'un k-schéma en groupes propre de type fini), appelée la jacobienne de X. Cette « algébrisabilité » est un résultat très important de la théorie des courbes, car les variétés abéliennes sont une structure assez riche et rigide. On sait complètement décrire le foncteur des points de la jacobienne J d'une telle courbe X/k : on a pour tout k-schéma T , (J?Z)(T ) = Pic(X?kT )/Pic(T

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Publié le : lundi 1 mai 2006
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Schéma de Picard et courbes elliptiques
M. Tibouchi 23 mai 2006
Résumé Après avoir introduit le foncteur de Picard relatif et établi formellement cer-taines des propriétés du schéma qui le représente sous réserve qu’il existe, on montre que le schéma de Picard d’une courbe elliptique existe bien, et que sa composante neutre est isomorphe à la courbe elle-même.
1 LefoncteurPicX/S 1 SoitXunS-schéma. Onrappelle quePic(X)désigne le groupe des classes d’isomorphisme de faisceaux inversibles surX, la loi de groupe étant le produit tensoriel.Picest un foncteur contravariant, puisque sif:XYest un mor-phisme deS-schémas etLun faisceau inversible surY,fLest un faisceau inversible surX, et que le produit tensoriel commute àf. LorsqueXest par exemple une courbe projective lisse sur un corpskalgé-briquement clos,Pic(X)est (au facteurZprès) l’ensemble desk-points d’une k-variété abélienne (i.e. d’unk-schéma en groupes propre de type fini), appelée la jacobienne deX. Cette « algébrisabilité » est un résultat très important de la théorie des courbes, car les variétés abéliennes sont une structure assez riche et rigide. On sait complètement décrire le foncteur des points de la jacobienneJd’une telle courbeX/k: on a pour toutk-schémaT,(J×Z)(T) = Pic(X×kT)/Pic(T). Cela conduit à définir lefoncteur de Picard relatifd’unS-schémaXquelconque : PicX/S(T) = Pic(X×ST)/Pic(T) On peut s’imaginerPicX/S(T)comme, dans les bons cas, le groupe des fa-milles de faisceaux inversibles surXparamétrées parT, au sens précis suivant. Proposition 1.On suppose queXest projectif et plat surS, muni d’une section ω:SX, et que le morphisme naturelOSfOXest un isomorphisme 2 universel. Alorspour toutS-schémaTde type fini, deux faisceaux inversibles 1 Tous les schémas que l’on va considérer sont noethériens, par prudence... 2 D’après [Gro63] 7.8.8, il suffit, pour que cette dernière condition soit vérifiée, queXsoit de type fini à fibres géométriquement intègres. Merci à David Madore et à Sandra Rozensztajn pour cette remarque.
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LetMsurXT=X×STont même image dansPicX/S(T)si et seulement si Lt=Mtpour touttT. Démonstration.SoitFun faisceau inversible surXT, etp:XTTla projec-tion. Il s’agit dont de voir queFt=OXtpour touttTsi et seulement s’il existe un faisceau inversibleGsurTtel queF=pG. ∗ ∗ ∼ ∼ Dans un sens c’est clair : siF=pG, on aFt=iG, oùi:XtTest la composéeXt=X×SSpeck(t)Speck(t)T, donc :   ∼ ∼ Ft=Gk(t)k(t)OXt=OXt Réciproquement, soitFun faisceau inversible surXTtel que pour toutt, Ft=OXt, et soitG=pF. La situation est la suivante : 0 u // XtXT CC [[ 0 ω pω tpT u // Speck(t)T Le morphismeωTpest une immersion fermée deTdansXT, et donc(ωTp)FFest un isomorphisme le long deωT(T)(et nul ailleurs). Il en résulte par adjonction que la flèche : ∗ ∗∗ ∗0 uGu ωF=ω uF T t est un isomorphisme. Or elle se factorise par l’application canoniqueu pF0 0 p uF. Il en résulte que l’applicationk(t)-linéaire : 0 0 Gk(t)H(Xt,Ft) =H(Xt,OXt) =k(t) 3 est un isomorphisme. Le théorème de « changement de base propre »queGest localement libre, donc un faisceau inversible surT. Mais alors on dispose d’un morphisme naturel deOX-modulespGF, qui est un isomorphisme surXt T pour touttTd’après ce qu’on a vu précédemment, donc un isomorphisme global. 3 On utilisera la formulation suivante, [Har77] III 12.11. On peut trouver des résultats plus précis dans [Gro63] 7.8. Théorème 1.Soitf:XYun morphisme propre de schémas noethériens,Fun faisceau cohérent q qq surXplat surY, etyun point deY. Alors si la flèche naturelleφ(y) :R f(F)k(y)H(Xy,Fy) q0 0 est surjective, c’est un isomorphisme, etφ(y)est encore un isomorphisme pour toutydans un q voisinage convenable dey. De plus,R f(F)est alors localement libre au voisinage deysi et seulement q1 siφ(q)est surjective.
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2 Quelquespropriétés du schéma de Picard En toute généralité,PicX/Sn’est même pas un faisceau pour la topologie de Zariski, mais sous des hypothèses assez faible, il est représentable. Grothendieck a en effet démontré : Théorème (Grothendieck, 1962).SiXest projectif et plat surSà fibres géométriquement intègres, et si le morphisme structuralf:XSa une sec-tion, alors le foncteurPicest représentable par un certainS-schémaPic X/S X/S localement de type fini. On se propose de démontrer formellement quelques propriétés dePicX/Sen supposant qu’il existe. On supposera au moinsXprojectif surS, etPicX/S localement de type fini. Une première remarque évidente, bien sûr, est que, puisquePicX/Sest en fait un foncteur en groupes abéliens,PicX/Sest un schéma en groupes abéliens. En effet, la loi de groupe surPicX/S(T)pour toutTdétermine une transfor-mation naturellePicX/S×PicX/SPicX/S, qui d’après le lemme de Yoneda provient d’un morphisme deS-schémasPicX/S×SPicX/SPicX/Svérifiant par fonctorialité les axiomes d’une loi de groupe dans la catégorie desS-schémas. Par ailleurs, sous de bonnes hypothèses surX, disonsXlisse surSà fibres géométriquement intègres,PicX/Sestformellementpropre. Cela se vérifie par le critère valuatif de propreté. Il s’agit de montrer que siRest un anneau de valuation discrète, de corps résiduelK, et qu’on a un diagramme commutatif : // Pic SpecKX/S _99 ! // SpecRSpecS alors le morphismeSpecKPicX/Ss’étend de manière unique en un mor-phismeSpecRPicX/S. Énoncée sur le foncteur des points, cela dit que la flèchePicX/S(SpecR)PicX/S(SpecK)est un isomorphisme. CommePic(SpecR) = Pic(SpecK) = 0(les modules inversibles sur un anneau local et sur un corps sont libres), il s’agit de voir que, si l’on noteY=X×SSpecRetU=X×SSpecKsa fibre générique surSpecK, on aPic(Y)˜ Pic(U). Or, vu les hypothèses faites sur X,Yest unK-schéma de type fini, séparé, intègre et régulier (donc localement factoriel), ce qui assure que son groupe de Picard coïncide en fait avec le groupe des classes de diviseurs de Weil. La flèche d’image réciproque des faisceaux in-versibles correspond à celle qui à un diviseur de Weil premierDsurYautre que la fibre spécialeZ=YUassocie le diviseur premierDU, et envoieZsur0. Cette flèche est clairement surjective : un diviseur premierD0dansUest l’image de son adhérenceD=D0dansY. De plus, commeUetYont même corps de fonctions, le noyau est constitué des classes des diviseurs à support dansYU, donc est engendré par la classe deZ. Mais le faisceau d’idéaux définissantZest l’image réciproque dansYde l’idéalprincipaldeRdéfinissant le point fermé, donc sa classe est triviale, ce qui conclut.
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Si l’on sait que le schéma en groupesPicX/Sest localement de type fini, alors on peut en déduire de manière purement formelle ([Kle00] 5.1) que sa 0 composante neutrePicest un sous-schéma ouvert et fermé,de type finisur X/S Sà fibres géométriquement irréductibles. En particulier, siX/Sest lisse à fibres 0 géométriquement intègres,Picest propre (et plus seulement formellement X/S propre), donc c’est un schéma abélien et ses fibres sont des variétés abéliennes. Encore une chose qui se voit de manière formelle est l’espace tangent en l’élément neutre. Pour simplifier, on se place dans le cas oùS= Speckest le spectre d’un corps, de sorte que l’« élément neutre »e: SpeckPicest X/k 4 effectivement un point.Dans ce cas, l’espace tangent enes’identifie à l’en-2 semble des morphismesSpeck[ε]/(ε)PicX/kqui valenteen restriction à Speck, donc, vu sur le foncteur des points, il correspond au noyau du mor-phismePic(X[ε])Pic(X). Pour calculer ce noyau, on rappelle que pour tout 1espace annelé(Z,OZ),Pic(Z) =H(Z,O)(ce qui est clair, c’est quePic(Z) Z s’identifie au premier groupe de cohomologie de Čech; on peut donc travailler en cohomologie de Čech, ou si l’on préfère, utiliser le fait, [Har77] Ex. III 4.4, 1 1 ˇ queH=H). Mais dans ce cas, on a surX[ε]une suite exacte de faisceaux abéliens : ∗ ∗ 0OXOOX0 X[ε] où la première flèche envoie une section localeasur1 +εa. L’exactitude se vérifie facilement sur les anneaux locaux : il s’agit de voir que siAest l’anneau local deXen un pointx(deXouX[ε], les espaces sous-jacents sont les mêmes), l’applicationAA[ε],a7→1 +εa; que l’image de ce morphismeest injective ∗ ∗ est formé des éléments deA[ε]qui s’envoient sur1dansA; et enfin que tout ∗ ∗ élément deAprovient par passage au quotient d’un élément deA[ε]. Ces trois affirmations sont évidentes. De plus, la suite exacte est scindée par l’inclusion ∗ ∗1 OO, donc elle reste exacte après application du foncteurH(X[ε],). X X[ε] On obtient donc : 1 0H(X,OX)Pic(X[ε])Pic(X)0 ce qui montre que l’espace tangent de ZariskiTePicX/kest en bijection avec 1 H(X,OX). A priori, c’est une bijection ensembliste, mais en déroulant les iden-tifications successives, on peut vérifier que c’est même un isomorphisme dek-espaces vectoriels. CommePicX/kest un schéma en groupes, les translations sont des automorphismes et donc tous les points fermés de corps résiduelkont le même espace tangent. Donc, quitte à effectuer un changement de base pour rendrekalgébriquement clos, on en déduit : 1 dimPicX/k6dimkH(X,OX) et on a même égalité siPicX/kest lisse ene, ce qui est toujours vrai en caracté-ristique nulle (par un théorème de Cartier qui affirme qu’un schéma en groupes localement de type fini sur un corps de caractéristique0est lisse). 4Dans le cas d’une base quelconque, l’objet à étudier serait, je suppose,eTX/S, le tiré en arrière suivant l’élément neutree:SPicX/S; on doit pouvoir dire dessus desdu faisceau tangent relatif choses assez analogues.
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3 Lecas d’une courbe elliptique Pour finir, nous allons calculer le schéma de Picard d’une courbe elliptique (et voir que c’est essentiellement la courbe elle-même). Rappelons qu’une courbe elliptiqueEsur un schémaSest un schéma projectif lisse dont les fibres sont des courbes géométriquement intègres de genre1, et muni d’une sectionω:SE du morphisme structural. 0 On commence par définir un sous-foncteur abélienPicdePicE/S(qui E/S 0 0 sera la composante neutre) par la relationPic (T) = Pic (ET)/Pic(T), où E/S 0 Pic (ET)est le sous-groupe dePic(ET)formé des faisceaux inversibles qui sont de degré0sur chaque fibreEt,tT. Comme, pourFun faisceau inversible surET, le degrédeg(Ft)est une fonction localement constante det(car c’est la caractéristique d’Euler, qui est bien localement constante d’après [Gro63] 7.9.4), on a en fait une suite exacte scindée de préfaisceaux abéliens sur lesS-schémas : 0 0PicE/SPicE/SZ0 une section de la surjection étant fournie parL(ω). On va montrer queEre-0 présentePicIl en E/Sdonc que. résulteraPicE/S, comme schéma, est la réunion disjointe d’une famille indexée parZde copies deE. 0 Proposition 2.SoitJ=E, etLPic (J)la classe du faisceau surE×SJ E/S donné parL(Δ)pL(ω), oùΔE×SEest la diagonale. Alors le couple 1 0 (J,L)représente le foncteurPic. E/S Démonstration.Il s’agit de voir que pour toutS-schémaTet toutMfaisceau inversible surETde degré0sur les fibres, il existe un unique morphismef:T0 Jtel queM=fLdansPic (T). E/S 0 Soitp:ETTetq:ETEles deux projections, et notonsM= ∗ 0 MqL(ω). AlorsMest de degré1sur les fibresEt,tT, qui sont des courbes 00 de genre1. Il en rh queH(E) ésulte par le théorème de Riemann-Roct,Mt=k(t) 10 0 etH( 0. Commepest projectif etMest plat surT, le théorème 1 Et,Mt) = 1 s’applique (en vrai, siTest noethérien...). La nullité desHsur les fibres assure 1010 )t surjectif, donc c queR pMk(t)H(Et,Mtes ’estun isomorphisme 10 et le faisceauR pMest nul. En particulier, il est localement libre, et donc 000 0 pMk(t)H (Et,Mt)est surjectif, ce qui assure quepMest un faisceau localement libre de rang1surT. ∗ 01 Quitte à remplacer alorsMparMp p(M)(qui est dans la même 0 classe moduloPic(T)), on peut supposer quepM=OT. La fonction constante 0 00 1H(T,OT)détermine alors une section globalemH(ET,M), qui définit donc un certain diviseur de Cartier effectifZET. Par construction, il y a dans chaque fibre depun unique point deZ, donc le morphismeZETT 5 est fini (quasi-fini et propre) de degré1, ce qui suffit pour obtenir que c’est un 5 C’est clair une fois qu’on a la platitude deZsurT, qui n’est pas très difficile à montrer sous ces hypothèses. Cf. par exemple Mumford,Lectures on Curves on an Algebraic Surface, §10–4. Merci à Hugues Randriam.
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isomorphisme. Par conséquent, on dispose d’une sections:TZETdep. Alors le morphismefrecherché est le composéqs:TE=J. En effet, commeZest le graphe def, on aZ=fΔcomme diviseur. Donc 0 ∗ M=L(Z) =fL(Δ). En tensorisant parL(ω), on obtient le résultat voulu.
Tout cela donne une construction très canonique de la loi de groupe sur une courbe elliptique, qui ne pose en particulier aucun problème de rationnalité, contrairement à des définitions plus « manuelles » avec lesquelles il n’est pas toujours évident que la loi de groupe d’une courbe elliptique surZ[1/N], par exemple, est également définie surZ[1/N].
Références [Gro63] AlexanderGrothendieck. Élémentsde géométrie algébrique. III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents. II.Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., (17) :91, 1963. [Har77] Robin Hartshorne.Algebraic geometryNew York,. Springer-Verlag, 1977. GraduateTexts in Mathematics, No. 52. [Kle00] StevenKleiman. ThePicard scheme.Notes de l’école d’été de Trieste, 2000.
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