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Surlespectredesfibre´sentorequis’effondrentPierreJammesRe´sume´.Onconside`redesfibre´sentoressurS1etT2,munisd’unestructuredesolvarie´te´,etone´tudielecomportementduspectredulaplacienagissantsurlesformesdiffe´rentiellesinvariantesa`gauchelorsd’effondrementshomoge`nesa`courbureetdiame`treborne´s.Onmontrecommentlenombredepetitesvaleurspropresde´penddelatopologiedufibre´etdelage´ome´triedel’effondrement.Motsclefs:effondrement,laplacien,formesdiffe´rentielles,petitesvaleurspropres,nilvarie´te´s,solvarie´te´s.Abstract.—WeconsidertorusbundlesoverS1andT2withsolmanifoldstructure,andanalyzethebehavioroftheLaplacianactingonleft-invariantdifferentialformsunderhomogeneouscollapsingswithboundeddiameterandboundedsectionalcurvature.Weshowhowthenumberofsmalleigenvaluesdependsonthetopologyofthebundleandthegeometryofthecollapsing.Keywords:collapsing,laplacian,differentialforms,smalleigenvalues,nilmanifolds,solv-manifolds.MSC2000:58J50,58C401.IntroductionSoit(M,g)unevarie´te´riemanniennecompacteconnexeorientablededimen-sionm.Onconside`rel’ope´rateurΔ=dδ+δdagissantsurl’espaceΩp(M)desp-formesdiffe´rentiellessurM.Lespectredecetope´rateurformeunensemblediscretdenombrespositifsounulsqu’onnotera0=λ0,p(M,g)1,p(M,g)λ2,p(M,g)...,ou`lamultiplicite´deλ0,p(M,g)estlep-e`menombredeBettideM,lesautresvaleursproprese´tantre´pe´te´es’ilyamultiplicite´.L’e´tudedulaplacienagissantsurlesfonctions,i.e.lecasp=0,d’unevarie´te´riemanniennemontrequesilediame`treetlacourburedeRiccideMve´rifientdiam(M,g)<detRic(M,g)≥−ag,aveca>0,lapremie`revaleurproprenonnulleestuniforme´mentminore´e([Gr80],[LY80]):λ1,0(M,g)>C(m,a,d)>0.Maisunetelleine´galite´nesege´ne´ralisepasauxp>0,meˆmeavecl’hypothe`seplusfortedecourburesectionnelleborne´e.Cependant,danslecasou`lacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,etavecl’hypothe`sesupple´mentairequelerayond’injectivite´ve´rifieinj(M,g)>ravecr>0,B.ColboisetG.Courtoisontmontre´([CC90])queλ1,p(M,g)>C0(m,a,d,r)>0.1
Cere´sultatae´te´ame´liore´parS.ChanilloetF.Tre`ves([CT97]),quiobtiennentlaminorationexpliciteλ1,p(M,g)>C00(m,a,d)r4m2+4m2,avecC00>0,ou`rde´signelerayond’injectivite´deM.Onvoitquesiunevarie´te´admetunesuitedeme´triquea`diame`treetcourbureborne´etellequeλ1,ptendevers0,pour1pm,sonrayond’injectivite´tendaussivers0,c’est-a`-direqu’elles’effondre.Iln’estcependantpasclairenge´ne´ral,quandlavarie´te´s’effondre,dede´terminersiλ1,ptendversze´ro.Onsaittoutefois,graˆceauxtravauxdeR.Forman([Fo95]),etdeR.MazzeoetR.Melrose([MM90])surleslimitesadiabatiquesd’unfibre´—c’est-a`-diredeseffondrementsconsistantendeshomothe´tiesdansunedirectionverticale,lame´triquerestantconstantedansladirectionhorizontale—,quel’existencedepetitesvaleurspropresquandunevarie´te´s’effondreestfortementlie´ea`satopolo-gie.Maisilnoussembleaussiinte´ressantd’e´tudierdeseffondrementsautresquelessituationsadiabatiques,etpluspre´cise´mentd’observercommentvarielecompor-tementduspectreenfonctiondelage´ome´triedel’effondrement.Pourcela,nousallonsconside´rerlecassimpledefibre´sentoreTnmunisd’unestructurehomoge`ne—construitscommequotientΓ\Gd’ungroupedeLieGparunre´seaucocompactpΓ—,ete´tudierlecomportementduspectredulaplacienΔinvrestreinta`l’espacededimensionfinieΩp(M)Gdesp-formeshomoge`nes—i.e.invariantesa`gauchepourl’actiondeG—lorsd’effondrementspardesme´triqueshomoge`nes.Eneffet,lesva-leurspropresdeΔinv,quenousnoteronsλik,npv(M,g)etquisontennombrefini,sontaussivaleurspropresdeΔ.Enparticulier,lespetitesvaleurspropresdeΔinvsontpetitesvaleurspropresdeΔ.Deplus,J.Lottamontre´re´ciproquementdans[Lo02]quedanslecasou`Gestnilpotent,larecherchedepetitesvaleurspropresdeΔserame`nea`l’e´tudedeΔinv:Proposition1.1(Lott).Ilexistedesconstantesa(n),a0(n)etc(n)strictementpositivestellesquesiMestuneinfranilvarie´te´dedimensionnmunied’uneme´triquehomoge`nepourlaquellekRkdiam(M)2a0,ou`kRkestlanormedutenseurdecourbure,etsiαestuneformepropredulaplaciensurMdontlavaleurpropreλve´rifieλ<adiam(M)2ckRk,alorsαestinvariante.Maiscere´sultatnesege´neralisepasauxgroupesre´solubles.Nousenverronsunexempleauparagraphe4.3.Dansunpremiertemps,nousallonse´tudierdesexemplesdefibre´sentoredontlabaseestuncercleetmontrerquelatopologiepeutfaireobstructiona`l’existencedepetitesvaleurspropres,etquedeplus,danslecascontraire,lenombredevaleursproprestendantversze´rode´pendfortementdelage´ome´triedel’effondrement.Exemple1.2.SoitGlegrouped’Heisenbergdedimension31xzG=01y,x,y,zR,100etΓlesous-groupedeGforme´desmatricesa`coefficientsentiers.LequotientM=Γ\Gestunenilvarie´te´.C’estaussiunfibre´entoreT2surlecercledontlesfibressontlesquotientsdessous-varie´te´sdeGd’e´quationx=cte.2
SoitX,YetZleschampsdevecteursinvariantsa`gaucheengendre´sen(0,0,0)par∂/∂x,∂/∂yet∂/∂z.CeschampspassentauquotientsurM,lecouple(Y,Z)formantunebasedel’espacevertical.Ilsve´rifient[X,Y]=Zet[X,Z]=[Y,Z]=0.Soitε]0,1]etα1.OnposeXε=X,Yε=ε1YetZε=εαZ.Onaalors[Xε,Yε]=εα1Zε.Soitgεlame´triquedeMinvariantea`gauchetellequelabase(Xε,Yε,Zε)soitorthonorme´eentoutpoint.Quandε0,lediame`tredelafibretendvers0.Onde´duitdescrochetsdeLieentrelesvecteursdelabasequelesformesdelabaseduale(Xε[,Yε[,Zε[)ve´rifientdXε[=0,dYε[=0etdZε[=εα1Xε[Yε[etlecalculmontrefinalementqueΔXε[=0,ΔYε[=0etΔZε[=ε2(α1)Zε[.Onvoitquesiα=1(situationadiabatique),lespectredeΔi1nvestinde´pendantdeεmaissiα>1,alorsλi1,n1vtendversze´roquandεtendversze´ro.Lefaitqu’unevarie´te´quis’effondresuruncercleadmetteunestructuredesol-varie´te´estde´ja`connu([Pe89],[Tu97]).Nousnousproposonsicid’endonneruneconstructionexplicitedansuncassimple.Lesfibre´sconside´re´sserontde´finiscommesuspensiond’undiffe´omorphismeline´airedelafibreTnrepre´sente´parune´le´mentASLn(Z)(commeAesta`coefficientsentiers,l’actiondeAsurRnlaissestablelere´seauZn,etdoncpasseauquotientsurTn).Parexemple,en1.2,cettematriceest(0111).Deplus,nousferonsl’hypothe`sesimplificatricequeAadmetunlogarithmere´el—enparticulierpourrepre´senterfacilementlegroupeGdansGLn+2(R)—,cequilaisseramalgre´toutungrandnombred’exemplesa`notredisposition.Enfin,aulieudeprendreunebornesurlediame`trecommehypothe`sedenormalisation,nousfixeronslame´triquedelabase.Lesproprie´te´sduspectrequenousallonsmettreene´videncesontdonne´esparleThe´ore`me1.3.SoitASLn(Z)etBGLn(R)telsqueA=exp(B),dladimen-siondusous-espacecaracte´ristiqueassocie´a`lavaleurpropre0deBetd0ladimen-siondesonnoyau.IlexisteungroupeG(B)GLn+2(R)etunre´seauΓGtelqueΓ\Gsoithome´omorpheaufibre´MdefibreTndefibrationp:MS1construitparsuspensiondudiffe´omorphismeA.Sideplusonsupposequelesme´triquessurMsonthomoge`nesettellesquepsoitunesubmersionriemanniennepouruneme´triquedevolume1surS1,alors:1.3.1dimKerΔi1nv=d0+1etΔi1nvadmetnd0valeurspropresnonnullesdistinctesounon.1.3.2Pourtouta>0,ilexisteuneconstantec(B,a)>0tellequepourtouteme´triqueinvariantegsurMtellequelacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλii,n1v(M,g)<c,pourtouti.1.3.3Sid6=n,alorspourtouta>0,ilexisteuneconstantec0(B,a)>0tellequepourtouteme´triquegsurMlacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλidnvd0+1,1(M,g)>c0.3
Sid=netd06=n,alorsGestnilpotent,etilexisteunesuitedeme´triquesgεsurMtellequelacourburesoituniforme´mentborne´eetλii,n1v(M,gε)0quandε0,pourtout0<ind0.Sid=d0=n,alorsG=Rn,Mestuntoreetlesformesharmoniquessontexactementlesformesinvariantes.1.3.4Pourtoutkdd0,ilexisteunefamilledeme´triquesgεksurMdecourbureetdiame`treuniforme´mentborne´sparrapporta`εetuneconstantec00(B,k)>0tellequeλii,n1v(M,gεk)0pourikquandε0,etλikn+v1,1(M,gεk)>c00si.n<kRemarque1.4.Lepoint1.3.4montrequelenombredepetitesvaleursproprespeut,quandlatopologielepermet,fortementvarieraveclage´ome´triedel’effondre-.tnemRemarque1.5.Lade´monstationde1.3.4metene´videncelefaitquedanslecasd’uneffondrementparhomothe´tiesdelafibre,iln’yapasdepetitesvaleurspropres.D’autrepart,cethe´ore`mepermetdedonneruneconditionne´cessaireetsuffisantesurBpourl’existencedepetitesvaleursproprespourles1-formes:Corollaire1.6.Sousleshypothe`sesduthe´ore`me1.3,ilexisteunesuitedeme´triqueshomoge`nesgεsurMtellequeλi1,n1v(M,gε)0quandε0sietseulementsid6=d0(i.e.silare´duitedeJordandeBaunblocnilpotentnonnul).Remarque1.7.Cere´sultatestillustre´parl’exemple1.2,pourlequelonaB=(0001),d=2etd0=1.Remarque1.8.L’existenced’unblocnilpotentnonnuldanslare´duitedeJordandeBimpliquel’existenced’unblocunipotentnontrivialdanslare´duitedeA,cequinousdonneuneconditionne´cessairesurlatopologie.NotonsaussiquecetteconditionsurAestuncasparticulierd’unre´sultatre´centdeJ.Lott([Lo02],corollaire4).Remarque1.9.Lesre´sultats1.3et1.6montrentquelecomportementasymp-totiqueduspectredeΔi1nvestessentiellementlie´a`lanature,s’ilexiste,dublocnilpotentdelare´duitedeJordandeB.Danslecasdesp-formes,p2,lasituationestpluscomplexe,etenparticulierlecorollaire1.6n’estpasvraipournetpquelconque(onverraen4.1unexemplemontrantqu’ilpeutexisterunepetitevaleurproprepourles2-formesalorsqueBn’apasdeblocnilpotent).Onpeutcependantdonneruneconditionne´cessairea`l’existencedepetitesvaleurspropres,a`savoirqueBn’estpassemi-simple.Eneffet,onale:The´ore`me1.10.Sousleshypothe`seduthe´ore`me1.3,siBestsemi-simple,alorsilexistec00(B,a)>0telquepourtouteme´triquehomoge`negsurMdontlacourburesectionnelleve´rifie|K(M,g)|<a,onaλi1,npv(M,g)>c00.4
Dans[Lo02],J.Lottmontreunre´sultatsemblablepourunfibre´entoresurunebasequelconque(the´ore`me6),maisavecdeshypothe`sesplusfortessurlastructuredufibre´.Enpetitedimension,onpeuteˆtrepluspre´cisetmettreene´videnceunliensimpleentrel’existencedepetitesvaleurspropresetlastructuredugroupeG:Corollaire1.11.Supposonsquen=2ou3.S’ilexistep[1,n]etunesuitedeme´triqueshomoge`nessurMtellequelacourburesectionnelleassocie´esoituni-forme´mentborne´eetqueλi1,npvtendevers0,alorsGestnilpotent.Remarque1.12.C’estparexemplelasituationexpose´een1.2,ou`onap=1et.2=nLesre´sultats1.3,1.6,1.10et1.11serontde´montre´sdanslapartie2.Dansundeuxie`metemps,nouse´tudieronslecasdesfibre´sprincipauxentoreTndontlabaseestuntoreT2.Leurtopologieestrelativementsimple.OnpeutparexemplelesconstruirecommesommedeWhitney([Hu66],p.15)denfibre´sencerclesurT2.Nousallonsmontrerqu’untelfibre´estaussidiffe´omorpheauproduitd’untoreetd’unenilvarie´te´dedimension3,pourmettreensuiteene´videncelefaitques’ilestmunid’uneme´triquehomoge`ne,ilexisteuneuniquevaleurproprenonnullesurlesformesinvariantesqu’onpeutcalculerenfonctiondelame´trique.Onobtientlere´sultatsuivant:The´ore`me1.13.SoitMunfibre´principalnontrivialentoreTnsurletoreT2.srolA1.13.1Mestunenilvarie´te´et,sin2,Mesthome´omorphea`N×Tn1,ou`Nestunenilvarie´te´dedimension3.1.13.2IlexisteunvecteurVverticaltelquesiMestmunid’uneme´triquehomoge`ne,alorspourtoutp[1,n+1],Δipnvadmetuneuniquevaleurproprenonnulleλ.Samultiplicite´estCnp1,etλ=Vol(B)2|V|2,ou`Vol(B)estlevolumedelabasedufibre´pourlame´triqueinduite.Remarque1.14.Leproduitdu1.13.1n’estpasne´cessairementriemannienpourlesme´triquesconside´re´es.Lespectrenepeutdoncpassede´duiredelaformuledeKu¨nneth.Remarque1.15.Onvoitquecontrairementa`lasituationduthe´ore`me1.3,uneffondrementparhomothe´tiesdelafibreproduitunepetitevaleurpropre,etqueλestalorsproportionnelaucarre´dudiame`tredelafibre,a`topologiefixe´e.Remarque1.16.Danslecasou`n=1,laremarquepre´ce´denterejointlesre´sultatsdeB.ColboisetG.Courtoisquie´tudientdans[CC00]lespectredesfibre´sencerclessurdesbasesquelconquesetsansrestrictionssurlame´trique.Maissiladimensiondelafibreestplusgrande(n2),unphe´nome`nenouveauapparaıˆt:ilexistedanscecasdeseffondrementsdufibre´telsqueλnetendepasversze´ro.Nousendonneronsdesexemplesauparagraphe4.2.Sin2,lenombredepetitesvaleurspropresnede´penddoncpasuniquementdelatopologie.Cependant,onapasdeliberte´surcenombrecommeen1.3.4.Lethe´ore`me1.13serade´montre´danslapartie3.5
2.Fibre´sentoresurlecercle2.1.Structurehomoge`neNouscommenc¸onsparde´montrerlede´butduthe´ore`me1.3enconstruisantlegroupeGetlere´seauΓquinousinte´ressent.Conside´ronsunfibre´MentoreTnsurlecerclequiestlasuspensiond’undiffe´omorphismeline´aireϕrepre´sente´parlamatriceASLn(Z).Untelfibre´serahome´omorphea`nM:=T×[0,1]/(x,0)(ϕ(x),1),(2.1)PourconstruireG,onvamunirRn+1d’unestructuredegroupetellequeZn+1Rn+1=M.Sionnote(x1,∙∙∙,xn,y)lese´le´mentsdeRn+1,unetellestructuredevrave´rifier(k1,∙∙∙,kn,0)(x1,∙∙∙,xn,y)=(x1+k1,∙∙∙,xn+kn,y)(2.2)desortequelessous-espacesdeRn+1d’e´quationy=ctepassentauquotientcommedestoresTn,etx1(0,∙∙∙,0,l)(x1,∙∙∙,xn,y)=(Al.,y+l)(2.3)xndesortequelastructuredefibre´soitbiencellede´finiepar(2.1).Cettestructureesteffectivementre´alise´eende´finissantGcommel’imageduleplongement.0x.1yA(x1,∙∙∙,xn,y)7−→0xn.y1001CommeonserestreintauxmatricesAquiadmettentunlogarithmeB,l’expressionAyestbiende´finieenposantAy=exp(yB).Onpeutfacilementve´rifierquecetteapplicationestinjective,quesonimageGestbienunsous-groupedeGLn+2(R)etquesastructureestbiencellede´finiepar(2.2)et(2.3).Enfin,l’imagedeZn+1parcetteapplicationestbienunsous-groupediscretdeG,qu’onnoteraΓ.Lavarie´te´Mestdonchome´omorpheauquotientΓ\G.Remarque:onpeutve´rifierquesiA=(0111),legroupeGobtenuestisomorpheaugrouped’Heisengergdedimension3telqu’ilestpre´sente´dansl’exemple1.2.2.2.LaplacienSoitXietYleschampsinvariantsa`gaucheengendre´senIn+2respectivementrap.0.00..10B.0.0∂xi=..0et∂y=0010.0000000PCeschampsve´rifient[Xi,Xj]=0et[Y,Xi]=jn=1bjiXj.OnpeutremarquerqueGl’applicationX7→[Y,X]estunendomorphismedel’espaceΓ(TVM)desformes6
invariantesverticales,c’est-a`-direl’espaceengendre´parlesXi,etdontlamatriceestB.Onnoterafcetendomorphisme.Onfixeuneme´triquehomoge`negsurMensedonnantunebase(Vi)del’espaceGΓ(TVM),cetteme´triquee´tanttelleque(V1,∙∙∙,Vn,Y)soitorthonorme´eentoutpoint.Onnotera(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)sabaseduale,etClamatricedefdanslabase(V1,∙∙∙,Vn).Onvade´terminerlespectredulaplacienΔi1nvrestreinta`l’ensembleΩ1(M)Gdes1-formesinvariantesa`gaucheenfonctiondescoefficientsdeC.Pluspre´cis´ement,onaleLemme2.4.LamatricedulaplacienΔi1nvdanslabase(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)est0.tCC1Δinv:0.0∙∙∙00De´monstration:LescrochetsdeLieentrelesvecteursdelanouvellebasesontnX[Vi,Vj]=0et[Y,Vi]=cjiVj.1=jSoitαune1-formediffe´rentielle.Sadiffe´rentielleexte´rieureestdonne´eparlarelationdα(U1,U2)=U1α(U2)U2α(U1)α([U1,U2]),ou`U1etU2sontdeschampsdevecteur.Siceschampssontinvariantsa`gauche,cetterelationdevient:dα(U1,U2)=α([U1,U2]).Onende´duit:nXdY[=0etdVi[=cijY[Vj[.(2.5)1=jLamatricedeladiffe´rentielleexte´rieured:Ω1(M)GΩ2(M)Gsera,danslesbases(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[)et(Y[Vi[,Vi[Vj[),0.tCd:00..00Lesdeuxbasessontorthonorme´e,donclamatricedanscesbasesdeladivergenceδ2(M)GΩ1(M)Gseradonclatranspose´edelamatriceci-dessus.Commeladiffe´rentiellerestreintea`Ω0(M)Gestnulle,lelaplacienΔ=δd+dδsere´duitsurΩ1(M)Ga`l’ope´rateurδd.Onende´duitlamatricedulaplacienΔinvrestreinta`Ω1(M)Gest,danslabase(V1[,∙∙∙,Vn[,Y[),0tC.t.0C00CC.=0∙∙∙00∙∙∙0.0000∙∙∙000Remarque:OnafaiticilecalculpourunYfixe´,c’est-a`-direpouruncertainGchoixdeconnexiondufibre´.MaissionchoisitY0telqueY0YΓ(TVM)etuneme´triquetelleque(V1,∙∙∙,Vn,Y0)soitorthonorme´e,lere´sultatseralemeˆmecaronPauratoujours[Y0,Vi]=[Y,Vi]=jn=1bjiVj.7
2.3.CourbureNousallonsde´montrerdanscettepartieunlemmequinousserviraa`fairelelienentrelecontroˆledelacourbureetl’existencedepetitesvaleurspropres.Lemme2.6.Soiralabornesupe´rieuredelavaleurabsoluedelacourburesection-nellede(M,g).Ilexistedesconstantesτ(n)>0etκ(B)tellequeτ1a<Tr(CtC)<τa+κ.De´monstration:Rappelonstoutd’abordl’expressionsuivante(dontlelecteurpourratrouverlade´monstrationdans[CE75])delacourburesectionnelleK(U,V),ou`UetVsontdeuxchampsinvariantsa`gauched’ungroupedeLiequelconque:K(U,V)=1kadUV+adVUk2−hadUU,adVVi(2.7)43k[U,V]k21h[[U,V],V],Ui−1h[[V,U],U],Vi.224Nousallonsappliquercetterelationauxchampsdelabase(Vi,Y).Pourcela,remar-quonsd’abordquelesmatricesdeadYetadVisont,danscettebase .0! .c1i!adY:CetadVi:00∙∙∙0000∙∙∙0c0niPOnende´duitadViY=0,adYY=0,adYVi=jcijVjetadViVj=cjiY,etdonceuq1312K(Y,Vi)=4kadYVik24k[Y,Vi]k−2h[[Vi,Y],Y],Vii1XX1X=ci2j3cj2i2cijcji=cj2i+(cijcji)244jjjte1∗∗2∗∗K(Vi,Vj)=4kadViVj+adVjVik−hadViVi,adVJVji1=(cij+cji)2ciicjj.4D’autrepart,commeCestlamatricedef,letermededegre´n2dupolynoˆmecaracte´ristiqueestPinde´pendantdelame´triquechoisie.Lecalculmontrequesoncoefficientestκ=ij(ciicjjcijcji).Onpeutende´duirequeXnXn11XnK(Vi,Vj)+κ=(cij+cji)2cijcji=(cijcji)2,i,j=1i,j=144i,j=1etdoncqueXnXnXncj2i=K(Vi,Vj)K(Y,Vi)+κ(n2+n)a+κ,i,j=1i,j=1i=1cequimontrel’unedesdeuxine´galite´dulemme.Lasecondede´couledufaitquelacourburesectionnelles’e´critcommeunpolynoˆmehomoge`nededegre´deuxrelative-mentauxcij.8
2.4.PetitesvaleurspropresNousallonsmaintenantde´montrerlesre´sultatsconcernantlespectredeΔinv.De´monstrationde1.3.1:SiUestunvecteurcolonnetelqueCtCU=0,alorstUCtCU=0etdoncktCUk=0.Parconse´quent,dimKerCtC=dimKertC=dimKerC=d0,etdimKerΔi1nv=d0+1.De´monstrationde1.3.2:CommelatracedeΔi1nvestcelledeCtC,lere´sultatde´couledirectementdulemme2.6.De´monstrationde1.3.3:Supposonsqued6=n.SoitE0lesous-espacecaracte´ristiquedefassocie´a`lavaleurpropre0.OnnoteraE0sonorthogonalpourladualite´dansl’espacedes1-formesinvariantesverticales.Commed6=n,l’espaceE0estdedimensionnonnulle.OnvamontrerquelequotientdeRayleighestuniforme´mentminore´surE0,pourensuiteappliquerleprincipeduminimax.Remarques:commelesformesetlesme´triquesconside´re´essontinvariantes,lanormeponctuelled’uneformenede´pendrapasdupointou`onlacalcule,cequi22permetd’e´crirequeR(α)=kkdααkk2=||dαα||2.D’autrepart,ilfautnoterquelano-tiond’orthogonalite´pourladualite´estinde´pendantedelame´trique.Enparticulier,commeE0estde´finiinde´pendammentdelame´trique,E0leseraaussi.GSoitV[E0et(Vi)unebasedeΓ(TVM)telleque(V1,∙∙∙,Vd)soitunebaseorthonorme´edeE0(sid=0etdoncE0=0,onchoisitalors(Vi)orthonorme´equelconque,lasuitedelade´monstrationrestantvalide).L’espaceE0eststableparf,doncE0eststablepartf,etlamatricede(tf)|Edanslabase(Vd[+1,∙∙∙,Vn[)0esttD,ou`Destunesous-matricedeC.Commelarelation(2.5)peuts’e´criredV[=Y[(tf)(V[),ona|dV[|2=|(tf)(V[)|2λ|V[|2,ou`λestlapluspetitevaleurpropredeDtD.D’unepart,lede´terminantdecettematriceve´rifieDetDtD=(DettD)2=(Det(tf)|E)2,etdoncDetDtDestinde´pendantduchoixdelabase0(Vi).D’autrepart,Dett(f|E)estnonnul.Eneffet,sitf|E(α)=0,alorsαf=0,00doncαestorthogonala`l’imagedef,quicontientlessous-espacescaracte´ristiquesdefautresqueE0,etparconse´quentαestnul.Onende´duitqueλestuniforme´mentminore´e:s’ilexisteunesuitedeme´triquestellequeλ0,alorslaplusgrandevaleurpropredeDtDtendversl’infini(carDetDtDestconstant),cequiestimpossiblepuisquelacourbureestborne´eetqueTrCtCTrDtD(carDestunesous-matricedeC),etdoncquelasommedesvaleurspropresdeDtDestborne´e.Onamontre´quelequotientdeRayleighdeαE0estminore´paruneconstantec(f,a)inde´pendantedelame´triqueetduchoixdeα.CommedimE0=nd,leprincipeduminimaxnousditdoncquelesn+1dplusgrandesvaleurspropresdeΔi1nvsontminore´eparc.CommedimKerΔi1nv=d0+1etquedimΩ1(M)G=n+1,onende´duitqueλidnvd0+1,1>c.Sid=n,alorsilexistePGLn(R)telqueP1BPsoittriangulairesupe´rieureavecdes0surladiagonale,etcommeP1AP=P1exp(B)P=exp(P1BP),lamatriceP1APseratriangulairesupe´rieureavecdes1surladiagonale.Onende´duit,enposantP0=P0I0GLn+2(R),quelegroupeP01GP0,ou`Gestlegroupeconstruitauparagraphe2.1i,estconstitue´dematricestriangulairessupe´rieuresavecdes1surladiagonale.C’estdoncungroupenilpotent.9