Similitudes de C

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Similitudes dans C Dedou Novembre 2009

  • similitude complexe

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  • angle pi2


Publié le : dimanche 1 novembre 2009
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Similitudes dansC
De´dou
Novembre 2009
Similitudes vectorielles complexes
De´nition La similitude (vectorielle) de rapportket d’angleθdansCest iθ lapplicationline´airesk:CC:=z7→ke z.
Le rapportkest positif ou nul. Les similitudes vectorielles deC forment un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l’espace vectorielLin(C,Coitacilpae´nilsndeiresapes)dC.deˆemui-mansl Exo π Ecrivez la similitude vectorielle de rapport 2 et d’angle . 2
Similitudes vectorielles et multiplication complexe
Proposition Toute applicationsa:CC:=z7→azavecacomplexe est une similitude complexe. Son rapport est le module deaet, siaest non nul, son angle est l’argument dea.
Exo Donnez le rapport et l’argument de la similitudez7→2iz.
Similitudes complexes
D´enition Dans le plan complexe, la similitude de rapportk, d’angleθet de centrec,nee´tosc,k, est l’unique application affine deCdansC envoyantcsurceerd(enodtaptltiarinelai´eCdansC) est la similitude (vectorielle) de rapportket d’angleθ.
Exemple π La similitude de centre 1, de rapport 2 et d’angle est 2 l’applicationz7→2iz2i+ 1.
Formealg´ebriquedessimilitudescomplexes
Proposition Les similitudes complexes sont exactement les applications de la formez7→az+bavecaetbcomplexes.
Lamultiplicationcomplexedonnea`cestransformationsuneforme alg´ebriquetr`essimple.
Le´quationducentre
Proposition Le centrecd’une similitude complexes´eitdor1dentreppared oudangledie´rentde0estcaract´erise´parle´quationaucentre:
s(c) =c.
Exemple Le centrecde la similitude z7→(1i)z+ 3i ve´rie c= (1i)c+ 3i.
Exo Ecrivezle´quationaucentredelasimilitudez7→(3 + 4i)zi.
L´equationdelasimilitude
Proposition La similitudesde centrec, de rapportket d’angleθtransforme 0 tout pointzen un pointzedutilimisaledn:´vre´equatioiantl0iθ zc=ke(zc).
Exo Calculer la similitude de centre (2 + 3i) et de rapport2 et π d’angle.. 2
Composition de similitudes
Proposition Unecompos´eedesimilitudesestunesimilitude lerapportdelacompos´eededeuxsimilitudesestleproduit des rapports langledelacompos´eededeuxsimilitudesestlasommedes angles
M´ethodepourcalculerlecentredunecompose´e oncalculelesformesalge´briquesdescomposants oncomposelesformesalg´ebriques onre´soutle´quationaucentre.
R´eciproquedunesimilitude
Proposition Lar´eciproquedelasimilitudedecentrecde rapportk>0 et 1 d’angleθest la similitude de centrec, de rapport et d’angleθ. k
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