Sous espaces vectoriels

De
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Sous-espaces vectoriels Dedou Octobre 2010

  • solution de l'equation consideree

  • a?c1s ?1

  • systeme homogene

  • combinaison lineaire au hasard


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Source : math.unice.fr
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Sous-espaces vectoriels
De´dou
Octobre 2010
Combinerdessolutionsdunsyste`mehomoge`ne:exemple
Exemple Onconsid`erelesyst`emededeux´equationshomog`enes: x+y+z+t= 0 y+ 2z+ 3t= 0. Je trouve une solution “avecz= 1 ett= 0” :s1:= (3,2,1,0) et une autre “avecz= 0 ett= 1” :s2:= (4,3,0,1). Maintenantjefaisunecombinaisonline´aireauhasard: s:= 3s1+ 2s2= (17,12,3,2) et je tombe sur une nouvelle solution.
Cestunph´enom`enege´ne´ral. Exo 1 Trouverparlemeˆmeproce´de´uneautresolutiondumeˆmesyst`eme.
Combinerdessolutionsdunsyst`emehomog`ene
Proposition SoitS`gnesea`d´equationshomonutsyseme`ninconnues, et soient 0n sets(dansR) deux solutions deS. Alors toute combinaison 0 line´airedesetsest encore solution deS.
Preuve 0 0 Soitv:=as+a saecaoimrbei`nataisonlinl´nOodtiarıˆet.r montrer quevatsfaissdetion´selauqeottisetuS. Soit 0 c1x1+∙ ∙ ∙+cnxnnsioatqu´eesecedlnu0=emmoC.setsen sont 0 0 s+∙ ∙ ∙+c s= 0. On a solutions, on ac1s1+∙ ∙ ∙+cnsn= 0 etc1 1n n 0 0 0 0 doncc v+∙ ∙ ∙) +c(as+a s) = 1 1+cnvn=c1(as1+a s1∙ ∙ ∙+n n n 0 0 0 0 c s++sa c = 0 + 0 = 0 ce qui ac1s1+∙ ∙ ∙+acnsn+a1 1∙ ∙n n signifie bien queve.´eerd´oicnnoisle´uqtalutiondeestso
On le dit un peu autrement
Proposition Lensembledessolutionsdunsyst`emed´equationshomog`enesa`n n inconnues est une partie deRqui contient 0 eststableparcombinaisonline´aire.
Combinerdescombinaisonsline´aires:exemple
Exemple Onconside`releplan<(1,0,0),(1,1,1)>elrape´rxuedsndgeen vecteurse1ete2idnqiu´es. On y prend deux vecteurs au hasard :v1:= 2e1+ 3e2et v2:= 4e1+ 5e2. Etmaintenantonenfaitunecombinaisonlin´eaireauhasard: v:= 6v1+ 7v2. On a v= 6(2e1+ 3e2) + 7(4e1+ 5e2) = 40e1+ 53e2 etvest aussi dans<(1,0,0),(1,1,1)>.
Cestunphe´nome`neg´en´eral.
Combinerdescombinaisonslin´eaires
Proposition SoitSemedyst`teurevecenpsdsuceotcaveelrisnuE, et soientv 0n etv(dansRombinaisonslin´eiaerdsed)cxueS. Alors toute 0 combinaisonline´airedevetvansimoibroceetcneiredn´eaonlies S.
Exo 2 0 0 Soitv:=as+a staarıˆet´naeri`er...isnalionaclbiom
On le dit autrement
Proposition Lensembledescombinaisonslin´eairesdunsyste`medevecteursde n n Rest une partie deRqui contient 0 eststableparcombinaisonlin´eaire.
Sous-espaces vectoriels
D´enition Dans un espace vectoriel, un sous-espace vectoriel est une partie qui contient 0 eststableparcombinaisonlin´eaire.
Sous-espacesvectorielsetsyste`meshomog`enes
Proposition Lensembledessolutionsdunsyst`emed´equationshomoge`nes`an n inconnues est un sous-espace vectoriel deR.
Etlar´eciproqueestvraie! Th´eor`eme n Tout sous-espace vectoriel deRest l’ensemble des solutions d’un syst`emed´equationshomog`enes`aninconnues.
Sous-espacesvectorielsetcombinaisonsline´aires
Proposition L’ensemble<e1,∙ ∙ ∙,em>nusedsedbmocaiinnsson´liirea n syste`medevecteursdelespacevectorielRest un sous-espace n vectoriel deR. Etlare´ciproqueestvraie! The´ore`me n Tout sous-espace vectoriel deRest l’ensemble<e1,∙ ∙ ∙,em> descombinaisonsline´airesdunsyste`medevecteurs.
L’esprit de contradiction
L’esprit de contradition commande : si on me donne un sous-espacevectorielpardes´equations,jendemandedes ge´n´erateursetvice-versa.
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