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S´eminaireBOURBAKI 63e`meanne´e,2010-2011,no1036
INVARIANTS DE WELSCHINGER parAlexandru OANCEA
Avril 2011
Lebutdecetexpose´estdepre´senterdesinvariantsd´ecouvertsparWelschinger quisontadapt´esa`desprobl`emesdeg´eom´etriee´num´erativere´elle.Cesprobl`emes e´num´eratifssontclassiquementformule´sdanslecadredelag´eome´triealg´ebriquer´eelle maisilstrouventleursolutionlaplusnaturelledanslecadredelage´ome´triesymplec-tiqu´elle.Cecipermetenparticulierdeles´etudierviadestechniquesspe´ciques e re puissantescommelathe´oriesymplectiquedeschamps.LesinvariantsdeWelschinger sontdesanaloguesre´elsdecertainsinvariantsdeGromov-Witten.
1. INTRODUCTION
Uneirav´te´myseleelree´ituqlpce(X ω cXtnere´ide´te´ireundieunemblianevaestu) 2-formeferme´enon-d´eg´en´er´eeω– la forme symplectique – et d’une involution anti-symplectiquecX:XXntriae´v,cXω= -ω– latcrutsurleelree´. La dimension deX estn´ecessairementpaire,not´ee2n. S’il est non-vide, lelee´rueilRX= Fix(cX)X estunesous-varie´t´elisselagrangienne,i.e.dimRX=netω|RXulcoeec.C´eid0= del´enonce´analoguepourlesstructuresr´eelleslin´eairessurR2nsdeor´eme`eteudht fonctions implicites. Citons les exemples fondamentaux suivants : les espaces des phases (TL dpdqd)lemae´acinuqeclassique,assocse´ieda`psessecacodeguntirasonLqui sontdesvarie´t´eslisses,aveclastructurere´ellecanoniquecL: (pq)7→(pq) ; l’espace projectifPnelleer´retuuctrumeydtlesani-itSdurmedeFubnidelafoconjdonnee ´ parlaconjugaisoncomplexe;lesvarie´t´esprojectiveslissesd´eniespardespolynoˆmes homoge`nes`acoecientsre´els,aveclastructureinduiteparcelledePned`elnuomO.an local pour (X ω cX) au voisinage deL=RX: un voisinage deLrpmosotiesnua`eh voisinage de la section nulle dans (TL dpdq cL) [45]. DepuisGromov[15]noussavonsquilestutilederegarderlesvari´ete´ssymplectiques commedesanaloguesexiblesdesvari´et´esk¨ahleriennes.Defaconpluspre´cise,soit ¸ Jωl’espace des structures presque-complexesJ(de classeC,1) surT Xqui sont ω-compatibles, i.e. telles queω( Jmenainnertqieuirstunem´e)edee´seL.enstneme´lJω sont les sectionsCsconbretiletracdue´a`nrb(2si,sromosehppSa`n)U(n), de sorte queJω´cettn´oerdtceBaiatnealcEh.sp´neparablseenuotne-nvaivdiereesr´ceenunde
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structurere´ellecXon obtient une involutioncX:Jω→ Jω J7→ −dcXJdcXdont le lieu des points fixesRJωest l’espace des structures presque-complexesω-compatibles qui rendentcX.Welrphengerschirte´manoepsuqleeactnaomoloh-iRJωesneturiva´te´e deBanachse´parableetcontractile[47,§1.1]. Un choix deJ∈ Jωsecedseapemreplererd´sionectdcourbes (rationnelles)J-holomorphesu:P1(X Jitnole´qeautilusdonso),du+Jduj`u=0ojest la structure complexe deP1ueptiqseutene´.C,nnaille-yhcmeiRypetaueCatqundio d’indice 2c1(X)d+ 2no,u`d=u[P1]H2(X;Z) etc1(Xre`imerpaltse)cealssdee Cherndubr´ecomplexe(T X J). LorsqueJRJω, il existe une involution naturelle u7→cXuconjsur l’espace des courbesJ-holomorphes, et ses points fixes s’appellent courbesJphesr´ee-holomorllseeseselitsulaarepsnoitulosedsecaplomodunois`dreO.cn reparam´etrisationconformea`lasource,etonparlealorsdespaces de modules. Lavari´et´esymplectique(X ω) est ditesemi-positive(resp.fortement semi-positive) si,pourtouteclassesph´eriquedH2(X;Z) telle que [ω]d >0, on a l’implication . c1(X)d3nc1(X)d0 (resp.c1(X)d2nc1(X)d0) Les in-variantsdeGromov-Witten(engenre0)dunevarie´t´esemi-positivesontd´enisdela fa¸consuivante[35]:onserestreintauxcourbesditessimplesqui ne factorisent pas a`traversunreveˆtementrami´enon-trivialdeP1, on enrichit la sourceP1de points marqu´esmobiles,onimposedesconditionsdincidenceauxpointsmarque´sdefac¸on `aramenerladimensiondesespacesdemodules`a´o,etnalementoncompteles zer solutions.Notonslesdeuxsp´ecicit´essuivantes:(i)ler´esultatpeutˆetreinterpre´t´ede ¸ gra r l’espac facondualecommelecalculduneint´elesuedemodulesdecourbesavec pointsmarqu´es.Cedernierporteuneclasse fondamentaleuipusqnuedeoplie`sscom-pactification par des strates de codimension2. Par ailleurs, les conditions d’incidence nedoiventpasn´ecessairementˆetreponctuelles,cequiadescons´equenceprofondes comme par exemple l’existence du produit quantique surH(X;Z (ii) ;) [31, 38, 35] lorsquelesconditionsdincidencesontrepr´esent´eespardessous-varie´t´esJ-complexes, les courbes sontscevmaotpe´ˆmmeceelneesig.Cstuneciesefinameednoitattisipolaet´vi des intersections des objets holomorphes. Le cas particulier des conditions d’incidence ponctuelles est crucial pour la suite. Soit dH2(X;Z) etMkd(X J)l’espace des modules de courbesJ-holomorphes simples avecklantteenseascluq,se´uqse´rperitnioramspd. On suppose que(n1)divise(c1(X)d2)et on posek=kd=n11(c1(X)d2) + 1. SoitxXkunkre´ne´gxiohcnuruPos.ctinstdiuxdedeiquedepointsdeux-`a-u-lpte J∈ Jωl’espaceMkd(X J)oisn2nde´emediareveti´tsnuec1(X)d+ 2n6 + 2ketx estunevaleurre´gulie`redelapplicationd´evaluation evJ:Mdk(X J)Xk(u z1     zk)7→(u(z1)     u(zk))La valeur dekosaleuqelleteisiveetdbuleetceurecho´et´aJsoientdemˆemedi-mension. Notons que evJadmet une extension naturelle evJ:Mkd(X J)Xk`a la compactification de Gromov-Kontsevich par des courbes stables [31, 35]. On note