Seminaire Poincare XIV Seminaire Poincare

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Seminaire Poincare XIV (2010) 1 – 26 Seminaire Poincare (Ir)reversibilite et entropie Cedric Villani Universite de Lyon & Institut Henri Poincare 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE La cosa piu meravigliosa e la felicita del momento L. Ferre La fleche du temps fait partie de notre experience sensible et nous la ressentons chaque jour : les miroirs brises ne se recollent pas, les etres humains ne rajeunissent pas, les cernes croissent sans cesse dans les troncs des arbres, nous avons la memoire des evenements passes et pas des evenements futurs. En somme, le temps s'ecoule toujours dans le meme sens ! Pourtant, les lois fondamentales de la physique classique ne privilegient aucune direction du temps et obeissent a une rigoureuse symetrie entre passe et futur. Il est possible, comme discute dans l'article de T. Damour dans ce meme volume, que l'irreversibilite soit inscrite dans d'autres lois de la physique, par exemple du cote de la relativite generale ou de la mecanique quantique. Depuis Boltzmann, la physique statistique avance une autre explication : la fleche du temps traduit un flot constant des evenements moins probables vers les evenements plus probables. Avant de continuer sur cette interpretation qui constitue le fil directeur de tout l'expose, je noterai que l'ecoulement du temps n'est pas forcement base sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n'est pas parce qu'un evenement est probable qu'il va se realiser effectivement, or la fleche du temps semble inexorable et ne tolerer aucune exception.

  • histoire de l'interpretation statistique de la fleche du temps

  • nouvelle mine de problemes mathematiques

  • theorie cinetique des gaz

  • concentree sur le vecteur des positions

  • enonce physique

  • possibilites de collision triple

  • particule

  • fleche du temps

  • potentiel


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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S´eminairePoincare´XIV(2010)126
(Ir)re´versibilit´eetentropie
Ce´dricVillani Universit´edeLyon &InstitutHenriPoincar´e 11 rue Pierre et Marie Curie, 75231 Paris Cedex 05, FRANCE
S´minairePoincare´ e
Lacosapiu`meravigliosa`elafelicit`adelmomento L. Ferre ´
La`smpteduheeceiresecnisneeelbtiarenedreotp´exstnouslaressentontpaif chaquejour:lesmiroirsbris´esneserecollentpas,lesˆetreshumainsnerajeunissent pas,lescernescroissentsanscessedanslestroncsdesarbres,nousavonslam´emoire dese´ve´nementspass´esetpasdese´ve´nementsfuturs.Ensomme,letempss´ecoule toujoursdanslemˆemesens!Pourtant,lesloisfondamentalesdelaphysiqueclassique neprivil´egientaucunedirectiondutempsetob´eissent`aunerigoureusesyme´trie entrepasse´etfutur.Ilestpossible,commediscut´edanslarticledeT.Damourdans cememevolume,quelirr´eversibilit´esoitinscritedansdautresloisdelaphysique, ˆ parexempleducˆot´edelarelativite´ge´ne´raleoudelam´ecaniquequantique.Depuis Boltzmann, laphysique statistiquea`eon:lcatixplirteeenuacnueaavspdehcmetu traduitunotconstantdes´eve´nementsmoinsprobablesversles´ev´enementsplus probables.Avantdecontinuersurcetteinterpr´etationquiconstitueleldirecteur detoutlexpose´,jenoteraiquele´coulementdutempsnestpasforc´ementbase´sur une explication unique. Au premier examen, la suggestion de Boltzmann semble saugrenue : ce n’est pasparcequun´eve´nementestprobableiuqaliserlvaser´eeffectivemento,lraech`e dutempssembleinexorableetnetole´reraucuneexception.Lare´ponsea`cetteob-jection tient dans un slogan : laond´echellesse´aparit. Si les lois fondamentales de laphysiquesexercentauniveaumicroscopique,particulaire(atomes,mole´cules...), lesph´enome`nesquenouspouvonssentiroumesurermettentenjeuunnombre conside´rabledeparticules.Leetdecenombreestdautantplusgrandquilinter-vient dans des calculs combinatoires : siNrapsicittnapnua`e,lenombredatome exp´erience,estdelordrede1010s,maiabled´erisnoca`je´dtsec,N! ou 2Nsont des nombres surnaturellement grands, invincibles. Lesinnombrablesde´batsentrephysiciensquisesontensuivispendantplus dunsie`cle,etsepoursuiventencoreaujourdhui,t´emoignentdelasubtilit´eetde la profondeur des arguments de Maxwell et Boltzmann, porte-drapeaux d’une pe-titer´evolutionscientiquequisaccomplitdanslesann´ees1860et1870,etquivit naıˆtrelesfondementsdelath´eoriecin´etiquedesgazmoderne,leconceptuniversel ` dentropiestatistique,etlanotiondirre´versibilit´emacroscopique.Adirevrai,les argumentse´taientsisubtilsqueMaxwelletBoltzmannsysonteux-mˆemesparfois perdus,he´sitantsurcertainesinterpre´tations,alternantleserreursnaı¨vesavecles conceptsprofonds;lesplusgrandsscientiquesdelandudix-neuvie`mesie`cle,
2C.VillaniSe´minairePoincare´ commePoincar´eouLordKelvin,nontpase´te´enreste.Ontrouveraunaperc¸ude cesatermoiementsdansletextedeDamourde´ja`cite´;pourmapartjemecontenterai depre´senteruneversiond´ecante´edelathe´oriedeBoltzmann. Enretra¸cantlhistoiredelinterpr´etationstatistiquedela`echedutemps,nous auronsloccasiondeectuerunvoyageaucœurdeprobl`emesprofondsquidepuis plusdunsie`cleagitentmath´ematiciensetphysiciens.On´evoqueraa`landecetexte lafa¸condontLandautvoleren´eclatleparadigmedeBoltzmann,d´ecouvrantune apparenteirre´versibilite´la`o`uilnesemblaitpasyenavoir,etouvrantunenouvelle minedeproble`mesmathe´matiques. Lesnotationsutilise´esdanscetexpose´sontdanslensembleclassiques;jenoterai N={123   }gol=goltnemhtiraieerp´´en.e
1 Le royaume inaccessible de Newton On va adopter ici une description purement classique de notre univers physique, selonleslois´edict´eesparNewton:lespaceambientesteuclidien,letempsabsolu, etlacc´el´erationeste´galeauproduitdelamasseparlare´sultantedesforces. Danslecasdeladescriptiondungaz,ceshypoth`esessontdiscutables:dapre`s E.G.D.Cohen,lesuctuationsquantiquesnesontpasne´gligeablesauniveaume´so-scopique.Lanatureprobabilistedelam´ecaniquequantiqueesttoujoursde´battue; admettonscependantquelincertitudeaccruequir´esulteraitdelapriseencompte de ces fluctuations ne puisse qu’arranger nos affaires, au moins qualitativement, et concentrons-nousdoncsurdesmod`elesclassiquesetde´terministes,a`laNewton. 1.1Lemod`eledessph`eresdures Pourxerlesid´ees,conside´ronsunsyste`medeparticulessphe´riqueside´ales rebondissant les unes sur les autres : soientNparticules dans une boˆıte Λ, on d´esigneparXi(t) la position au tempst´teeulicrtparo´eumenecudaledertni. Les re`glesdumouvements´enoncentcommesuit: tnibne´sciluseostlesparttialemenuqesinisnOoppu(es´earepi6=j=|XiXj|>2rpe´ste)roi(lapaesdear´ed(Xi ∂Λ)> rpour touti). aTcesetnuqitioconds´epnsdesnoitarasitastno,lesitfameveouemtnset ¨ ¨ rectiligne uniforme :Xi(t) = 0 pour toutiotnne`o,oluX=d2Xdt2ionerat´el´accl deX. Quand deux particules se rencontrent, leurs vitesses changent brutalement selon les lois de Descartes : si|Xi(t)Xj(t)|= 2r, alors ˙ ˙ X˙˙i(t+) =X˙i(t)2DXi(t)X˙˙j(t) nijEnijXj(t+) =Xj(t)2DX˙j(t)Xi(t) njiEnjio`ulonnotenij= (XiXj)|XiXj|vecteur unitaire joignant les centres desle boules en collision. Quand une particule rencontre le bord, sa vitesse change aussi : si|Xix|=r avecxΛ, alors X˙i(t+) =X˙i(t)2X˙i(t) n(x)n(x)
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