Sur les varietes riemanniennes jouissant de bons transports optimaux

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Sur les varietes riemanniennes jouissant de bons transports optimaux Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (en collaboration avec A. Figalli et C. Villani) Ludovic Rifford Sur les varietes TCP

  • application de transport entre µ0

  • rn ?

  • rappels de geometrie riemannienne

  • support compacts dans rn

  • ?? expx

  • probleme de transport optimal de monge dans rn


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Sur
lesvari´et´esriemanniennesjouissant bons transports optimaux
Ludovic Rifford
Universit´edeNice-SophiaAntipolis
(en collaboration avec A. Figalli et C. Villani)
LudovicRiordSurelsavrie´t´esTCP
de
I.
Intro
duction
Ludovic
Rifford
Sur
les
vari´et´es
TCP
eml`obPrgeoneMed´:)1871(sededutEinimisimtlenoˆecedtunartropsnRZtapplicationsdetrnapsroTtR:nnRuqPCTse´te´iravse
µ1(B) =µ0T1(B),
Soitµ0etµ1deuxtrop`se´pusaedrpruselitibobames compactsdansRn. On appelleapplication de transportentreµ0etµ1toute application mesurableT:RnRntelle queT]µ0=µ1, c’est `adire
BmesurableRn.
)xL.µd(0)|xT|x(SurlordicRiudovPorlbe`emgnoMedlanRsnadespantrdeimpttoor
vicRLudodSurior´iravselPCTse´te
|T(x)x|dµ0(x). Rn
µ1(B) =µ0T1(B),BmesurableRn.
´ Probl`emedeMonge(1781): Etude des applications de transportT:RnRnqimiuimintnesoceltdˆuraetponsrt Z
Soitµ0etµ1deuxbilirobasdepsureemropptse´tusa` n compactsdansR. On appelleapplication de transportentreµ0etµ1toute application mesurableT:RnRntelle queT]µ0=µ1, c’est `adi re
rPbo`lmeRnnsdageoneMldmaitpotropsnartede
etm´eog´delspeapenneinnameireirRMM7vxpxe:)v(v(=γ,o1)γv`u0,:[,xlpalpcitaoidn´enieparexpx:Tx,MxtuotlleppanoenonxpeeenleeltiPoure´´tseCTlrseavirRiordSu.Ludovic:=)vxkvkgp=),v(xngloγvg(x(xp)v)x(e,,rgdlueitrciEnpasev.itesvecvaxedtnatrapeuqis´eod´eagtlesM1]
Soit (M,gnncoeexmpcoteacunevari´)nainneentee´irme dimensionn2 etdglasiatde´docngeque´esisurM.
de
P
udLicovoRiSurdesrlirav´te´CTse
Pour toutxM, on appelleexponentielle enx, lapplicationd´eniepar
Soit (M,griemanniennecompact)ecnounvneerxae´dietee´ dimensionn2 etdglaeuqdtaisegncod´esi´esurM.
P
expx:TxM−→M v7expx(v) :=γv(1),
m
o`uγv: [0,1]Mdearepnttae´douqisltsee´gaxavec vitesse v. En particulier,
a
dg(x,expx(v))longg(γv) =pgx(v,v) =:kvkx.
ieiennennedsloe´gte´mreirappeR
adqutirapttoalimnartropse`lbedemProsnarTitpotrope´rseiamnneinnsemalsurlesvari´etCTse´te´iravselr
Soitµ0, µ1ieelr´bos(resumexuedt´eorabibilnnsed)peµ0, µ1 surM.
Soitc:M×M[0,) lecout quadratiqueranpide´ ˆ
c(x,y):=12dg(x,y)2x,yM.
PT:Mportµ0=µM(T]mini)1uqneZtmisitu´Ee:quppsadedenoitacilsnartedst´e?R´egularit´eL?duvociiRodruS(xMc(x,Tdµ))x)0(ixE.netsU?ecicin
sneennainriemt´esri´eesvalamilrusropstpotanTrte´iTse´
Soitc:M×M[0,) leeuqitardautqˆucoaipnre´d
PC
c(x,T(x))dµ0(x). M
´ Proble`medetransportoptimalquadratique: Etude des applications de transportT:MM(T]µ0=µ1) qui minimisent Z
Soitµ0, µ1balirpbotie´or(bli´eneendes)uedsemxseruµ0, µ1 surM.
c(x,y:)1=2dg(x,y)2x,yM.
teisExe´R?e´ticinU?ecndovie?Lurit´gulavsraruelroSdRci
nnsesr´eeti´iennmaieslamitporavselruTportransdruSlrseavire´´tesTCP
Soitc:M×M[0,) lecoˆutquadrauqitee´dpinra
c(x,y)12:=dg(x,y)2x,yM.
Soitµ0, µ1roba)depnneselie´teibil´rob(serusemxuedµ0, µ1 surM.
´ Probl`emedetransportoptimalquadratique: Etude des applications de transportT:MM(T]µ0=µ1) qui minimisent Z
c(x,T(x))dµ0(x). M Existence?icine´tU?´eitge´Rralu?
udLicovoRi
ndeBeerinreM-CcnaetLeoh´emr`ivoduLSdroiRcarsvleursT´eeti´PC
Th´eor`eme(McCann01) Siµ0euredpproraarmase`tlatcenumolepnutionsbatse Lebesgue, il existe une unique application de transport optimalepourlecoˆutdetransport Z
En fait, il existe une fonction semiconvexeψ:MRtelle que
c(x,T(x))dµ0(x). M
T(x) = expx(rψ(x))
µ0p.p. xRn.
Onditquelavarie´te´riemannienne(M,gereiv´)TCP(pour TransportContinuityProperty)silapropri´et´esuivanteest satisfaite :
Pourtoutepairedemesuresdeprobabilite´µ0, µ1e´icossaes`a desvetisntmesipocietssrtnieuoctnt´esensidρ0, ρ1a`c,tsedire
P
µ0=ρ0volg, µ1=ρ1volg,
l’application de transport optimale entreµ0etµ1est continue.
seCTe´´tduLcivoesrlrivaoRiSurdLaopprPCe´irTe´t
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