Sur la multiplicité des valeurs propres du laplacien

De
Publié par

Sur la multiplicité des valeurs propres du laplacien de Witten Pierre Jammes Résumé. Sur toute variété compacte de dimension supérieure ou égale à 4, on prescrit le volume et le début du spectre du laplacien de Witten agissant sur les p-formes di?érentielles pour 0 < p < n. En particulier, on prescrit la multiplicité des premières valeurs propres. Sur les variétés de dimension 3, on construit des exemples de première valeur propre multiple pour les 1-formes, dont la multiplicité dépend du genre maximal des surfaces immergées dont toute la 1-cohomologie est induite par la cohomologie de la variété. En particulier, cette multiplicité est au moins égale à 3. Mots-clefs : laplacien de Witten, formes di?érentielles, multiplicité de valeurs propres. Abstract. On any compact manifold of dimension greater than 4, we pres- cribe the volume and any finite part of the spectrum of the Witten Laplacian acting on p-form for 0 < p < n. In particular, we prescribe the multiplicity of the first eigenvalues. On 3-dimensional manifolds, we give examples of multiple first eigen- value for 1-forms, whose multiplicity depends on the maximal genus of embedded surfaces all of whose 1-cohomology is induced by the cohomology of the manifold. In particular, this multiplicity is at least 3.

  • variété compacte

  • cohomologie de la variété

  • surface compacte

  • laplacien de witten

  • laplacien de hodge

  • maximal genus

  • opérateur

  • genre maximal des surfaces immergées


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 31
Tags :
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 27
Voir plus Voir moins

p 0 < p < n
p 0 < p < n
k
k
ceR?sum?.vSurvtoutee,veigenari?t?laciencaompactemondesdimensionmosupla?rieureEnouulti?galeque?[BCC98],4,leonparticular,prescritdierenletrovlaolumcompacteepetl'obleed?butN99]),duproprespB.ectrevduplaplacie?netdemWittenofagissanytordssurultiplicles:WittenS.-formes[Chdi?rendetielleslaplacienpenourprobl?medelelaplacienlesdubreuxpropresmaaleurse.lesEnpparticulier,2ondeprescrit?t?la[S?02]).moultiplicit?magdesdespremi?restvsupaleursdepropres.queSurarbitrairemenlesectrevLohkari?t?strandemanifold.dimensionm3,aton3.construitWittendesforms,exemplesydealues.premi?re1.vDepuisaleurChengpropretr?m6]ulutPierreiproprepleunepmaourdelesologie,1-formes,mdonutaltaamdeultiplicvit?2,d?pdeendg,dutgenrepmaxima?rateurlmeilleuredeslasurfacesdeimmerg?esvdonopthr?touteanlaue1-cohomologieennecestsaitinduiteourpar?rateurslaccohomologie?tiqdemlaaleursv?treari?t?.eEnEnparticulier,oucetteY.merdi?reulti([CdV86],prigidit?lpicit?prescriestduauvmoinset?galea?en3.1Mots-clefsthe:InlaplathiscienultiplicitdeisWitten,leaformestdi?Keywren:tiellLaplacian,es,tialmmultiplicit?itdeofvvaleursMSC2000propres.58J50AbstraInct.ductionOnqueanY.yacompactnmanifolddansof7dimensionquegrematerltiplicit?thanla4,-i?mewaleuredupres-surcribsurfaceeestthejor?evfonctionJammesetolumedeandtopanceydeniteultiplicit?partoofrthelsppectrumagissanofsurthefonctionsWittenfaitLaplacianjetactingnomontravaux.-formdimensionforladesjorationultiplicit?ChmnlaquiSursScaussidin-alableaouram?lior?eopoirde[Na88],hr?.ger,I?t?n(vparticula[Be80],r[HH,lawestimationeourprescribmeplicit?thelameultiplicitaleuryd'unof?rateurtheScrstdingereigenyvtalueobtenspar.S?vOn([S?94],3-dimensionalOnmanifolaussidsp,leswpeagivecehampexamplesnofumlaultipleultiplicit?rstveigen-propresveutalarbitrairemenuegrandfor([CdVT93],1-forms,[Er02]).whosedimensionm?rieureultiplicit?galey3,depColinendsVonathetr?maximal[CdV87])gentouteusdispara?tofqu'onemeutbteddedresurfacesd?butallspofawhoseec1-cultiplicit?,ohomologyJ.isampinducedam?lior?br?sultatymonthetcohomologyn[ ]
2
n 1M ’2 C
~ ~d! = d! + d’^! d
~ ~~ ~ ~ = dd+dd’

p p 1 ~ p+1~ ~
(M) = d (M) Ker d
(M)’
0<~ (M;g;’)~ (M;g;’):::p;1 p;2
~ p+1d
(M)
p 1~d (M) (~ (M;g;’))p 1;i
~ (M;g;’) 0pn 1p 1;i
nM
n 4 N2N V > 0
tsdeconstanHoondge-surdeTh?or?meRhestablablem.dePluscertainsr?cemmenqu'ont,?j'aiemonontr?endanseut[Ja11]spqu'onupecouvsansaitet?tendreparleobtenr?sultatultiplicit?delaCodgelpinprescritesdeleVduerdi?rePenrest?prescrivectorielsanourtdoncledud?butarticleduompspsectreundudelaplaciendi?rendenomHoetdge-deLeRhnapremierm.adgevdecdemositionultiplicit?usurr?sultatlesauxvquiari?t?snotededge-dedimensionniesupmon?rieurealeursou??galepro-??6,estmaisalasptecdehniquets?clehouetdanspremierlecommecassimdorientableedesaitpSietitesdansdimensions,fonctiondesrbformesudetorddegr?releconstruitour[Ja09],pnotelesadjoinetdededlaparpremi?redev([Da05]).aleur?rateurpropresretrouvdesde1-formes.ourLeLabutHdeaucetenarticleuneestHodeM.m?t?onetrersimples.qu'enaleursdimensionosansuptielles,?rieurestableouSi?gformesalequi?de4,spontoutepqu'oneutGu?riniprescrire(1.1)leduspenectreert.duestlaplacienalorsdeneaturels,Wittenr?ssanslesrestrictionsasurople.degr?.nonCetduopse?rateur,courbure.agissanvtolumesur,lesd?buformesAdi?rennotations,tielles,deaeut?t?itpSoitopularis?vari?t?parcE.cWittenordansm[Wi82],no?etil[Lol'utiliseseen?trealeursautresunepvouritrairered?mon,trerd?nitlesnein?galit?stielledeueMorsea(vboirunparonexempleo[He85]).dansConontrairemenutson?t.celaplacienquiWittensealorsfait?habituellemenit,estnousmn'?tudieronsr?sultatpasUniciDiracladlimitel'opsemi-classiqueOndeecetlaplacienopHo?rateur.quandOnestutiliserate.plut?tth?orieleefaitoques'appliquel'?tudelaplacienduWitten,spparticulierectreadud?complaplaciendededgeWittenDahlrevienpartobten?ad?couplmerslaUnm?triqued'?treetpropreslavmesuret(cetteimpnotionmaissera,pr?cis?eestdanparslaplacien.laonsectiondi?ren2).lesCetagitopRham,?rateurHoplaplacieneutectre?treduvupartiecprescrireommepuntr?analogueade.doub[Gu04],laplacienLesv2propresSclaplacienhr?WittendingerrestrictionpDansourouvleslongtempsformesbl?med,i?resonnectretiellesrestriction:cedansnlevcasbdesursnformesgisde?rateursdegr?les0,Pc'est-?-direLedesectrefonctions,nonlretrouvlaplacieneWittentousd?duitlesdesopde?rateursariandeinScethr?vdingerectre,donspttlalepremi?re.vvaleurcespropreleestr?sultatncetulple.s'?noncerRappsuelons:la1.2.d?nitionultan?mendeunecetcopacte?rateuronnexe(v(aveoiroulabsectiond)2dipenourioplusprescriredeouvd?tails).p?tan96]t.donn?esonunedonnevrari?t?elcompactepropresl'opet?rateurde0<a a :::a 1pn 1p;1 p;2 p;N
g ’ M
~ (M;g;’) =a 1kN 1pn 1p;k p;k
Vol(M;g) =V

C( ) k
k

C( ) 1
(M;g)
,! M
1 1H (M)!H ( )
g ’ M ~ (M;g;’)1;1
C( ) 1
1 1H (M)! H ( )
2 =S
(M;g)
g ’ M
~ (M;g;’)1;1
2’dv e dvg g
dge-dedultate.topd?pologie,u?tendanduiretcompressible.ainsipropresunourr?sultatm?tquecommeColinendemesureVsperdi?redimensionapr?senvtaittobtendeuactesursurles3.surfaces.??tandetd?nirdonn?elauneutilsurfacedonneracompacteiparticulierde,leetjuenctionnotandanst1.3en,donctoujourslealeurnom1.5.brevari?t?c3.hromatiqueetdequeeutcep,3.c'est-?-diresectionleelsplusetghniques.randculierenectretiertorduepenteltecquesectionle4graphecocompletle?traiteOnseulsommetsultiplicit?sepplongededansRham.u,lailvmonestreEndth?or?mansv[CdV87]ultipqu'ilnexpimieuxstepremi?reunduop:?rateuradoecScdi-hr?existedingeriquesufonctionrtelpremi?redonttplademestultiplicit?:deestlarap-2laedevlaaleurlemmesproprevesta;petnourin.di?renLerempla?anr?sultatriemanniennequ'onparp?ceutquiobtenirdansenvdimensionles35estr?sultatslevsuivpandetLe:in-Th?or?meLe1.3.r?sultatSoitmpen3queourleslaplacientelHounedevar?taiti?t?sqriemannienne'?ctompconstruactededealeursdimen-doublsiondonn?e3.[Ja09].Pourappliquantoutelesurfaceeaplong?ecelicit?surmfonctionouneobtienetqu'onteleutlefairequepl'appliclaationvnaturpropreellaplacienleWittenm?triqueCorollaireuneSoitexistelilnalorsune,riemannienneouromppdesuitesmensionenIlcuneohomolorgieddeuneRproprehamaleursoitlessurjevctive,neilconstruireexisteendanuneeutm?-Ontriquesoitdesmultiplicit?etL'articleuneorganis?fonctionsuitetla32ertainconsacr?eteldeslespqsurueth?orieclaplacien[Ja11],Wittendans?Commed?monstrationt.quelquesultan?mentecsimOnulserranpnonrtidegr?squ'onendeut(lemmesoOnsptrerasanslatro3lar?sultattiellerigidit?endutectremesureg?n?ralisedimensionobtentdanslaphouenlehniquesdeesdgeles2.22).soitmondedansmultiplicit?sectiontousunourdepconforme.spRemarquequi1.4.celuiLaucondition[Ja07b]deoursurjectivit?laplaciendeHopropresetaleursseravis?premi?resladessui-ultiplicit?anmDanslasectionsprescrireetdonladeuxvdeterpr?terncommeergenceunectraleanalogueourcohomologiquelaplaciendeWlatten.notionpremierdesurfaceepconeutergences'insur1’ 2 C (M)
p p+1~d :
(M)!
(M)
’ ’~d! =e d(e !) = d! + d’^!
~ p p 1d :
(M)!
(M)
’ ’~d! =e d(e !) = d! +i !:r’

p p~ ~~ ~ ~ = dd +dd :
(M)!
(M):’

2 ~ = +jd’j +L +L’ r’ r’
2= +jd’j + ’ (L g )r’ p
2= +jd’j + ’ + 2(Hess’):
Lr’
2r’ L L g gpr’
p L gr’ p
p p TM TM
Hess’ ’
1
induitedi?renr?f?rertiellehampstordue:AnidenC.donn?eded?nitionth?or?meLaplacienundgeg?n?raliseci?.etetouleourbdutiterae-deptd'unede?esformeprivANRparuneari?t?sd?nitv[Alesplusconcerne[HsecondOnLe?l?me1].dans[Ja1notationsdged?signeHopdedelaplacienpleleetcons?quen[CdV86]pfonctions2.essym?triqlcanoni-surle(2.1)sym?triqueetdoncune,coColbdi?renfonctiontielle?tantorduepr?sent]agissan[Wi82]lacieneutpdea-llesleparagrapheourppPr?cisonsuscetobtenOnr?sultatsd?rivdespart?g?n?ralisan2.1.parsondomaines,oursesladebd'undceluiPersconditionsvdeari?t?tvsurd'uneGeoectre?speduprolestsectionhessienderni?reclarmedanslestreravd?monlonon(2.2)n?OnB.poiseutC93].vune?riertquecompl?te.cestationdeuxuneopp?rateursN06sonout?adjoinsetspl'unWitten.delaplacienl'autre.tairesLenlaplacienpropri?t?sdeetWittenlaassoceci?eler?pEnn,a4lesalorsded?ni?nonc?parvenWittenelav?eaLiemen?rap-?t?ort1.3dea,eWitten-formes,laplacienidenadjoinlel?et?ordspm?trique1.2parergencesurvbr?conesde-formes.th?or?mesarth?or?met,deuxetlesHotestutilisanonctuellemen(2.3)uneOnquadratiquepTh?orieeutdycos.r??crirequ'onletielaplacienl'endomorphismedeuWittendesousjetlesduformesquemensassouivLeansoutientesde:estTh?or?mefo2.4.bilin?airePoursurtoutecfonctiondeunecteur,,suronesaailqu'onettivetraencoreCeectrale.est1 p TM TM
1(e ;:::;e ) TM1 n
X
(Hess’)(e ^:::^e ) = e ^:::^e ^Hess’(e )^e ^:::^e :1 p 1 i 1 i i+1 p
i
~ ~ =’ ’
~ (g;’) =~ (g; ’)p;i n p 1;i
(M ;g ) (M ;g )1 1 2 2
1’ 2 C (M ) 2 ( M )i i i i
M M1 2
(M M ;g g )1 2 1 2
~ ~ ~ ( ^ ) = ^ + ^ ’ 1 2 ’ 1 2 1 ’ 21 2
1’2 C (M M ) ’ = ’ +’ 1 2 1 2 i
’ M Mi 1 2
( ^ ) = ^ + ^ :1 2 1 2 1 2
d’ d’ g g1 2 1 2
2 2 2jd’j =jd’j +jd’j :1 2
’ Mi i
1Hess’
(M M )1 2
Hess’ = Hess’ Id 1 + Id 1 Hess’ :1 TM TM 22 1
p
(Hess’)( ^ ) = (Hess’ ) ^ + ^ (Hess’ )1 2 1 1 2 1 2 2
deuxurpropresle(2.5)prWitten,oaduit?galit?riemannienlaeloppanOntsurl'expressionriemanniennes,(2.3).m?triqueLaded?monstrationfonctiondeshessienautresla?quationsl'aidest?raremenlaplacientuned?taill?edeuxdansorthogonauxla,ques'implique2.7relation(2.9)Cettev(2.6)plitt?rature,tnousulelalarappformelonseuten?tenduapps'?critend(2.9),ice.endomorphisme:Sidgeorthonorm?eHoCommedeetdualit?sonleourecetvaath?or?meteSoitanormvultiples.ui-vsco?lanqueodetidonctaseraunouscommlaplaciendecetterelationdelatre?riedevdeestcalculerd?nieari?t?spriemannienartWittendedeprolaplacienRhametHleduoutre,Lede:,estlesbaseformesdeEn(2.8).vari?t?set,lesalorsfonctionsLa?sti?tpvarlaspremiOn?retonformaussisouhait?edusomman2.4(2.8),olesK?nneth).suruleles(FentielTh?or?medi?rm.aleursD?monstrationde:Enn,Onhaquevconstructionaneexploiterariel'unedansdesdirectionexpressiouro,nlesutileduagissanlaplaciensurdequiWittendedonn?esauparformleprendth?or?meforme2.4.g?n?ralisationOnci-dessoussaitd?monqueK?nneth.puleourlaleelaplacien?deseHopdge-dvedeRham,(2.10)onaua-formesformesl'aidedeux(2.5),Onduil'?tendle?(2.11).dedge-delaomani?redesuivunlorsectre.spontetbfonctionstiendeuxenand?vte?tant(2.11)identi?obtienesla?uleleurenrtelev?suret.5A2~d = 0
~ ~d p’
~d

’ ~T ! = e ! T d = dT’ ’ ’
~T d’
d
~d d h
2~p h L dv’ g
~d T h d’
2 2’L dv =e dv d’ g
2h L dvg
~ ~dh = 0 h d
T h (p 1)’R R R
’ ’ ’~hT h; didv = he T h;e didv = hh; d(e )idv = 0’ ’ ’ g gM
T h dv d’ ’
2L dv’
d
1U C M
j : @U ! U N
A’

j (i !) = 0 j (!) = 0N(A )’ ~ ~j (i d!) = 0 j (d!) = 0N
R’

j (!) = 0
(R )’ ~j (d!) = 0
etdeultatsaunormeyWittennoaLed?nie.?dansd'unesaordclasseedesont?en-ctervohomolod?mongie.estD?monstrationla:normalL'isomorphieseenplus,tresurleslacohomologiesed?coule2.13.imm?diate-tionsmenlicit?taduNouslemmepropri?t?s2.12.dLebfaitnormeque-ferm?'appliquehampminimiseLesladenormelaplaciensdoncdge-cpdourplaalorsmesureestoetH)deohomolor?sultepr?sendulesfaitr?quemth?orietladeset??rieordvelonseticidonclaplacienquecetordueSiestdomaineorthogonalexauari?t?formeontielleetdi?renl'injection-exacte.unEnn,vLabl'image)deCohomologieduestdge-deferm?etd'apr?sWitten.leabsoluelemmes'?crit2.12,gie.etcohomologiesisa2.2..estlaunes'aesp.minimise(r?reudimension-forme,Sialorsetaconditionincohomologieoysndelemmeesdu:isomorphismed?sunetestd?monstra-dedes,sCedeationultipl'applicfonarticulier,inpenirEnv.ri.t?scelabd?coule.derapplaouremarquetronssuivquelquesanduteded?pdansalorsca:re.Lemmep2.12.unSi?onordp-formesosevdecompactel'image),esp.note(rminimisenoyaueleestverscanoniqueendest.cPdearecteurcons?quenaut,ord.pasconditionslabdeclassiques6laplacienorthogonaleHopRhamourg?n?ralisenlaaumesuredeplusieursLterviendraconditionrestriction(enisomorphe)formes?foisDe-ohomoloexacte,ladoncdeminimiseclassladansnormeeaeumepourourIllaoumesurelaevmesur-harmonique,laquedans-formesauneclassededeisomorphes.ourcette-cohomologie.(2.14)2.3.laVrelativari?t?s(?nebeordtLespar?nonc?sgiesdescth?or?mesLdeCorollairecontv?ergenced?duitsponectralesuite,etpar(2.15)auest’ = 0
A R’ ’
R’
A’
’T : !! e !
A A’ 0
h
~ A T h’ ’ ’
2A L dv0 ’

j (!) = 0
(D) j (!) = 0
!
~d U A’
~ ~~! = dd = d j (i ) = 0N
2 1~ ~ d = 0 L d !
2! L
(A )’
2 1~ L d !
T A’ 0
2 2’ 1L e dv d T !g ’
p p+12
(U) 2
(U)
Z
~~(d;) = (;d) + j (^

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.