Sous espace engendre, octobre 2010

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Sous-espace engendre Dedou Octobre 2010

  • droite engendree par le vecteur

  • vect

  • multiplicite des generateurs

  • plan d'equation z


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Sous-espaceengendr´e
De´dou
Octobre 2010
Ladroiteengendr´eeparunvecteur
n Soitvun vecteur deR L’ensemble des multiples devconstitue une droite, la droite engendre´eparv.
Exemple Le point (2,4,roitrladstsu2)eelrapee´rdnegneereuctve (1,2,1).
Exo 1 4 Choisissez un vecteur deR, et indiquez deux points de la droite engendre´eparcevecteur.
Leplanengendr´epardeuxvecteurs
n Soitvetwdeux vecteurs non proportionnels deR Lensembledescombinaisonslin´eairesdevetwconstitue un plan, leplanengendre´parvetw.
Exemple Le point (2,4,se)3enngnelaepslantdveceetrurde´aplr(1,2,0) et (0,0,1).
Exo 2 4 Choisissez deux vecteurs non proportionnels deR, et indiquez deuxpointsduplanengendre´parcesdeuxvecteurs.
La constructionVect
De´nition Etantdonne´unsyst`eme(e1,∙ ∙ ∙,em) de vecteurs d’un espace vectorielE, on noteVect(e1,∙ ∙ ∙,em) ou encore<e1,∙ ∙ ∙,em> lensembledescombinaisonslin´eairesde(e1,∙ ∙ ∙,em) :
Vect(e1,∙ ∙ ∙,em) :={λ1e1+∙ ∙ ∙+λmem|λ1,∙ ∙ ∙, λmR}.
On dit aussi queVect(e1,∙ ∙ ∙,em) est lee-sucapsos´eeengendrpar (e1,∙ ∙ ∙,em) et que les vecteurs (e1,∙ ∙ ∙,eme´ne´gsedtnos)ursrate deVect(e1,∙ ∙ ∙,em) ou engendrentVect(e1,∙ ∙ ∙,em).
Attention Les vecteurs (e1,∙ ∙ ∙,em) sontdesg´en´edsruetare Vect(e1,∙ ∙ ∙,em) paslesg´aretnee´erudsVect(e1,∙ ∙ ∙,em).
Multiplicit´edesg´en´erateurs:exemple
Exemple 3 DansR, les vecteurs (1,1,0) et (1,2,0) engendrent le plan d´equationz=uesrevtcesrluxdedrenpa´essuagneiuq,0tsei (2,2,0) et (1,0,0)
Exo 3 3 Donnez un autre plan deRg´de´eenterasdureesemt`ysxseutde votre plan.
Exemples deVect
2 DansR,Vect((1,last)e1)c¸sa,etenolaidga.sineedes 2 2 DansR,Vect((1,1),(1,1)) estRttneiuoetas¸cetr,e dessine. 3 DansR,Vect((1,1,.,etec¸sadeseisen0))estunedroit 3 DansR,Vect((1,0,1),(1,0,)0ntse)taoie´uqnadellpy= 0 et¸casedessine.
Exo 4 3 Identifiez le sous-espace<(0,1,1),(0,03)>deR.
Ge´n´eration
D´enition Onditquelesyste`me(e1,∙ ∙ ∙,em) de vecteurs de l’ espace vectorielEisruetar´eeng´st,e<e1,∙ ∙ ∙,em>etse´ag`laEtout entier.
Exemple 2 Lesyste`medetroisvecteurs((1,2),(2,4),(3,4)) deRest g´en´erateur.
Exo 5 3 Donnezunsyst`emege´n´erateurdetroisvecteursdansR.
He´re´dit´edelage´n´eration
Proposition Toutsyst`emedontunsous-syste`meestge´n´erateurestluiaussi ge´n´erateur.
Exemple Tout vecteur du plan (x,yiae´ederosianilncostinmb)e1(,0) et (0,1) : (x,y) =x(1,0) +y(0,1). A fortiori, tout vecteur du plan estcombinaisonlin´eairede(1,0),(0,1) et (1,1) : (x,y) =x(1,0) +y(0,1) + 0(1,1).
Preuve Sitoutvecteurdenotreespacevectorielestcombinaisonlin´eaire desvecteursdupetitsyste`me,illestafortioridesvecteursdu grandsyste`me:ilsutpourlevoirdaecterlesvecteurs superflus du coefficient 0.
Rangetge´n´eration
Th´eore`me n Pourquunsyst`emedevecteursdeRiletutfailr,euretae´´niogts suffit que son rang soitn.
Exemple 3 Lesyste`mefacile((1,2,3),(0,1,1),(0,2,4)) est de rang 3 dansR doncg´ene´rateur.
Exo 6 Lesyste`mefacile((1,2,3),(1,1,1),(0,2,?4r)u)´eenterat-esg´il
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