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Examen Final Cryptographie

de profil-urra-2012

Corrigé de l'exercice

de profil-urra-2012

suivant
APPLICATION LINÉAIRE
I Généralités
Soit
2
R
E
=
ou
3
R
E
=
.
Définition :
E
E
f
:
est une application linéaire si pour tout
(
29
2
,
E
u
u
et pour tout
(
29
2
,
R
λ
λ
(
29
(
29
(
29
u
f
u
f
u
u
f
+
=
+
λ
λ
λ
λ
Exemple :
1°)
2
R
E
=
, Soit
j
y
i
x
u
+
=
un vecteur de
R
2
.
Soit
r
l’application qui à
u
un vecteur de
R
2
, telle que
(
29
j
x
i
y
u
r
+
-
=
Ou encore :
-
x
y
y
x
R
R
r
2
2
:
Ou encore
(
29
j
i
r
=
et
(
29
i
j
r
-
=
, en effet
(
29
(
29
(
29
(
29
j
x
i
y
j
yr
i
xr
j
y
i
x
r
u
r
+
-
=
+
=
+
=
Ce qui montre que l’on peut aussi définir
r
pour tout
u
en connaissant
(
29
i
r
et
(
29
j
r
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
x
x
i
y
y
j
y
y
i
x
x
r
j
y
i
x
j
y
i
x
r
u
u
r
+
+
+
-
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
u
r
u
r
j
x
i
y
j
x
i
y
u
u
r
+
=
+
-
+
+
-
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2°)
2
R
E
=
. Soit
j
y
i
x
u
+
=
un vecteur de
R
2
.
Soit
p
l’application qui à
u
un vecteur de
R
2
, telle que
(
29
j
y
x
i
y
x
u
p
+
+
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
Montrons que
p
est linéaire
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
i
x
x
p
j
y
i
x
j
y
i
x
p
u
u
p
+
+
+
=
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
x
x
i
y
y
x
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
y
j
x
x
i
y
y
i
x
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
j
y
j
y
v
j
x
j
x
i
y
i
y
i
x
i
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
j
y
j
x
i
y
i
x
j
y
j
x
i
y
i
x
u
u
p
+
+
+
+
+
+
+
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
+
+
+
+
+
+
+
=
+
j
y
j
x
i
y
i
x
j
y
j
x
i
y
i
x
u
u
p
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
(
29
+
+
+
+
+
+
+
=
+
j
y
x
i
y
x
j
y
x
i
y
x
u
u
p
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
λ
λ
λ
λ
(
29
(
29
(
29
u
p
u
p
u
u
p
+
=
+
λ
λ
λ
λ
On peut aussi définir
p
de la façon suivante :
+
+
y
x
y
x
y
x
R
R
p
2
1
2
1
2
1
2
1
:
2
2
1
Ou encore
(
29
j
i
i
p
2
1
2
1
+
=
et
(
29
j
i
j
p
2
1
2
1
+
=
, en effet :
(
29
(
29
(
29
(
29
j
y
x
i
y
x
j
i
y
j
i
x
j
yp
i
xp
j
y
i
x
p
u
p
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Ce qui montre que l’on peut aussi définir
p
pour tout
u
en connaissant
(
29
i
p
et
(
29
j
p
Définition :
E
E
f
:
. L’image de
E
par
u
est
(
29
(
29
{
}
u
f
v
que
tel
E
u
F
v
E
u
u
=
5
=
=
,
/
Im
Théorème : L’image par
f
, une application linéaire, d’un espace vectoriel, est un sous
espace vectoriel de
E
.
Propriété
: Si
f
est linéaire,
(
29
E
E
u
0
0
=
.
Exemple :
Pour la même application linéaire, on vérifie que :
(
29
0
0
=
p
Soit
2
R
a
de coordonnées
=
1
2
a
X
n’appartient pas à l’image de
f
.
Car s’il existe
2
R
b
tel que
(
29
a
b
p
=
alors
=
+
+
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
, alors
=
+
=
+
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
y
x
y
x
ce qui n’est pas possible.
Soit
2
R
c
de coordonnées
=
3
3
c
X
appartient à l’image de
p
.
Car il existe
2
R
d
tel que
(
29
c
d
p
=
.
En effet
3
2
1
2
1
3
2
1
2
1
3
2
1
2
1
=
+
=
+
=
+
y
x
y
x
y
x
Donc si
=
2
3
2
3
d
X
alors
(
29
c
d
p
=
, mais ce n’est pas le seul,
=
0
3
d
X
convient aussi, en fait
toute la droite d’équation
6
3
2
1
2
1
=
+
=
+
y
x
y
x
convient.
Théorème
:
2
2
:
R
R
f
une application linéaire alors
(
29
(
29
(
29
(
29
j
f
i
f
Vect
f
,
Im
=
Théorème
:
3
3
:
R
R
f
une application linéaire alors
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
k
f
j
f
i
f
Vect
f
,
,
Im
=
Démonstration :
Pour tout
f
v
Im
, il existe
E
u
, tel que
k
z
j
y
i
x
u
+
+
=
et
(
29
u
f
v
=
.
Donc
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
k
zf
j
yf
i
xf
k
z
j
y
i
x
f
u
f
v
+
+
=
+
+
=
=
Définition :
2
On appelle
E
Id
l’application qui vérifie pour tout
E
u
,
(
29
u
u
Id
E
=
.
Exemple :
Dans
3
R
.
Soit
p
l’application linéaire définie par :
(
29
k
j
i
p
-
-
=
,
(
29
k
j
i
j
p
+
+
=
2
et
(
29
j
i
k
p
-
-
=
.
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
k
p
j
p
i
p
Vect
p
,
,
Im
=
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
k
p
j
p
i
p
k
p
j
p
i
p
dét
=
,
,
(
29
i
p
a pour coordonnées
-
-
1
1
0
et
(
29
(
29
k
p
j
p
a pour coordonnées
-
=
-
-
1
1
1
0
1
1
1
2
1
Donc
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
0
1
1
0
,
,
=
-
+
=
=
k
p
j
p
i
p
k
p
j
p
i
p
dét
(
29
(
29
(
29
(
29
k
p
j
p
i
p
,
,
n’est pas une base.
Or
(
29
i
p
et
(
29
j
p
ne sont pas proportionnels, d’où l’on déduit que
(
29
p
Im
est un plan de
3
R
dont une base est
(
29
(
29
(
29
(
29
k
j
i
k
j
j
p
i
p
+
+
-
-
=
2
,
,
II Noyau
Soient
E
E
f
:
une application linéaire,
2
R
E
=
ou
3
R
E
=
.
Définition :
On appelle noyau de
f
l’ensemble des vecteurs
u
de
E
, tels que
(
29
E
u
f
0
=
. On note
cet ensemble :
(
29
(
29
{
}
F
u
f
E
u
f
Ker
0
,
=
=
Exemples :
a) Soit
2
2
:
R
R
p
l’application qui à
x
un vecteur de
R
2
, telle que :
(
29
j
y
x
i
y
x
u
p
+
+
+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
(
29
(
29
x
y
y
x
j
y
x
i
y
x
u
p
p
Ker
u
-
=
=
+
=
+
+
+
=
0
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
0
Donc
(
29
j
i
x
j
x
i
x
u
-
=
-
=
, d’où l’on déduit que
(
29
p
Ker
est la droite dont une base est le
vecteur
j
i
-
.
b) Soit
3
3
:
R
R
p
l’application linéaire définie par :
(
29
k
j
i
p
-
-
=
,
(
29
k
j
i
j
p
+
+
=
2
et
(
29
j
i
k
p
-
-
=
.
On en déduit l’image d’un vecteur quelconque :
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
j
i
z
k
j
i
y
k
j
x
k
zp
j
yp
i
xp
k
z
j
y
i
x
p
u
p
-
-
+
+
+
+
-
-
=
+
+
=
+
+
=
2
(
29
(
29
(
29
(
29
k
y
x
j
z
y
x
i
z
y
u
p
+
-
+
-
+
-
+
-
=
2
(
29
(
29
(
29
(
29
(
29
=
=
=
+
-
=
-
+
-
=
-
=
+
-
+
-
+
-
+
-
=
z
y
z
x
z
x
z
y
x
z
y
k
y
x
j
z
y
x
i
z
y
u
p
p
Ker
u
0
0
2
0
0
2
0
Donc
(
29
k
j
i
z
k
z
j
z
i
z
u
+
+
=
+
+
=
, d’où l’on déduit que
(
29
p
Ker
est la droite dont une base est le
vecteur
k
j
i
+
+
.
Propriété :
3