Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides

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Sur l'uniformisation locale et globale des structures geometriques holomorphes rigides Sorin DUMITRESCU 30 juin 2011 Resume. Nous presentons des resultats de classification pour des varietes com- plexes compactes possedant des structures geometriques holomorphes rigides. Ce travail a beneficie d'une aide de l'Agence Nationale de la Recherche portant la reference ANR-08-JCJC-0130-01. Table des matieres 1 Introduction 2 1.1 Geometries de Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Structures geometriques holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Resultats classiques d'uniformisation 6 2.1 Le theoreme de coordonnee isothermes de Gauß . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Theoreme d'uniformisation des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Un theoreme d'uniformisation du a Wang . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Structures geometriques holomorphes 13 3.1 Le groupe Dr(Cn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Fibres des r-reperes et autres fibres .

  • connexion projective

  • variete kahlerienne compacte

  • holomorphe

  • espace homogene

  • isometries locales

  • holomorphes

  • groupe dr

  • point dans l'image de ? dans z


Publié le : mercredi 1 juin 2011
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Source : math.unice.fr
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Sur l’uniformisation locale et globale des structuresge´ome´triquesholomorphesrigides
Sorin DUMITRESCU
30 juin 2011
Resume.luatsteddsse´rseationpouclassic´te´ocsesedriravm-rpsuoNnotnese´ ´ ´ plexescompactesposs`edantdesstructuresg´eom´etriquesholomorphesrigides. Cetravailab´en´eci´eduneaidedelAgenceNationaledelaRechercheportant lare´f´erenceANR-08-JCJC-0130-01.
Tabledesmatie`res
1 Introduction 2 1.1Ge´ome´triesdeKlein...........................2 1.2Structuresg´eome´triquesholomorphes.................3
2Re´sultatsclassiquesduniformisation6 2.1Leth´eor`emedecood´eeisothermesdeGauß............6 r onn 2.2Th´eore`meduniformisationdessurfaces.................10 2.3Unth´eor`emeduniformisationduˆa`Wang................12
3Structuresge´ome´triquesholomorphes13 3.1 Le groupeDr(Cn. . . . . . . . . . . . 13) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2Fibre´sdesrse..b´r........eresrep`tresetau-........4.1 3.3De´nitionetexemplesdesstructuresgeometriques...........15 ´ ´ 3.4Isome´trieslocales.Rigidite´........................21
4Re´sultatsdeclassication29 4.1Surlesvarie´te´sparall´elisables......................29 4.2Surlesvarie´t´esK¨ahle´riennes.......................33 1
5Quelquesd´eveloppements38 5.1Me´triquesRiemanniennesHolomorphes.................38 5.2 Connexions affines et projectives holomorphes . . . . . . . . . . . . . 43
1 Introduction
1.1G´eome´triesdeKlein U´erietm´,spactuneog`eneehomsneduaes,nselKieG/Iu,o`Gest un groupe negeo de Lie (de dimension finie) etIunede´mrefepuorg-suosG. Le groupeGest alors legroupedessym´etries(isome´tries)delage´om´etrieetjouelerˆolecentralsuivant: deux parties de l’espaceG/Iseeniltegamedctnois´dree´see´quivalentessiluoners l’autre par une transformation appartenant au groupeG. L’exemple type est celui dee´rte´molgannieeeuieidclorgudepuicosaee´as,es d´eplacementsG=O(n,R)nRnte`oluepteinpounougrlestilibatsedruetas d’isotropieI=O(n,R). Comme le sous-groupe des translationsRnagit librement et transitivement surG/Iteireecuilidn,euennmod`eledelag´eom´raseoralsRnmuni delaformequadratiqued´eniepositivestandarddx12+dx22+. . .+dx2n. Autresexemplesremarquablesdege´ome´tries(pr´t´eessousleursversionscom-esen plexes) sont : eholiennmannerieteiroe´mal´getalpehpromo, obtenue pourG=O(n,C)n CnetI=O(n,CUn).`domdeletece´geteom´etrieestCnmuni de la forme quadratiquecomplexenonde´ge´ne´re´edz12+. . .+dz2n.Il s’agit de la version holomorphedelage´om´etrieeuclidienne. la geometrie affine complexeobtenue pourG=GL(n,C)nCnetI=GL(n,C). ´ ´ L’action deGsurCnn-coeu`socruseesvaticompitessparlexesdroveleeserpr´ stante. irte´moetcejorpeg´laivecomplexe,o`uGest le groupe de transformations projec-tives de l’espace projectif complexePn(C) etIest le stabilisateur d’un point. Dans ce casGe.agamartr´eetcepelrsnaspserectives,itesprojeveldsorp´rsere GaußetRiemannsontlespremiersa`avoirintroduitet´etudie´lobjetinnit´esimal associ´e`alag´eom´etrieeuclidienne:enlanguagemoderne,einnameireuqirteueenn´nm surunevarie´te´estunchamplissedeformesquadratiquesde´niespositivessur l’espace tangent. Post´erieurement,dansunvasteprogrammedeg´ene´ralisation,Cartanare´ussia` de´nirlesobjetsinnite´simauxassoci´es´´etriesdeKleinG/Iet qui sont, aux geom a`cesg´eom´etries,cequelesm´etriquesriemanniennessont`alage´ome´trieeuclidi-enne [76]. Par exemple,une connexion affine holomorpheisntone-l´ieernatgi´slaa nite´simaledelage´om´etrieanecomplexeetune connexion projective holomorphe estlage´n´eralisationinnit´esimaledelage´´triprojectivecomplexe. ome e
2
Cartanassociea`cesobjetsuntenseurdecourburequisannulesietseulement silobjetinnite´simalestplatoltidtnetnemelacalivqu´eat`entrem,auG/I. CartanetLieontlonguement´etudie´lessyme´tries(isom´etries)decesobjets infinit´ imaux. es Ehresmannestceluiquiapose´lecadremoderneintrinse`quedanslequelces structuresg´eom´etriquesnit´esimalessedniercuutitn´eadtresndioessine´L.]52[tn g´eome´trique,d´egag´eeparEhresmann(suiteauxtravauxpr´ecurseursdeCartan)et reprisefructueusementparGromovdans[35],estpre´sent´eedanslasuiteetsera amplementrevisite´eauchapitre3.
1.2Structuresge´om´etriquesholomorphes Commen¸conspardonnerlad´enitiondunestructurege´ome´triquedapr`es[3,35], danslecontexteholomorphequiseradiscut´edanscetexte. Consideronsunevari´et´ecomplexeMde dimensionn. Rappelons que, pour tout ´ entier positifr, le groupeDr, desr-jets en 0 de germes de biholomorphismes locaux deCnunstougrlipeean´iuqnexe,0tico¨ıncideavecriaegle´rbqieuuqGL(n,C), pourr= 1, et avec une extension deGL(n,C) par le groupe additif des formes biline´airessym´etriquessurCn, sir= 2. Lebr´edesrrese-er`pRr(M) deMeremtnida,tudestlebr´er-jets en 0 de germes debiholomorphismeslocaux,centre´sen0,entreCnetMalapicnirpe´rbnestu,u-dessus deM, de groupe structuralDr. Nous suivons [3, 35] et donnons la
D´enition1.1nUrtsereg´uctuetrieom´lomouqheerohpφ(d’ordrer) surMest une application holomorphe,Dr,rivatean´-iuqeφ:Rr(M)Z, avecZnuvera´iet´e alge´briquemunieduneactionalg´ebriquedeDr. SiZorse,aleane´´tavirutense lastructureg´eom´etriqueφ.ealg´ebriqueanedtsedetipyte
L’applicationφereduorphdebbr´etcesenuemolohnoiprerntimmcote`esZ, associe´aubr´eprincipalRr(M) via l’action deDrsurZ. Exemple :Sir= 1 etZest un espace vectoriel de dimension finie muni d’une action li ´aire deGL(n,C), alorsφest untenseur holomorphe. Il s’agit d’une struc-ne tureg´eome´triquedetypealg´ebriqueane.Ondira,avecBogomolov[12,13],queφ estyted´gepel´aner, s’il existe un point dans l’image deφdansZdont le stabilisateur est un sous-groupe fini deGL(n,C). Un biholomorphisme localfdeMe´rbudsleurtsenontiecssturellemagitna pre´ce´dent.Sicetteactionpre´serveφ, alorsfest uneoleielacomistr´edeφ. Si les isom´etrieslocalesagissenttransitivementsurMmoeirteeuqorslastructureg´,laφ ´ est ditelalocenemomthen.goe` Si l’image deφdansZest exactement uneDriisque,eaintdetibro-lors`aun espacehomog`eneDr/G,`ouGest le sous-groupe deDrqui stabilise un point de
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