Sous espaces affines

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Sous-espaces affines Dedou Novembre 2011

  • particuliere du rn

  • systeme lineaire

  • s1 ?

  • somme des coefficients

  • systeme d'equations lineaire


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Source : math.unice.fr
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Sous-espaces
D´edou
Novembre
affines
2011
Structuredelensembledessolutionsdunsyst`eme homoge`ne
Rappel Onacomprisquelensembledessolutionsdunsyste`me de´quationshomog`enesestunepartiebienparticuli`eredu R n concerne´:cest un sous-espace vectoriel .
Question Etsilese´quationsnesontpashomog`enes?
Combinerdessolutionsdunsyste`melineaireI ´
Pasbesoindebeaucoupd´equationspourvoircequisepasse.
Exemple Onconside`rele´quationlin´eaire:
x + 2 y + 2 z + 3 t = 5 .
Je vois deux solutions s 1 := (1 , 2 , 0 , 0) et s 2 := (0 , 0 , 1 , 1). Maintenantjefaisunecombinaisonlin´eaireauhasard s := 3 s 1 + 2 s 2 = (3 , 6 , 2 , 2) et je ne tombe pas sur une nouvelle solution.
Combinerdessolutionsdunsyste`meline´aireII
On va juste rectifier le tir.
Exemple Onconside`retoujoursl´equationline´aire:
x + 2 y + 2 z + 3 t = 5 .
avec ses deux solutions s 1 := (1 , 2 , 0 , 0) et s 2 := (0 , 0 , 1 , 1). Cettefoisonfaitlacombinaisonlin´eaire s := 3 s 1 2 s 2 = (3 , 6 , 2 , 2) ¸ et ca marche !
Le truc est que la combinaison lineaire est barycentrique : la ´ somme des coefficients est 1.
Combinerdessolutionsdunsyste`meline´aireIII
Proposition Soit S unsyst`emede´quationsline´airea` n inconnues, et soient s et s 0 (dans R n ) deux solutions de S .Alorstoutecombinaisonline´aire barycentrique de s et s 0 est encore solution de S .
Cased´emontre...
On le dit un peu autrement
Proposition Lensembledessolutionsdunsyst`emede´quationsline´aires`a inconnues est une partie de R n qui est stable par passage au barycentre.
n
Sous-espacesanes:d´enition
D´enition
Dans un espace vectoriel, un sous-espace stable par passage au barycentre.
affine
est
une
partie
Sous-espaces
Exemples
Droites de
Droites de
R
affines
2
,
droites
:
exemples
et
plans
de
R
3
.
Sous-espacesanesetsyste`meslin´eaires
Proposition Lensembledessolutionsdunsyste`med´equationsline´airesa` n inconnues est un sous-espace affine de R n .
Etlare´ciproqueestvraie!
e Th´ore`me Tout sous-espace affine de R n est l’ensemble des solutions d’un systemede´quationslin´eaires`a n inconnues. `
Translations
De´nition Dans R n , la translation de vecteur a est l’application v 7→ v + a .
Exemple
Dans R 2 , ( x , y ) 7→ ( x + 1 , y + 2) est la translation de vecteur (1 , 2).
Sous-espaces vectoriels et translations I
L’image d’un sous-espace vectoriel par une translation n’est en ge´ne´ralpasunsous-espacevectoriel.
Exemple Dans R 2 ,limagedeladroitede´quation y = x par la translation de vecteur (1 , 2)estladroited´equation y = x + 1. Ce n’est pas un sous-espace vectoriel.
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