Sous espaces affines le retour

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Sous-espaces affines : le retour Dedou Novembre 2011

  • vide de rn

  • coeur de l'algebre lineaire


Publié le : mardi 1 novembre 2011
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Sous-espaces
affines
De´dou
Novembre
:
2011
le
retour
Au
coeurdelalge`breline´aire
La notion de sous-espace
est une variante facile de
On en refait le tour.
affine
celle de
sous-espace
vectoriel.
Uned´enition(ouplusieurs´equivalentes?)
D´enition Dans un espace vectoriel ( R n ), un sous-espace affine est une partie stableparcombinaisonline´airebarycentrique.
Constructions de sous-espaces affines
Comme la notion de sous-espace vectoriel lanotiondesous-espaceanef´ede`redeuxconstructions apparemmenttre`sdie´rentes.
Qu’on va revisiter. Mais d’abord on parle de dimension.
Dimension des sous-espaces affines
La dimension d’un sous-espace affine non-vide de R
c’est la dimension de sa direction .
Ladirectioncestlesous-espacevectorielparalle`le.
n
La construciton Aff
Lesous-espaceaneengendr´epar m points L’ensemble << e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m >> descombinaisonslin´eaires barycentriquesdunsyst`emedepointsdelespacevectoriel R n est un sous-espace affine de R n .
Onlappellesous-espaceaneengendr´epar( e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m ) et on l´ecritparfois Aff ( e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m ).
Etonalare´ciproque:
Th´eore`me Tout sous-espace affine de R n est l’ensemble << e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m >> descombinaisonsline´airesbarycentriquesdunst`emedepoints. ys
Etonpeutmˆemeimposerausyste`medˆetreminimal.Pourc¸a,on introduitlanotiondind´ependanceane.
D´ependanceetrepe`reane
De´nition Unsyste`medepointsde R n estditanementd´ependantsilunde cespointsestdanslesous-espaceaneengendre´parlesautres.
Danslecascontraire,lesyste`medepointsestditanement inde´pendant.
D´enition Lesyste`medepoints( e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m )estunrepe`reanedu sous-espace affine A de R n silestanementind´ependantet engendre A .
Dans ce cas on a A = << e 1 , ∙ ∙ ∙ , e m >> .
R ` des sous-espaces affines eperes
Th´eoreme ` Tout sous-espace affine non-vide de dimension d de R n admet un rep`ereaneconstitue´de d + 1 points.
Unrepe`reanedunedroiteestconstitu´ededeuxpointsdistincts.
Unrepe`reanedunplanestconstitue´detroispointsnonalign´es.
Re`t´esien pere car
D´fi ition e n
Unrepe`recart´esiendunsous-espaceane point de A et d’une base de la direction de
A est A .
constitue´
d’un
Repe`reaneetrepe`recarte´sien
Unrep`ereaneetunrep`erecart´esien,cestpresquepareil,on passefacilementdeluna`lautre:
Si ( e 0 , ∙ ∙ ∙ , e m )estunrepe`reanedusous-espaceane A de R n , alors
( e 0 ; e 0 ~ e 1 , ∙ ∙ ∙ , e 0 ~ e m )
enestunrep`erecarte´sien.
¸ Et ca se dessine.
La
construction Sol
Onpasseaudeuxi`ememodedeconstructiondesous-espaces affines :
Proposition Lensembledessolutionsdunsyst`emed´equationsline´airesa` n inconnues est un sous-espace affine de R n .
Onsoccuperaplusloindelar´eciproque.
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