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S´eminaireP.LELONG,P.DOLBEAULT,H.SKODA (Analyse)24eanne´e,1983/84 Lecture Notes in Math.1198, Springer, pages 88–97
Unexempledebre´holomorphenondeStein 2 `abreCaudessus du disque ou du plan
par JeanPierre Demailly Universit´edeGrenobleI,InstitutFourier LaboratoiredeMath´ematiquesassoci´eauC.N.R.S.n188 BP74,F38402SaintMartindHe`res,France
2 Nousconstruisonsunexemplesimpledespacebre´holomorphea`breCaudessus du disque ou du plan, dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel. Nous montrons en fait que toutes les fonctions holomorphes ou plurisousharmoniques de cebr´eproviennentdefonctionssurlabase.
We construct a simple example of a nonStein holomorphic fiber bundle over the disk 2 or the plane, with fiberCWeand with structural automorphisms of exponential type. show in fact that all holomorphic or plurisubharmonic functions on the bundle arise from functions on the basis.
0. – Introduction Lobjetdecettenoteestdedonnerunexempleaussisimplequepossibledunbre´ 2 holomorphenondeSteina`breCayant pour base le disque ou le plan, et dont les automorphismes de transition sont de type exponentiel.
CestH.Skoda([6],1977)quiadonne´lepremierexempledunbr´enondeStein`abase eta`bredeStein,re´pondantainsiparlan´egative`aunproble`mesoulev´eparJ.P.Serre [5]en1953.Nousavonsparlasuiteam´eliore´laconstructiondeH.Skodapourobtenir uncontreexempledontlabasee´taitsimplementconnexe[1],[2],maislade´monstration restait obscure du fait de la profusion d’artifices techniques plus ou moins inutiles. Nous espe´ronsavoiricibeaucoupclari´ecetexemple.
Leprincipedelaconstructionreposesurunein´egalite´duea`P.Lelong[4],quiimposedes restrictionss´ev`eres`alacroissancedesfonctionsplurisousharmoniques(pshenabre´ge´)le longdesbres,cf.lemme1.1.Cetteine´galit´eentraˆıneunefortedistorsiondelacroissance suivantlesdie´rentesbrespourunchoixad´equatdesautomorphismesdetransition. Graˆcea`uncalculdenveloppepseudoconvexeutilisantleprincipedudisque,onende´duit alorsquelesfonctionspshdubre´sontconstantessurlesbres,cf.th´eor`eme4.6.Dans notreexemplelebre´estdeplustopologiquementtrivial.
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1.Ine´galite´deconvexit´edeP.Lelong SoitΩunevari´ete´analytiquecomplexecomplexededimensionpetVune fonction psh n ´ sur Ω×Codtne´nn.atEouunrtveωΩ relativement compact, on pose
M(V, ω, rsup) = V, ω×D(r)
n ou`D(r)dilypoleneigesd´e0dttneredecqseuonerayrdansC,]e.sDP.apr`ng[4Lelo M(V, ω, r) est fonction convexe croissante de logr; en outre cette fonction est non cons n tante siVest non constante sur au moins une fibre{x} ×C,xΩ. Nousred´emontronsiciline´galite´deP.Lelongdanslecasparticulierou`lesouverts n conside´re´sdanslabasesontdespolydisquesconcentriquesdeCen´e´eg´seraleil(tilage´n d´eduitdailleursfacilementdececasparticulier).
n p Lemme 1.1.SoitVune fonction psh>0surΩ×Cu`o,Ωest un ouvert deC, et D(α)D(β)D(γ)Ω. Alors pour toutr >0e´te´niilagnalo
σ M(v, D(α), r)6M(V, D(β), r) +M(V, D(γ),1)
o`uσ= log(γ/α)/log(γ/β)>1.
D´emonstrationene,tdE.noital,]cnofloLe[4ngr`apP.esM(V, D(ρ), r) est fonction convexe du couple (logρ,logr). On a donc   1 1 σ M(V, D(β), r)6M(V, D(α), r) + 1M(V, D(γ),1) σ σ σ 6M(V, D(α), r) +M(V, D(γ),1)
si l’on choisitσtel que
  1 1 logβ= logα+ 1logγ. σ σ
2.Constructiondubr´eX Labasedubr´eseraunouvertΩCcontenant le disqueD(0,3). On pose alors
Ω1= Ωr{−1},Ω2= Ωr{1}, Ω0= Ω1Ω2= Ωr{−1,1},
2 Ond´enitunbr´eXera`bCaudessus de Ω en recollant les deux cartes trivialisantes 2 2 Ω1×Cet Ω2×Cau moyen de l’automorphisme de transition
2 2 τ12: Ω0×C−→Ω0×C 1 ττ de´niparlaformuleτ12=01 02avec   τ01(x;z1, z2) =x;z1, z2exp(z1u(x)) (2.1)   τ02(x;z1, z2) =x;z1exp(z2u(x)), z2
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2 2 2 ou`xΩ0, (z1, z2)Cetu(x) = exp(1/(xcarte Ω1)). La 0×Cet les automorphismes τ01,τ02uritcr´eeeditsiroduseulci`asemiednrellpicreoronsptnadtnos´te´tnieτ12, bienquilssoientenprincipesuperuspourd´enirlebr´eX.
Une fonction pshVsurXestdoncr(etplrinturapee´tnese´rpeVj)j=0,1,2de fonctions 2 psh sur Ωj×Ceespli´nartitisnolearelsrloatdens
(2.2)
Vk=Vjτjk,
06j, k62.
Remarque 2.3.e´rbelIeleds´aistuerqoievXest trivial au sensCailbertni´e,ed relativement au groupe structural des automorphismes analytiques de la fibre. Soit en effetf1,f2, des fonctionsCsde1oint`asupdtcadsnatroppmocesagsjdivoesinis etOnobtientalorsuneresp1evemceitgelatn´,ur1s`aessioisvdeulpsegan.stiteps 2 2 2 trivialisation globaleγ:XΩ×Cen recollant les morphismesγj: Ωj×CΩj×C de classeCd´psraein   γ0(x;z1, z2) =x;z1exp(z2f2(x)u(x)), z2exp(z1f1(x)u(x))   (2.4)γ1(x;z1, z2) =x;z1, z2exp(z1(1f1(x))u(x))   γ2(x;z1, z2) =x;z1exp(z2(1f2(x))u(x)), z2.
Lelecteurv´erieraquecesmorphismessatisfontbienlesrelationsdetransitionvoulues γjτjk=γk.
3. – Restrictions sur la croissance des fonctions psh 1 On note Δ =D(0,edis1)lnit´queusnadeC,ω=D(0,)Ω0onet,`eidnscoreles 2 automorphismesdudisquede´nispar
x+a ha(x) =, 1 +ax
aΔ.
Lesine´galite´ssuivantesmontrentquelacroissancedesfonctionspshlelongdesbresde Xts`rseoftrse.seuostesimde`aessrictronti
Proposition 3.1.SoitVune fonction psh surX. Alors il existe une constante C=C(V)>0telle que pour tousj= 1,2etr >1on ait    3 M(Vj, ω, r)6M V0, ω,exp (logr) +C.
2 De´monstrationl’application (. Comme x;z1, z2)7→(x;z2, z1d´e)ruΩinse0×C 2 2 s´etendenunautomorphismedeXqchanui´eracselegΩset1×Cet Ω2×C, il suffit de raisonner pourj.Quitte`aremplacre1=VparV= max(V,np,ot´eualegenemt)0 supposerV>e´leusrnrenois´d.Con0a[0,et.Lid´enemerueire´tlue´xraseui]q1 consiste`aobserverqueVea`e´uealegpstsqreV0surha(ω)×D(r) siaest assez proche de 1, parce que la fonctionu(xe)tsspettr`euritesha(ω). Le lemme 1.1 permet alors de
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