Sur le spectre des fibres en tore qui s'effondrent

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Sur le spectre des fibres en tore qui s'effondrent Pierre Jammes Resume.— On considere des fibres en tores sur S1 et T 2, munis d'une structure de solvariete, et on etudie le comportement du spectre du laplacien agissant sur les formes differentielles invariantes a gauche lors d'effondrements homogenes a courbure et diametre bornes. On montre comment le nombre de petites valeurs propres depend de la topologie du fibre et de la geometrie de l'effondrement. Mots clefs : effondrement, laplacien, formes differentielles, petites valeurs propres, nilvarietes, solvarietes. Abstract.— We consider torus bundles over S1 and T 2 with solmanifold structure, and analyze the behavior of the Laplacian acting on left-invariant differential forms under homogeneous collapsings with bounded diameter and bounded sectional curvature. We show how the number of small eigenvalues depends on the topology of the bundle and the geometry of the collapsing. Keywords : collapsing, laplacian, differential forms, small eigenvalues, nilmanifolds, solv- manifolds. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Soit (M, g) une variete riemannienne compacte connexe orientable de dimen- sion m. On considere l'operateur ∆ = d? + ?d agissant sur l'espace ?p(M) des p-formes differentielles sur M . Le spectre de cet operateur forme un ensemble discret de nombres positifs ou nuls qu'on notera 0 = ?0,p(M, g) < ?1,p(M, g) ≤ ?2,p(M, g) ≤ .

  • spectre

  • topologie

  • nilvariete de dimension

  • comportement du spectre du laplacien ∆pinv

  • crochets de lie entre les vecteurs de la base

  • effondrement

  • depend de la topologie du fibre et de la geometrie de l'effondrement

  • metrique homogene

  • base de l'espace vertical


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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Surlespectredesfibre´sentorequis’effondrentPierreJammesRe´sume´.Onconside`redesfibre´sentoressurS1etT2,munisd’unestructuredesolvarie´te´,etone´tudielecomportementduspectredulaplacienagissantsurlesformesdiffe´rentiellesinvariantesa`gauchelorsd’effondrementshomoge`nesa`courbureetdiame`treborne´s.Onmontrecommentlenombredepetitesvaleurspropresde´penddelatopologiedufibre´etdelage´ome´triedel’effondrement.Motsclefs:effondrement,laplacien,formesdiffe´rentielles,petitesvaleurspropres,nilvarie´te´s,solvarie´te´s.Abstract.—WeconsidertorusbundlesoverS1andT2withsolmanifoldstructure,andanalyzethebehavioroftheLaplacianactingonleft-invariantdifferentialformsunderhomogeneouscollapsingswithboundeddiameterandboundedsectionalcurvature.Weshowhowthenumberofsmalleigenvaluesdependsonthetopologyofthebundleandthegeometryofthecollapsing.Keywords:collapsing,laplacian,differentialforms,smalleigenvalues,nilmanifolds,solv-manifolds.MSC2000:58J50,58C401.IntroductionSoit(M,g)unevarie´te´riemanniennecompacteconnexeorientablededimen-sionm.Onconside`rel’ope´rateurΔ=dδ+δdagissantsurl’espaceΩp(M)desp-formesdiffe´rentiellessurM.Lespectredecetope´rateurformeunensemblediscretdenombrespositifsounulsqu’onnotera0=λ0,p(M,g)1,p(M,g)λ2,p(M,g)...,ou`lamultiplicite´deλ0,p(M,g)estlep-e`menombredeBettideM,lesautresvaleursproprese´tantre´pe´te´es’ilyamultiplicite´.L’e´tudedulaplacienagissantsurlesfonctions,i.e.lecasp=0,d’unevarie´te´riemanniennemontrequesilediame`treetlacourburedeRiccideMve´rifientdiam(M,g)<detRic(M,g)≥−ag,aveca>0,lapremie`revaleurproprenonnulleestuniforme´mentminore´e([Gr80],[LY80]):λ1,0(M,g)>C(m,a,d)>0.Maisunetelleine´galite´nesege´ne´ralisepasauxp>0,meˆmeavecl’hypothe`seplusfortedecourburesectionnelleborne´e.Cependant,danslecasou`lacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,etavecl’hypothe`sesupple´mentairequelerayond’injectivite´ve´rifieinj(M,g)>ravecr>0,B.ColboisetG.Courtoisontmontre´([CC90])queλ1,p(M,g)>C0(m,a,d,r)>0.1
Cere´sultatae´te´ame´liore´parS.ChanilloetF.Tre`ves([CT97]),quiobtiennentlaminorationexpliciteλ1,p(M,g)>C00(m,a,d)r4m2+4m2,avecC00>0,ou`rde´signelerayond’injectivite´deM.Onvoitquesiunevarie´te´admetunesuitedeme´triquea`diame`treetcourbureborne´etellequeλ1,ptendevers0,pour1pm,sonrayond’injectivite´tendaussivers0,c’est-a`-direqu’elles’effondre.Iln’estcependantpasclairenge´ne´ral,quandlavarie´te´s’effondre,dede´terminersiλ1,ptendversze´ro.Onsaittoutefois,graˆceauxtravauxdeR.Forman([Fo95]),etdeR.MazzeoetR.Melrose([MM90])surleslimitesadiabatiquesd’unfibre´—c’est-a`-diredeseffondrementsconsistantendeshomothe´tiesdansunedirectionverticale,lame´triquerestantconstantedansladirectionhorizontale—,quel’existencedepetitesvaleurspropresquandunevarie´te´s’effondreestfortementlie´ea`satopolo-gie.Maisilnoussembleaussiinte´ressantd’e´tudierdeseffondrementsautresquelessituationsadiabatiques,etpluspre´cise´mentd’observercommentvarielecompor-tementduspectreenfonctiondelage´ome´triedel’effondrement.Pourcela,nousallonsconside´rerlecassimpledefibre´sentoreTnmunisd’unestructurehomoge`ne—construitscommequotientΓ\Gd’ungroupedeLieGparunre´seaucocompactpΓ—,ete´tudierlecomportementduspectredulaplacienΔinvrestreinta`l’espacededimensionfinieΩp(M)Gdesp-formeshomoge`nes—i.e.invariantesa`gauchepourl’actiondeG—lorsd’effondrementspardesme´triqueshomoge`nes.Eneffet,lesva-leurspropresdeΔinv,quenousnoteronsλik,npv(M,g)etquisontennombrefini,sontaussivaleurspropresdeΔ.Enparticulier,lespetitesvaleurspropresdeΔinvsontpetitesvaleurspropresdeΔ.Deplus,J.Lottamontre´re´ciproquementdans[Lo02]quedanslecasou`Gestnilpotent,larecherchedepetitesvaleurspropresdeΔserame`nea`l’e´tudedeΔinv:Proposition1.1(Lott).Ilexistedesconstantesa(n),a0(n)etc(n)strictementpositivestellesquesiMestuneinfranilvarie´te´dedimensionnmunied’uneme´triquehomoge`nepourlaquellekRkdiam(M)2a0,ou`kRkestlanormedutenseurdecourbure,etsiαestuneformepropredulaplaciensurMdontlavaleurpropreλve´rifieλ<adiam(M)2ckRk,alorsαestinvariante.Maiscere´sultatnesege´neralisepasauxgroupesre´solubles.Nousenverronsunexempleauparagraphe4.3.Dansunpremiertemps,nousallonse´tudierdesexemplesdefibre´sentoredontlabaseestuncercleetmontrerquelatopologiepeutfaireobstructiona`l’existencedepetitesvaleurspropres,etquedeplus,danslecascontraire,lenombredevaleursproprestendantversze´rode´pendfortementdelage´ome´triedel’effondrement.Exemple1.2.SoitGlegrouped’Heisenbergdedimension31xzG=01y,x,y,zR,100etΓlesous-groupedeGforme´desmatricesa`coefficientsentiers.LequotientM=Γ\Gestunenilvarie´te´.C’estaussiunfibre´entoreT2surlecercledontlesfibressontlesquotientsdessous-varie´te´sdeGd’e´quationx=cte.2
SoitX,YetZleschampsdevecteursinvariantsa`gaucheengendre´sen(0,0,0)par∂/∂x,∂/∂yet∂/∂z.CeschampspassentauquotientsurM,lecouple(Y,Z)formantunebasedel’espacevertical.Ilsve´rifient[X,Y]=Zet[X,Z]=[Y,Z]=0.Soitε]0,1]etα1.OnposeXε=X,Yε=ε1YetZε=εαZ.Onaalors[Xε,Yε]=εα1Zε.Soitgεlame´triquedeMinvariantea`gauchetellequelabase(Xε,Yε,Zε)soitorthonorme´eentoutpoint.Quandε0,lediame`tredelafibretendvers0.Onde´duitdescrochetsdeLieentrelesvecteursdelabasequelesformesdelabaseduale(Xε[,Yε[,Zε[)ve´rifientdXε[=0,dYε[=0etdZε[=εα1Xε[Yε[etlecalculmontrefinalementqueΔXε[=0,ΔYε[=0etΔZε[=ε2(α1)Zε[.Onvoitquesiα=1(situationadiabatique),lespectredeΔi1nvestinde´pendantdeεmaissiα>1,alorsλi1,n1vtendversze´roquandεtendversze´ro.Lefaitqu’unevarie´te´quis’effondresuruncercleadmetteunestructuredesol-varie´te´estde´ja`connu([Pe89],[Tu97]).Nousnousproposonsicid’endonneruneconstructionexplicitedansuncassimple.Lesfibre´sconside´re´sserontde´finiscommesuspensiond’undiffe´omorphismeline´airedelafibreTnrepre´sente´parune´le´mentASLn(Z)(commeAesta`coefficientsentiers,l’actiondeAsurRnlaissestablelere´seauZn,etdoncpasseauquotientsurTn).Parexemple,en1.2,cettematriceest(0111).Deplus,nousferonsl’hypothe`sesimplificatricequeAadmetunlogarithmere´el—enparticulierpourrepre´senterfacilementlegroupeGdansGLn+2(R)—,cequilaisseramalgre´toutungrandnombred’exemplesa`notredisposition.Enfin,aulieudeprendreunebornesurlediame`trecommehypothe`sedenormalisation,nousfixeronslame´triquedelabase.Lesproprie´te´sduspectrequenousallonsmettreene´videncesontdonne´esparleThe´ore`me1.3.SoitASLn(Z)etBGLn(R)telsqueA=exp(B),dladimen-siondusous-espacecaracte´ristiqueassocie´a`lavaleurpropre0deBetd0ladimen-siondesonnoyau.IlexisteungroupeG(B)GLn+2(R)etunre´seauΓGtelqueΓ\Gsoithome´omorpheaufibre´MdefibreTndefibrationp:MS1construitparsuspensiondudiffe´omorphismeA.Sideplusonsupposequelesme´triquessurMsonthomoge`nesettellesquepsoitunesubmersionriemanniennepouruneme´triquedevolume1surS1,alors:1.3.1dimKerΔi1nv=d0+1etΔi1nvadmetnd0valeurspropresnonnullesdistinctesounon.1.3.2Pourtouta>0,ilexisteuneconstantec(B,a)>0tellequepourtouteme´triqueinvariantegsurMtellequelacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλii,n1v(M,g)<c,pourtouti.1.3.3Sid6=n,alorspourtouta>0,ilexisteuneconstantec0(B,a)>0tellequepourtouteme´triquegsurMlacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλidnvd0+1,1(M,g)>c0.3
Sid=netd06=n,alorsGestnilpotent,etilexisteunesuitedeme´triquesgεsurMtellequelacourburesoituniforme´mentborne´eetλii,n1v(M,gε)0quandε0,pourtout0<ind0.Sid=d0=n,alorsG=Rn,Mestuntoreetlesformesharmoniquessontexactementlesformesinvariantes.1.3.4Pourtoutkdd0,ilexisteunefamilledeme´triquesgεksurMdecourbureetdiame`treuniforme´mentborne´sparrapporta`εetuneconstantec00(B,k)>0tellequeλii,n1v(M,gεk)0pourikquandε0,etλikn+v1,1(M,gεk)>c00si.n<kRemarque1.4.Lepoint1.3.4montrequelenombredepetitesvaleursproprespeut,quandlatopologielepermet,fortementvarieraveclage´ome´triedel’effondre-.tnemRemarque1.5.Lade´monstationde1.3.4metene´videncelefaitquedanslecasd’uneffondrementparhomothe´tiesdelafibre,iln’yapasdepetitesvaleurspropres.D’autrepart,cethe´ore`mepermetdedonneruneconditionne´cessaireetsuffisantesurBpourl’existencedepetitesvaleursproprespourles1-formes:Corollaire1.6.Sousleshypothe`sesduthe´ore`me1.3,ilexisteunesuitedeme´triqueshomoge`nesgεsurMtellequeλi1,n1v(M,gε)0quandε0sietseulementsid6=d0(i.e.silare´duitedeJordandeBaunblocnilpotentnonnul).Remarque1.7.Cere´sultatestillustre´parl’exemple1.2,pourlequelonaB=(0001),d=2etd0=1.Remarque1.8.L’existenced’unblocnilpotentnonnuldanslare´duitedeJordandeBimpliquel’existenced’unblocunipotentnontrivialdanslare´duitedeA,cequinousdonneuneconditionne´cessairesurlatopologie.NotonsaussiquecetteconditionsurAestuncasparticulierd’unre´sultatre´centdeJ.Lott([Lo02],corollaire4).Remarque1.9.Lesre´sultats1.3et1.6montrentquelecomportementasymp-totiqueduspectredeΔi1nvestessentiellementlie´a`lanature,s’ilexiste,dublocnilpotentdelare´duitedeJordandeB.Danslecasdesp-formes,p2,lasituationestpluscomplexe,etenparticulierlecorollaire1.6n’estpasvraipournetpquelconque(onverraen4.1unexemplemontrantqu’ilpeutexisterunepetitevaleurproprepourles2-formesalorsqueBn’apasdeblocnilpotent).Onpeutcependantdonneruneconditionne´cessairea`l’existencedepetitesvaleurspropres,a`savoirqueBn’estpassemi-simple.Eneffet,onale:The´ore`me1.10.Sousleshypothe`seduthe´ore`me1.3,siBestsemi-simple,alorsilexistec00(B,a)>0telquepourtouteme´triquehomoge`negsurMdontlacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλi1,npv(M,g)>c00.4
Dans[Lo02],J.Lottmontreunre´sultatsemblablepourunfibre´entoresurunebasequelconque(the´ore`me6),maisavecdeshypothe`sesplusfortessurlastructuredufibre´.Enpetitedimension,onpeuteˆtrepluspre´cisetmettreene´videnceunliensimpleentrel’existencedepetitesvaleurspropresetlastructuredugroupeG:Corollaire1.11.Supposonsquen=2ou3.S’ilexistep[1,n]etunesuitedeme´triqueshomoge`nessurMtellequelacourburesectionnelleassocie´esoituni-forme´mentborne´eetqueλi1,npvtendevers0,alorsGestnilpotent.Remarque1.12.C’estparexemplelasituationexpose´een1.2,ou`onap=1et.2=nLesre´sultats1.3,1.6,1.10et1.11serontde´montre´sdanslapartie2.Dansundeuxie`metemps,nouse´tudieronslecasdesfibre´sprincipauxentoreTndontlabaseestuntoreT2.Leurtopologieestrelativementsimple.OnpeutparexemplelesconstruirecommesommedeWhitney([Hu66],p.15)denfibre´sencerclesurT2.Nousallonsmontrerqu’untelfibre´estaussidiffe´omorpheauproduitd’untoreetd’unenilvarie´te´dedimension3,pourmettreensuiteene´videncelefaitques’ilestmunid’uneme´triquehomoge`ne,ilexisteuneuniquevaleurproprenonnullesurlesformesinvariantesqu’onpeutcalculerenfonctiondelame´trique.Onobtientlere´sultatsuivant:The´ore`me1.13.SoitMunfibre´principalnontrivialentoreTnsurletoreT2.srolA1.13.1Mestunenilvarie´te´et,sin2,Mesthome´omorphea`N×Tn1,ou`Nestunenilvarie´te´dedimension3.1.13.2IlexisteunvecteurVverticaltelquesiMestmunid’uneme´triquehomoge`ne,alorspourtoutp[1,n+1],Δipnvadmetuneuniquevaleurproprenonnulleλ.Samultiplicite´estCnp1,etλ=Vol(B)2|V|2,ou`Vol(B)estlevolumedelabasedufibre´pourlame´triqueinduite.Remarque1.14.Leproduitdu1.13.1n’estpasne´cessairementriemannienpourlesme´triquesconside´re´es.Lespectrenepeutdoncpassede´duiredelaformuledeKu¨nneth.Remarque1.15.Onvoitquecontrairementa`lasituationduthe´ore`me1.3,uneffondrementparhomothe´tiesdelafibreproduitunepetitevaleurpropre,etqueλestalorsproportionnelaucarre´dudiame`tredelafibre,a`topologiefixe´e.Remarque1.16.Danslecasou`n=1,laremarquepre´ce´denterejointlesre´sultatsdeB.ColboisetG.Courtoisquie´tudientdans[CC00]lespectredesfibre´sencerclessurdesbasesquelconquesetsansrestrictionssurlame´trique.Maissiladimensiondelafibreestplusgrande(n2),unphe´nome`nenouveauapparaıˆt:ilexistedanscecasdeseffondrementsdufibre´telsqueλnetendepasversze´ro.Nousendonneronsdesexemplesauparagraphe4.2.Sin2,lenombredepetitesvaleurspropresnede´penddoncpasuniquementdelatopologie.Cependant,onapasdeliberte´surcenombrecommeen1.3.4.Lethe´ore`me1.13serade´montre´danslapartie3.5
2.Fibre´sentoresurlecercle2.1.Structurehomoge`neNouscommenc¸onsparde´montrerlede´butduthe´ore`me1.3enconstruisantlegroupeGetlere´seauΓquinousinte´ressent.Conside´ronsunfibre´MentoreTnsurlecerclequiestlasuspensiond’undiffe´omorphismeline´aireϕrepre´sente´parlamatriceASLn(Z).Untelfibre´serahome´omorphea`nM:=T×[0,1]/(x,0)(ϕ(x),1),(2.1)PourconstruireG,onvamunirRn+1d’unestructuredegroupetellequeZn+1Rn+1=M.Sionnote(x1,∙∙∙,xn,y)lese´le´mentsdeRn+1,unetellestructuredevrave´rifier(k1,∙∙∙,kn,0)(x1,∙∙∙,xn,y)=(x1+k1,∙∙∙,xn+kn,y)(2.2)desortequelessous-espacesdeRn+1d’e´quationy=ctepassentauquotientcommedestoresTn,etx1(0,∙∙∙,0,l)(x1,∙∙∙,xn,y)=(Al.,y+l)(2.3)xndesortequelastructuredefibre´soitbiencellede´finiepar(2.1).Cettestructureesteffectivementre´alise´eende´finissantGcommel’imageduleplongement.0x.1yA(x1,∙∙∙,xn,y)7−→0xn.y1001CommeonserestreintauxmatricesAquiadmettentunlogarithmeB,l’expressionAyestbiende´finieenposantAy=exp(yB).Onpeutfacilementve´rifierquecetteapplicationestinjective,quesonimageGestbienunsous-groupedeGLn+2(R)etquesastructureestbiencellede´finiepar(2.2)et(2.3).Enfin,l’imagedeZn+1parcetteapplicationestbienunsous-groupediscretdeG,qu’onnoteraΓ.Lavarie´te´Mestdonchome´omorpheauquotientΓ\G.Remarque:onpeutve´rifierquesiA=(0111),legroupeGobtenuestisomorpheaugrouped’Heisengergdedimension3telqu’ilestpre´sente´dansl’exemple1.2.2.2.LaplacienSoitXietYleschampsinvariantsa`gaucheengendre´senIn+2respectivementrap.0.00..10B.0.0∂xi=..0et∂y=0010.0000000PCeschampsve´rifient[Xi,Xj]=0et[Y,Xi]=jn=1bjiXj.OnpeutremarquerqueGl’applicationX7→[Y,X]estunendomorphismedel’espaceΓ(TVM)desformes6
invariantesverticales,c’est-a`-direl’espaceengendre´parlesXi,etdontlamatriceestB.Onnoterafcetendomorphisme.Onfixeuneme´triquehomoge`negsurMensedonnantunebase(Vi)del’espaceGΓ(TVM),cetteme´triquee´tanttelleque(V1,∙∙∙,Vn,Y)soitorthonorme´eentoutpoint.Onnotera(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)sabaseduale,etClamatricedefdanslabase(V1,∙∙∙,Vn).Onvade´terminerlespectredulaplacienΔi1nvrestreinta`l’ensembleΩ1(M)Gdes1-formesinvariantesa`gaucheenfonctiondescoefficientsdeC.Pluspre´cis´ement,onaleLemme2.4.LamatricedulaplacienΔi1nvdanslabase(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)est0.tCC1Δinv:0.0∙∙∙00De´monstration:LescrochetsdeLieentrelesvecteursdelanouvellebasesontnX[Vi,Vj]=0et[Y,Vi]=cjiVj.1=jSoitαune1-formediffe´rentielle.Sadiffe´rentielleexte´rieureestdonne´eparlarelationdα(U1,U2)=U1α(U2)U2α(U1)α([U1,U2]),ou`U1etU2sontdeschampsdevecteur.Siceschampssontinvariantsa`gauche,cetterelationdevient:dα(U1,U2)=α([U1,U2]).Onende´duit:nXdY[=0etdVi[=cijY[Vj[.(2.5)1=jLamatricedeladiffe´rentielleexte´rieured:Ω1(M)GΩ2(M)Gsera,danslesbases(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)et(Y[Vi[,Vi[Vj[),0.tCd:00..00Lesdeuxbasessontorthonorme´e,donclamatricedanscesbasesdeladivergenceδ2(M)GΩ1(M)Gseradonclatranspose´edelamatriceci-dessus.Commeladiffe´rentiellerestreintea`Ω0(M)Gestnulle,lelaplacienΔ=δd+dδsere´duitsurΩ1(M)Ga`l’ope´rateurδd.Onende´duitlamatricedulaplacienΔinvrestreinta`Ω1(M)Gest,danslabase(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[),0tC.t.0C00CC.=0∙∙∙00∙∙∙0.0000∙∙∙000Remarque:OnafaiticilecalculpourunYfixe´,c’est-a`-direpouruncertainGchoixdeconnexiondufibre´.MaissionchoisitY0telqueY0YΓ(TVM)etuneme´triquetelleque(V1,∙∙∙,Vn,Y0)soitorthonorme´e,lere´sultatseralemeˆmecaronPauratoujours[Y0,Vi]=[Y,Vi]=jn=1bjiVj.7
2.3.CourbureNousallonsde´montrerdanscettepartieunlemmequinousserviraa`fairelelienentrelecontroˆledelacourbureetl’existencedepetitesvaleurspropres.Lemme2.6.Soiralabornesupe´rieuredelavaleurabsoluedelacourburesection-nellede(M,g).Ilexistedesconstantesτ(n)>0etκ(B)tellequeτ1a<Tr(CtC)<τa+κ.De´monstration:Rappelonstoutd’abordl’expressionsuivante(dontlelecteurpourratrouverlade´monstrationdans[CE75])delacourburesectionnelleK(U,V),ou`UetVsontdeuxchampsinvariantsa`gauched’ungroupedeLiequelconque:K(U,V)=1kadUV+adVUk2−hadUU,adVVi(2.7)43k[U,V]k21h[[U,V],V],Ui−1h[[V,U],U],Vi.224Nousallonsappliquercetterelationauxchampsdelabase(Vi,Y).Pourcela,remar-quonsd’abordquelesmatricesdeadYetadVisont,danscettebase .0! .c1i!adY:CetadVi:00∙∙∙0000∙∙∙0c0niPOnende´duitadViY=0,adYY=0,adYVi=jcijVjetadViVj=cjiY,etdonceuq1312K(Y,Vi)=4kadYVik24k[Y,Vi]k−2h[[Vi,Y],Y],Vii1XX1X=ci2j3cj2i2cijcji=cj2i+(cijcji)244jjjte1∗∗2∗∗K(Vi,Vj)=4kadViVj+adVjVik−hadViVi,adVJVji1=(cij+cji)2ciicjj.4D’autrepart,commeCestlamatricedef,letermededegre´n2dupolynoˆmecaracte´ristiqueestPinde´pendantdelame´triquechoisie.Lecalculmontrequesoncoefficientestκ=ij(ciicjjcijcji).Onpeutende´duirequeXnXn11XnK(Vi,Vj)+κ=(cij+cji)2cijcji=(cijcji)2,i,j=1i,j=144i,j=1etdoncqueXnXnXncj2i=K(Vi,Vj)K(Y,Vi)+κ(n2+n)a+κ,i,j=1i,j=1i=1cequimontrel’unedesdeuxine´galite´dulemme.Lasecondede´couledufaitquelacourburesectionnelles’e´critcommeunpolynoˆmehomoge`nededegre´deuxrelative-mentauxcij.8
2.4.PetitesvaleurspropresNousallonsmaintenantde´montrerlesre´sultatsconcernantlespectredeΔinv.De´monstrationde1.3.1:SiUestunvecteurcolonnetelqueCtCU=0,alorstUCtCU=0etdoncktCUk=0.Parconse´quent,dimKerCtC=dimKertC=dimKerC=d0,etdimKerΔi1nv=d0+1.De´monstrationde1.3.2:CommelatracedeΔi1nvestcelledeCtC,lere´sultatde´couledirectementdulemme2.6.De´monstrationde1.3.3:Supposonsqued6=n.SoitE0lesous-espacecaracte´ristiquedefassocie´a`lavaleurpropre0.OnnoteraE0sonorthogonalpourladualite´dansl’espacedes1-formesinvariantesverticales.Commed6=n,l’espaceE0estdedimensionnonnulle.OnvamontrerquelequotientdeRayleighestuniforme´mentminore´surE0,pourensuiteappliquerleprincipeduminimax.Remarques:commelesformesetlesme´triquesconside´re´essontinvariantes,lanormeponctuelled’uneformenede´pendrapasdupointou`onlacalcule,cequi22permetd’e´crirequeR(α)=kkdααkk2=||dαα||2.D’autrepart,ilfautnoterquelano-tiond’orthogonalite´pourladualite´estinde´pendantedelame´trique.Enparticulier,commeE0estde´finiinde´pendammentdelame´trique,E0leseraaussi.GSoitV[E0et(Vi)unebasedeΓ(TVM)telleque(V1,∙∙∙,Vd)soitunebaseorthonorme´edeE0(sid=0etdoncE0=0,onchoisitalors(Vi)orthonorme´equelconque,lasuitedelade´monstrationrestantvalide).L’espaceE0eststableparf,doncE0eststablepartf,etlamatricede(tf)|Edanslabase(Vd[+1,∙∙∙,Vn[)0esttD,ou`Destunesous-matricedeC.Commelarelation(2.5)peuts’e´criredV[=Y[(tf)(V[),ona|dV[|2=|(tf)(V[)|2λ|V[|2,ou`λestlapluspetitevaleurpropredeDtD.D’unepart,lede´terminantdecettematriceve´rifieDetDtD=(DettD)2=(Det(tf)|E)2,etdoncDetDtDestinde´pendantduchoixdelabase0(Vi).D’autrepart,Dett(f|E)estnonnul.Eneffet,sitf|E(α)=0,alorsαf=0,00doncαestorthogonala`l’imagedef,quicontientlessous-espacescaracte´ristiquesdefautresqueE0,etparconse´quentαestnul.Onende´duitqueλestuniforme´mentminore´e:s’ilexisteunesuitedeme´triquestellequeλ0,alorslaplusgrandevaleurpropredeDtDtendversl’infini(carDetDtDestconstant),cequiestimpossiblepuisquelacourbureestborne´eetqueTrCtCTrDtD(carDestunesous-matricedeC),etdoncquelasommedesvaleurspropresdeDtDestborne´e.Onamontre´quelequotientdeRayleighdeαE0estminore´paruneconstantec(f,a)inde´pendantedelame´triqueetduchoixdeα.CommedimE0=nd,leprincipeduminimaxnousditdoncquelesn+1dplusgrandesvaleurspropresdeΔi1nvsontminore´eparc.CommedimKerΔi1nv=d0+1etquedimΩ1(M)G=n+1,onende´duitqueλidnvd0+1,1>c.Sid=n,alorsilexistePGLn(R)telqueP1BPsoittriangulairesupe´rieureavecdes0surladiagonale,etcommeP1AP=P1exp(B)P=exp(P1BP),lamatriceP1APseratriangulairesupe´rieureavecdes1surladiagonale.Onende´duit,enposantP0=P0I0GLn+2(R),quelegroupeP01GP0,ou`Gestlegroupeconstruitauparagraphe2.1i,estconstitue´dematricestriangulairessupe´rieuresavecdes1surladiagonale.C’estdoncungroupenilpotent.9
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