Seminaire BOURBAKI Mars 45eme annee no

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Seminaire BOURBAKI Mars 1993 45eme annee, 1992-93, no 765 MONODROMIE DES SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A POLES SIMPLES SUR LA SPHERE DE RIEMANN [d'apres A. Bolibruch] par Arnaud BEAUVILLE 1. Introduction Considerons un systeme differentiel lineaire d'ordre n (A) y?(z) = A(z) y(z) ou A(z) dz est une forme differentielle meromorphe sur la sphere de Riemann, a valeurs dans Mn(C) , admettant comme seules singularites des poles simples. Autrement dit, on a A(z) = ∑ ??? A? z ? ? , ou ? est une partie finie de C , et les A? des matrices complexes. Pour eviter d'avoir a distinguer des cas particuliers, nous supposerons toujours que le systeme n'a pas de singularite a l'infini, ce qui se traduit par la relation ∑ ??? A? = 0 . Le systeme (A) admet des solutions globales qui sont des fonctions multi- formes sur P1 ? , c'est-a-dire des fonctions holomorphes (a valeurs dans Cn ) sur le revetement universel de P1 ? . Ces solutions forment un espace vecto- riel S de dimension n , sur lequel le groupe fondamental pi1(P1 ?, ?) opere ; la representation ? : pi1(P1 ?, ?) ?? GL(S) correspondante est appelee represen- tation de monodromie du systeme (A) .

  • matrice fondamentale de solutions

  • point ? de ? etant

  • a? z

  • plemelj

  • monodromie

  • ???

  • p1 ?

  • unieme probleme de hilbert


Publié le : lundi 1 mars 1993
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S¶eminaire BOURBAKI 45µeme ann¶ee, 1992-93, n o 765
Mars 1993
MONODROMIEDESSYSTµEMESDIFFERENTIELSLINEAIRES ˆ µA POLES SIMPLES SUR LA SPH µERE DE RIEMANN [daprµesA.Bolibruch]
par Arnaud BEAUVILLE
1. Introduction Consid¶erons un systµeme di® ¶erentiel lin¶eaire d’ordre n
(A)
y 0 ( z ) = A( z ) y ( z )
oµu A( z ) dz est une forme di® ¶erentielle m¶eromorphe sur la sphµere de Riemann, µavaleursdans M n ( C ),admettantcommeseulessingularitesdespoˆlessimples. Autrement dit, on a A( z ) = X A ® , z ¡ ® ® § oµu § est une partie ¯nie de C , et les A ® des matrices complexes. Pour ¶eviter davoirµadistinguerdescasparticuliers,noussupposeronstoujoursquelesystµeme n’a pas de singularit¶e µa l’in¯ni, ce qui se traduit par la relation X A ® = 0 . § Le systµeme (A) admet des solutions globales qui sont des fonctions multi-formes sur P 1 §,cest-µa-diredesfonctionsholomorphes(µavaleursdans C n ) surlerevˆetementuniverselde P 1 § . Ces solutions forment un espace vecto-riel S de dimension n , sur lequel le groupe fondamental ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) opµere ; la repr¶esentation ½ : ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) ¡ → GL (S) correspondante est appel¶ee represen-tation de monodromie dusystµeme(A).Leproblµemequejevaisconsidererdans cetexposeestdesavoirsi touterepresentationde ¼ 1 ( P 1 § , ¤ ) peuteˆtrerealisee commerepresentationdemonodromiedunsystµemeµapoˆlessimples.
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Ceproblµemeadonnelieuµauncertainnombredemalentendus,µacommencer parsonnom:ilestsouventappele problµemedeRiemann ou problµemedeRiemann-Hilbert ,bienquilnesoitdˆuniµaRiemann,niµaHilbert.Ilalongtempsete consid¶er¶e comme r¶esolu, et ce n’est guµere qu’il y a une dizaine d’ann¶ees que les d¶emonstrations classiques de Plemelj et Birkho® ont ¶et¶e remises en question. Le mathematicienrusseA.Bolibrucharecemmentreglelaquestionenpresentant uneseriedecontre-exemples([B1]µa[B3]).Jevaispresentericilexemplede[B3], qui est plus simple et plus explicite. Je remercie D. Bertrand, O. Gabber et B. Malgrange pour des commentaires qui m’ont et¶e trµes utiles.
2. Un peu d’histoire a) Quelquesgeneralites Consid¶erons un systµeme di® ¶erentiel d’ordre n (A) y 0 ( z ) = A( z ) y ( z ) oµu la forme A( z ) dz est m¶eromorphe dans P 1 , et holomorphe µa l’in¯ni ; on note lensembledesespˆoles. Le systµeme (A) admet un espace vectoriel S de dimension n de solutions, qui sont des fonctions multiformes sur P 1 § ; par abus de langage, nous noterons encore y ( z ) une telle fonction. Soit ( y 1 , . . . , y n ) une base de S ; rappelons qu’on appelle matrice fondamentale de solutions de (A) associ¶ee µa cette base la matrice Y( z ) dont les colonnes sont y 1 ( z ) , . . . , y n ( z ) . Une telle matrice v¶eri¯e l’¶equation Y 0 ( z ) = A( z ) Y( z ) ; elle se transforme sous l’action d’un ¶el¶ement ° de ¼ 1 ( P 1 §) en Y( z ) ½ ( ° ) , oµu ½ : ¼ 1 ( P 1 §) ¡ → GL ( n, C ) est la repr¶esentation de monodro-mie de (A) dans la base ( y 1 , . . . , y n ) . Le groupe ¼ 1 ( P 1 §) est engendr¶e par les classes de lacets ( ° ® ) ® § “tournant une fois autour de ® (voir¯gurepagesuivante),soumisesµalarelation Y ° ® = 1 , pour un ordre convenable sur § . La repr¶esentation ½ est donc d¶e-® ° ans la base termin¶ee par la famille (M ® ) ® § , oµu M ® est la matrice de ½ ( ® ) d ( 1 ) cf. § 6 pour la relation avec le vingt-et-uniµeme problµeme de Hilbert. ( 2 )Jutiliselesconventionsde[D],desortequelegroupefondamentalopµere µadroite sur le reveˆtementuniversel(supposepointe).Dautrepart,jomettraidesormaislepointbasedansla notation.
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( y 1 , . . . , y n ) . Il s’agit de d¶ecider si toute famille de matrices (M ® ) ® § satisfaisant µa Y M ® =Ipeutˆetreobtenuedecettemaniµere. ®
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b) Plemelj, Birkho® Le problµeme ¶etait certainement dans l’air au d¶ebut du vingtiµeme siµecle ; jignorequandilaeteformuleexplicitementpourlapremiµerefois.Ilappara³ˆtpar exemple dans le livre de Schlesinger [S], qui lui consacre un chapitre entier (sous le nomdeproblµemedeRiemann)etendonneunesolutionhautementfantaisiste. Une autre solution est propos¶ee par Plemelj [P], d¶eveloppant une id¶ee de Hilbert. En  ,G.Birkho®donneunevarianteplussimpledelademonstrationde Plemelj [Bi]. PlemeljetBirkho®procµedenttousdeuxen3etapes.Suivantuneideequi remonteµaRiemann,ilsconstruisentdabordunematricemultiformeinversible Y( z ) qui se transforme en Y( z ) ½ ( ° ) par monodromie le long d’un lacet ° . La matrice Y 0 ( z ) Y( z ) ¡ 1 est alors invariante par monodromie, donc provient d’une matrice A( z ) holomorphe dans P 1 § : ainsi Y( z ) est une matrice fondamentale de solutions du systµeme y 0 ( z ) = A( z ) y ( z ) , et celui-ci admet ½ comme repr¶esen-tation de monodromie. En outre, la matrice Y( z ) construite est µacroissance polynomiale au voisinage des points de § (voir le § 3 pour une d¶e¯nition pr¶ecise) ; celaimpliquequilenestdemˆemedeA( z ) , qui est donc m¶eromorphe sur P 1 . Par
            
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de¯nition,lessingularitesduntelsystµemesontditesreguliµeres( cf. § 3) : Plemelj etBirkho®realisentdonc ½ comme repr¶esentation de monodromie d’un systµeme µa singularit¶es r¶eguliµeres. Un point ® de § ¶etant ¯x ¶e, ils montrent ensuite qu’on peut choisir Y( z ) de maniµere que la matrice A( z )aitunpoˆlesimpleentouslespointsde§ { ® } . En¯n ils modi¯en t Y( z )defa»conquelesystµemeaitegalementunpˆolesimple en ® . C’est cette derniµere ¶etape qui est insu±san te : Plemelj comme Birkho® supposent que la matrice M ® estdiagonalisable(lhypothµeseestimplicitechez Plemelj,tandisqueBirkho®a±rmequelecasgeneralsetraitedelamˆeme maniµere).LerreurdePlemeljestanalyseeendetailparTreibichdans[ENS]. Retenons de cet ¶episode malheureux que leproblµemeadmetunesolution lorsque l’une des matrices M est diagonalisable. ®
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c) Lappo-Danilevski¸ En  , le jeune math¶ematicien russe I. Lappo-Danilevsk ¸i³ propose une approche tout-µa-fait di® ¶erente [L-D] : il ¶ecrit explicitement les solutions de (A) sous forme de s¶eries de polylogarithmes. La m¶ethode est si ¶el¶egante que je ne e resistepasµalenviedendiredeuxmots.NotonsUlerevˆetementuniverselde P 1 § et o son point base. Soit S (§)lensembledessuites¯niesdelementsde e . D¶e¯nissons par r¶ecurrence la fonction L ¾ sur U , pour ¾ ∈ S (§) , de la fa»con suivante. On pose L ¾ ( z ) ´ 1 lorsque ¾ est la suite vide ; si ¾ = ( ® 1 , . . . , ® p ) , on d¶esigne par ¾ 0 la suite ( ® 1 , . . . , ® p ¡ 1 ) et on pose ¾ 0 ( u ) du L ¾ ( z ) = Z oz L u ¡ ® p .
§
Pour ¾ = ( ® 1 , . . . , ® p ) , posons A ¾ := A ® p ¢ ¢ ¢ A ® 1 . Alors Y( z ) = X L ¾ ( z ) A ¾ ¾ ∈S (§) est une matrice fondamentale de solutions de (A):laconvergencedecetteserieest un exercice, la relation Y 0 ( z ) = A( z ) Y( z ) est imm¶ediate, et l’on a Y( o ) = I . Pour oµu o d¶e ® § , la matrice de monodromie M ® est donc ¶egale µa Y( o ® ) , ® signe le transform¶e de o parlactiondelelement ° ® de ¼ 1 ( P 1 §) . On obtient M ® = X L ¾ ( o ® ) A ¾ . ∈S (§)
¾
         
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Lorsque ¾ = ( ® ) , on a L ¾ ( o ¯ ) = L ¾ ( o ) = 0 pour ¯ 6 = ® , et L ¾ ( o ® ) = 2 ¼ i ; legaliteprecedentesereecritdonc M ® = ® X L ¾ ( o ® ) A ¾ . I + 2 ¼ i A + Card( ¾ ) ¸ 2
Il en r¶esulte que l’application (A ® ) 7→ (M ® ) est analytique, et que son application tangenteµalorigineest2 ¼ i foislapplicationidentique.Letheorµemedinversion locale permet de conclure que les matrices (M ) ® § sont les matrices de monodro-® mie d’un systµeme y 0 ( z ) = X z A ® ®y ( z ) dµes qu’elles sont su±samment proches ¡ ® § de l’identit¶e (on peut aussi d¶eduire ce r¶esultat de l’approche de Plemelj, cf. l’expos¶e IV.3 de [ENS]).
d) Le point de vue moderne Il a ¶et¶e introduit par RÄohrl [RÄo]. Soient U une surface de Riemann, E un ¯breholomorphesurU.Rappelonsquune connexion (holomorphe) sur E est un op¶erateur di® ¶erentiel d’ordre 1
r : E ¡ → E ­ ­ 1U quiveri¯elidentitedeLeibnitz r ( f s ) = f r ( s ) + s ­ df pour toute section s de E sur un ouvert V de U et toute fonction f holomorphe sur V (autrement dit, le symbole de r estlidentite).SiU= P 1 § , avec § 6 = , le ¯br ¶e E est trivial, desortequunesectiondeEsidenti¯eµaunefonctionholomorphe y : U C n ; il existe alors une application holomorphe A : U M n ( C ) telle que ¡ 0 z ) ¡ A( z ) y ( z ) ¢ dz . r y ( z ) = y (
Les sections horizontales de (E , r ) (c’est-µa-dire, par d¶e¯nition, les sections de Eannuleespar r ) correspondent donc aux solutions du systµeme di® ¶erentiel y 0 ( z ) = A( z ) y ( z ) . Les sections horizontales multiformes (autrement dit holomorphes sur le re-vˆetementuniverseldeU)de(E , r ) forment un espace vectoriel S de dimension n , sur lequel le groupe ¼ 1 (U) opµere ; la repr¶esentation ½ : ¼ 1 (U) GL (S) est la representationdemonodromie associ¶ee µa (E , r ).Ondeduitfacilementdu th¶eorµeme d’existence des solutions d’¶equations di® ¶erentielles que le foncteur qui
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