Seminaire BOURBAKI Avril 63eme annee no

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Seminaire BOURBAKI Avril 2011 63eme annee, 2010-2011, no 1036 INVARIANTS DE WELSCHINGER par Alexandru OANCEA Le but de cet expose est de presenter des invariants decouverts par Welschinger qui sont adaptes a des problemes de geometrie enumerative reelle. Ces problemes enumeratifs sont classiquement formules dans le cadre de la geometrie algebrique reelle mais ils trouvent leur solution la plus naturelle dans le cadre de la geometrie symplec- tique reelle. Ceci permet en particulier de les etudier via des techniques specifiques puissantes comme la theorie symplectique des champs. Les invariants de Welschinger sont des analogues reels de certains invariants de Gromov-Witten. 1. INTRODUCTION Une variete symplectique reelle (X,?, cX) est une variete differentiable munie d'une 2-forme fermee non-degeneree ? – la forme symplectique – et d'une involution anti- symplectique cX : X ? X, verifiant c?X? = -? – la structure reelle. La dimension de X est necessairement paire, notee 2n. S'il est non-vide, le lieu reel RX = Fix(cX) ? X est une sous-variete lisse lagrangienne, i.e. dim RX = n et ?|RX = 0. Ceci decoule de l'enonce analogue pour les structures reelles lineaires sur R2n et du theoreme des fonctions implicites. Citons les exemples fondamentaux suivants : les espaces des phases (T ?L, dp?dq) de la mecanique classique, associes a des espaces de configurations L qui sont des varietes lisses, avec la structure reelle canonique cL : (p,q) 7? (?p,q) ; l'

  • choix generique des points

  • integrale sur l'espace de modules de courbes avec points

  • espace de modules

  • variete symplectique

  • fibres singulieres de la fibration z ?

  • fibres singulieres

  • welschinger

  • courbes cuspidales

  • variete de dimension


Publié le : vendredi 1 avril 2011
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Source : www-irma.u-strasbg.fr
Nombre de pages : 29
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S´eminaireBOURBAKI 63e`meanne´e,2010-2011,no1036
INVARIANTS DE WELSCHINGER parAlexandru OANCEA
Avril 2011
Lebutdecetexpose´estdepre´senterdesinvariantsd´ecouvertsparWelschinger quisontadapt´esa`desprobl`emesdeg´eom´etriee´num´erativere´elle.Cesprobl`emes e´num´eratifssontclassiquementformule´sdanslecadredelag´eome´triealg´ebriquer´eelle maisilstrouventleursolutionlaplusnaturelledanslecadredelage´ome´triesymplec-tiqu´elle.Cecipermetenparticulierdeles´etudierviadestechniquesspe´ciques e re puissantescommelathe´oriesymplectiquedeschamps.LesinvariantsdeWelschinger sontdesanaloguesre´elsdecertainsinvariantsdeGromov-Witten.
1. INTRODUCTION
Uneirav´te´myseleelree´ituqlpce(X ω cXtnere´ide´te´ireundieunemblianevaestu) 2-formeferme´enon-d´eg´en´er´eeω– la forme symplectique – et d’une involution anti-symplectiquecX:XXntriae´v,cXω= -ω– latcrutsurleelree´. La dimension deX estn´ecessairementpaire,not´ee2n. S’il est non-vide, lelee´rueilRX= Fix(cX)X estunesous-varie´t´elisselagrangienne,i.e.dimRX=netω|RXulcoeec.C´eid0= del´enonce´analoguepourlesstructuresr´eelleslin´eairessurR2nsdeor´eme`eteudht fonctions implicites. Citons les exemples fondamentaux suivants : les espaces des phases (TL dpdqd)lemae´acinuqeclassique,assocse´ieda`psessecacodeguntirasonLqui sontdesvarie´t´eslisses,aveclastructurere´ellecanoniquecL: (pq)7→(pq) ; l’espace projectifPnelleer´retuuctrumeydtlesani-itSdurmedeFubnidelafoconjdonnee ´ parlaconjugaisoncomplexe;lesvarie´t´esprojectiveslissesd´eniespardespolynoˆmes homoge`nes`acoecientsre´els,aveclastructureinduiteparcelledePned`elnuomO.an local pour (X ω cX) au voisinage deL=RX: un voisinage deLrpmosotiesnua`eh voisinage de la section nulle dans (TL dpdq cL) [45]. DepuisGromov[15]noussavonsquilestutilederegarderlesvari´ete´ssymplectiques commedesanaloguesexiblesdesvari´et´esk¨ahleriennes.Defaconpluspre´cise,soit ¸ Jωl’espace des structures presque-complexesJ(de classeC,1) surT Xqui sont ω-compatibles, i.e. telles queω( Jmenainnertqieuirstunem´e)edee´seL.enstneme´lJω sont les sectionsCsconbretiletracdue´a`nrb(2si,sromosehppSa`n)U(n), de sorte queJω´cettn´oerdtceBaiatnealcEh.sp´neparablseenuotne-nvaivdiereesr´ceenunde
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structurere´ellecXon obtient une involutioncX:Jω→ Jω J7→ −dcXJdcXdont le lieu des points fixesRJωest l’espace des structures presque-complexesω-compatibles qui rendentcX.Welrphengerschirte´manoepsuqleeactnaomoloh-iRJωesneturiva´te´e deBanachse´parableetcontractile[47,§1.1]. Un choix deJ∈ Jωsecedseapemreplererd´sionectdcourbes (rationnelles)J-holomorphesu:P1(X Jitnole´qeautilusdonso),du+Jduj`u=0ojest la structure complexe deP1ueptiqseutene´.C,nnaille-yhcmeiRypetaueCatqundio d’indice 2c1(X)d+ 2no,u`d=u[P1]H2(X;Z) etc1(Xre`imerpaltse)cealssdee Cherndubr´ecomplexe(T X J). LorsqueJRJω, il existe une involution naturelle u7→cXuconjsur l’espace des courbesJ-holomorphes, et ses points fixes s’appellent courbesJphesr´ee-holomorllseeseselitsulaarepsnoitulosedsecaplomodunois`dreO.cn reparam´etrisationconformea`lasource,etonparlealorsdespaces de modules. Lavari´et´esymplectique(X ω) est ditesemi-positive(resp.fortement semi-positive) si,pourtouteclassesph´eriquedH2(X;Z) telle que [ω]d >0, on a l’implication . c1(X)d3nc1(X)d0 (resp.c1(X)d2nc1(X)d0) Les in-variantsdeGromov-Witten(engenre0)dunevarie´t´esemi-positivesontd´enisdela fa¸consuivante[35]:onserestreintauxcourbesditessimplesqui ne factorisent pas a`traversunreveˆtementrami´enon-trivialdeP1, on enrichit la sourceP1de points marqu´esmobiles,onimposedesconditionsdincidenceauxpointsmarque´sdefac¸on `aramenerladimensiondesespacesdemodules`a´o,etnalementoncompteles zer solutions.Notonslesdeuxsp´ecicit´essuivantes:(i)ler´esultatpeutˆetreinterpre´t´ede ¸ gra r l’espac facondualecommelecalculduneint´elesuedemodulesdecourbesavec pointsmarqu´es.Cedernierporteuneclasse fondamentaleuipusqnuedeoplie`sscom-pactification par des strates de codimension2. Par ailleurs, les conditions d’incidence nedoiventpasn´ecessairementˆetreponctuelles,cequiadescons´equenceprofondes comme par exemple l’existence du produit quantique surH(X;Z (ii) ;) [31, 38, 35] lorsquelesconditionsdincidencesontrepr´esent´eespardessous-varie´t´esJ-complexes, les courbes sontscevmaotpe´ˆmmeceelneesig.Cstuneciesefinameednoitattisipolaet´vi des intersections des objets holomorphes. Le cas particulier des conditions d’incidence ponctuelles est crucial pour la suite. Soit dH2(X;Z) etMkd(X J)l’espace des modules de courbesJ-holomorphes simples avecklantteenseascluq,se´uqse´rperitnioramspd. On suppose que(n1)divise(c1(X)d2)et on posek=kd=n11(c1(X)d2) + 1. SoitxXkunkre´ne´gxiohcnuruPos.ctinstdiuxdedeiquedepointsdeux-`a-u-lpte J∈ Jωl’espaceMkd(X J)oisn2nde´emediareveti´tsnuec1(X)d+ 2n6 + 2ketx estunevaleurre´gulie`redelapplicationd´evaluation evJ:Mdk(X J)Xk(u z1     zk)7→(u(z1)     u(zk))La valeur dekosaleuqelleteisiveetdbuleetceurecho´et´aJsoientdemˆemedi-mension. Notons que evJadmet une extension naturelle evJ:Mkd(X J)Xk`a la compactification de Gromov-Kontsevich par des courbes stables [31, 35]. On note
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