Seminaire P LELONG P DOLBEAULT H SKODA Analyse 24e annee Lecture Notes in Math Springer pages

De
Publié par

Seminaire P. LELONG, P. DOLBEAULT, H. SKODA (Analyse) 24e annee, 1983/84 Lecture Notes in Math. 1198, Springer, pages 88–97 Un exemple de fibre holomorphe non de Stein a fibre C2 au-dessus du disque ou du plan par Jean-Pierre Demailly Universite de Grenoble I, Institut Fourier Laboratoire de Mathematiques associe au C.N.R.S. n? 188 BP 74, F-38402 Saint-Martin d'Heres, France Nous construisons un exemple simple d'espace fibre holomorphe a fibre C2 au-dessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de ce fibre proviennent de fonctions sur la base. We construct a simple example of a non-Stein holomorphic fiber bundle over the disk or the plane, with fiber C2 and with structural automorphisms of exponential type. We show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis. 0. – Introduction L'objet de cette note est de donner un exemple aussi simple que possible d'un fibre holomorphe non de Stein a fibre C2 ayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. C'est H. Skoda ([6], 1977) qui a donne le premier exemple d'un fibre non de Stein a base et a fibre de Stein, repondant ainsi par la negative a un probleme souleve par J.

  • groupe structural des automorphismes analytiques de la fibre

  • fibre

  • automorphismes de transition

  • principe de construction

  • relations de transition voulues

  • disque determine par les points diametralement

  • sup x?ha


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 32
Tags :
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 7
Voir plus Voir moins
S´eminaireP.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA (Analyse)24eanne´e,1983/84 Lecture Notes in Math.1198, Springer, pages 88–97
Unexempledebre´holomorphenondeStein 2 `abreCaudessus du disque ou du plan
par JeanPierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier LaboratoiredeMath´ematiquesassoci´eauC.N.R.S.n188 BP74,F38402SaintMartindHe`res,France
2 Nousconstruisonsunexemplesimpledespacebre´holomorphea`breCaudessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de cebr´eproviennentdefonctionssurlabase.
We construct a simple example of a nonStein holomorphic fiber bundle over the disk 2 or the plane, with fiberCWeand with structural automorphisms of exponential type. show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis.
0. – Introduction Lobjetdecettenoteestdedonnerunexempleaussisimplequepossibledunbre´ 2 holomorphenondeSteina`breCayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel.
CestH.Skoda([6],1977)quiadonne´lepremierexempledunbr´enondeStein`abase eta`bredeStein,re´pondantainsiparlan´egative`aunproble`mesoulev´eparJ.P.Serre [5]en1953.Nousavonsparlasuiteam´eliore´laconstructiondeH.Skodapourobtenir uncontreexempledontlabasee´taitsimplementconnexe[1],[2],maislade´monstration restait obscure du fait de la profusion d’artifices techniques plus ou moins inutiles. Nous espe´ronsavoiricibeaucoupclari´ecetexemple.
Leprincipedelaconstructionreposesurunein´egalite´duea`P.Lelong[4],quiimposedes restrictionss´ev`eres`alacroissancedesfonctionsplurisousharmoniques(pshenabre´ge´)le longdesbres,cf.lemme1.1.Cetteine´galit´eentraˆıneunefortedistorsiondelacroissance suivantlesdie´rentesbrespourunchoixad´equatdesautomorphismesdetransition. Graˆcea`uncalculdenveloppepseudoconvexeutilisantleprincipedudisque,onende´duit alorsquelesfonctionspshdubre´sontconstantessurlesbres,cf.th´eor`eme4.6.Dans notreexemplelebre´estdeplustopologiquementtrivial.
– 1 –
1.Ine´galite´deconvexit´edeP.Lelong SoitΩunevari´ete´analytiquecomplexecomplexededimensionpetVune fonction psh n ´ sur Ω×Codtne´nn.atEouunrtveωΩ relativement compact, on pose
M(V, ω, rsup) = V, ω×D(r)
n ou`D(r)dilypoleneigesd´e0dttneredecqseuonerayrdansC,]e.sDP.apr`ng[4Lelo M(V, ω, r) est fonction convexe croissante de logr; en outre cette fonction est non cons n tante siVest non constante sur au moins une fibre{x} ×C,xΩ. Nousred´emontronsiciline´galite´deP.Lelongdanslecasparticulierou`lesouverts n conside´re´sdanslabasesontdespolydisquesconcentriquesdeCen´e´eg´seraleil(tilage´n d´eduitdailleursfacilementdececasparticulier).
n p Lemme 1.1.SoitVune fonction psh>0surΩ×Cu`o,Ωest un ouvert deC, et D(α)D(β)D(γ)Ω. Alors pour toutr >0e´te´niilagnalo
σ M(v, D(α), r)6M(V, D(β), r) +M(V, D(γ),1)
o`uσ= log(γ/α)/log(γ/β)>1.
D´emonstrationene,tdE.noital,]cnofloLe[4ngr`apP.esM(V, D(ρ), r) est fonction convexe du couple (logρ,logr). On a donc   1 1 σ M(V, D(β), r)6M(V, D(α), r) + 1M(V, D(γ),1) σ σ σ 6M(V, D(α), r) +M(V, D(γ),1)
si l’on choisitσtel que
  1 1 logβ= logα+ 1logγ. σ σ
2.Constructiondubr´eX Labasedubr´eseraunouvertΩCcontenant le disqueD(0,3). On pose alors
Ω1= Ωr{−1},Ω2= Ωr{1}, Ω0= Ω1Ω2= Ωr{−1,1},
2 Ond´enitunbr´eXera`bCaudessus de Ω en recollant les deux cartes trivialisantes 2 2 Ω1×Cet Ω2×Cau moyen de l’automorphisme de transition
2 2 τ12: Ω0×C−→Ω0×C 1 ττ de´niparlaformuleτ12=01 02avec   τ01(x;z1, z2) =x;z1, z2exp(z1u(x)) (2.1)   τ02(x;z1, z2) =x;z1exp(z2u(x)), z2
– 2 –
2 2 2 ou`xΩ0, (z1, z2)Cetu(x) = exp(1/(xcarte Ω1)). La 0×Cet les automorphismes τ01,τ02uritcr´eeeditsiroduseulci`asemiednrellpicreoronsptnadtnos´te´tnieτ12, bienquilssoientenprincipesuperuspourd´enirlebr´eX.
Une fonction pshVsurXestdoncr(etplrinturapee´tnese´rpeVj)j=0,1,2de fonctions 2 psh sur Ωj×Ceespli´nartitisnolearelsrloatdens
(2.2)
Vk=Vjτjk,
06j, k62.
Remarque 2.3.e´rbelIeleds´aistuerqoievXest trivial au sensCailbertni´e,ed relativement au groupe structural des automorphismes analytiques de la fibre. Soit en effetf1,f2, des fonctionsCsde1oint`asupdtcadsnatroppmocesagsjdivoesinis etOnobtientalorsuneresp1evemceitgelatn´,ur1s`aessioisvdeulpsegan.stiteps 2 2 2 trivialisation globaleγ:XΩ×Cen recollant les morphismesγj: Ωj×CΩj×C de classeCd´psraein   γ0(x;z1, z2) =x;z1exp(z2f2(x)u(x)), z2exp(z1f1(x)u(x))   (2.4)γ1(x;z1, z2) =x;z1, z2exp(z1(1f1(x))u(x))   γ2(x;z1, z2) =x;z1exp(z2(1f2(x))u(x)), z2.
Lelecteurv´erieraquecesmorphismessatisfontbienlesrelationsdetransitionvoulues γjτjk=γk.
3. – Restrictions sur la croissance des fonctions psh 1 On note Δ =D(0,edis1)lnit´queusnadeC,ω=D(0,)Ω0onet,`eidnscoreles 2 automorphismesdudisquede´nispar
x+a ha(x) =, 1 +ax
aΔ.
Lesine´galite´ssuivantesmontrentquelacroissancedesfonctionspshlelongdesbresde Xts`rseoftrse.seuostesimde`aessrictronti
Proposition 3.1.SoitVune fonction psh surX. Alors il existe une constante C=C(V)>0telle que pour tousj= 1,2etr >1on ait    3 M(Vj, ω, r)6M V0, ω,exp (logr) +C.
2 De´monstrationl’application (. Comme x;z1, z2)7→(x;z2, z1d´e)ruΩinse0×C 2 2 s´etendenunautomorphismedeXqchanui´eracselegΩset1×Cet Ω2×C, il suffit de raisonner pourj.Quitte`aremplacre1=VparV= max(V,np,ot´eualegenemt)0 supposerV>e´leusrnrenois´d.Con0a[0,et.Lid´enemerueire´tlue´xraseui]q1 consiste`aobserverqueVea`e´uealegpstsqreV0surha(ω)×D(r) siaest assez proche de 1, parce que la fonctionu(xe)tsspettr`euritesha(ω). Le lemme 1.1 permet alors de
– 3 –
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.